2.4  ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

Εισαγωγή

Η αποδοχή των μιγαδικών αριθμών, εκτός από τις δυνατότητες που άνοιξε στην επίλυση των εξισώσεων, έδωσε μεγάλη ευελιξία στον αλγεβρικό λογισμό. Για παράδειγμα, η παράσταση x² + y² μπορεί τώρα να παραγοντοποιηθεί στη μορφή (x + yi)(x – yi) . Οι μαθηματικοί εκμεταλλεύτηκαν αυτό το γεγονός σε πολλά ζητήματα, όπως είναι, για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση των τόξων ενός κύκλου.

Το 1739 ο A. de Moivre, συνδυάζοντας τον υπολογισμό των κυβικών ριζών παραστάσεων της μορφής α + i√β (που εμφανίζονται στον τύπο επίλυσης της x³ = px + q ) με την τριγωνομετρική ταυτότητα 3ημθ – 4ημ³θ = ημ3θ, έδωσε τις πρώτες ιδέες για την τριγωνομετρική παράσταση των μιγαδικών αριθμών.

Το 1748 ο L. Euler, ξεκινώντας από την ανάλυση της ισότητας συν²θ + ημ²θ = 1 στη μορφή (συνθ + iημθ)(συνθ – iημθ) = 1 , τόνισε τη σημασία των παραστάσεων της μορφής συνθ + iημθ και έδειξε ότι (συνx + iημx)(συνy + iημy) = συν(x + y) + iημ(x + y) . Γενικεύοντας έφτασε στη σχέση (συνz ± iημz)ⁿ = συνnz ± iημnz (που σήμερα φέρει το όνομα του de Moivre), από την οποία, με χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος, βρήκε τύπους για τα ημnz και συνnz .

Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις οι μιγαδικοί αντιμετωπίζονταν ως καθαρά συμβολικές παραστάσεις, που δεν απεικόνιζαν κάποια συγκεκριμένη πραγματικότητα. Η τριγωνομετρική παράσταση έδωσε όμως τη δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν (από τον C. Wessel το 1799 και τον R. Argand το 1806) για την αναλυτική έκφραση της διεύθυνσης στο επίπεδο, ακριβώς όπως οι θετικοί και αρνητικοί χρησιμοποιούνται για τη διάκριση της φοράς στην ευθεία. Αυτές οι εξελίξεις διεύρυναν τις εφαρμογές των μιγαδικών και άνοιξαν το δρόμο για τη γεωμετρική ερμηνεία τους, την οποία καθιέρωσε ο C.F. Gauss το 1831.

Όρισμα Μιγαδικού

Έστω ένας μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός z = x + yi και   η αντίστοιχη διανυσματική ακτίνα του. Ονομάζουμε όρισμα του μιγαδικού z καθεμιά από τις γωνίες που έχουν αρχική πλευρά την ημιευθεία Ox και τελική πλευρά την ημιευθεία OM . Από όλα τα ορίσματα του z ένα ακριβώς βρίσκεται στο διάστημα [0,2π). Αυτό λέγεται πρωτεύον όρισμα του μιγαδικού z και συμβολίζεται με Arg(z) . Είναι φανερό ότι:
● Tο Arg(z) είναι η γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού z με τον άξονα x'x .
● Δυο ορίσματα του z διαφέρουν κατά γωνία 2κπ ,  κ ϵ Z.
Για το μιγαδικό z = 0 δεν ορίζεται όρισμα. Γι’αυτό, στη συνέχεια, όταν αναφερόμαστε σε όρισμα μιγαδικού, θα εννοούμε ότι z ≠ 0 .

Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού

Έστω ο μιγαδικός z = x + yi ≠ 0, που έχει μέτρο . Αν θ είναι ένα όρισμα του z, τότε, από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθοκανονικό σύστημα, έχουμε

οπότε
x = ρσυνθ   και   y = ρημθ
Επομένως, ο μιγαδικός z γράφεται z = x + yi = ρσυνθ + ρημθ·i ,
δηλαδή παίρνει τη μορφή
z = ρ(συνθ + iημθ)

Ο τρόπος αυτός γραφής του μιγαδικού z λέγεται τριγωνομετρική ή πολική μορφή του z .

Για παράδειγμα, αν z = – √3 + i , τότε το μέτρο του z είναι   και για κάθε όρισμά του θ ισχύουν :

Επομένως, μια τιμή του ορίσματος είναι η   . Άρα, έχουμε ή γενικότερα :     

κ ϵ Ζ

Αποδεικνύεται ότι, αν για έναν μιγαδικό αριθμό z ισχύει
z = r(συνθ + iημθ) , όπου r > 0 και θ ϵ R, τότε η παράσταση r(συνθ + iημθ) είναι τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού z .

Επειδή ίσοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο και αντιστρόφως, έχουμε το ακόλουθο κριτήριο ισότητας μιγαδικών:

“Δυο μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι, αν και μόνο αν έχουν ίσα μέτρα και η διαφορά των ορισμάτων τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π”.

Δηλαδή :

Τριγωνομετρική Μορφή Γινομένου Μιγαδικών

Αν z₁ = ρ₁(συνθ₁ + iημθ₁)  και  z₂ = ρ₂(συνθ₂ + iημθ₂) είναι οι τριγωνομετρικές μορφές δύο μιγαδικών αριθμών z₁ και z₂ , τότε για το γινόμενό τους έχουμε :

Ομοίως, για το πηλίκο τους έχουμε :

Αποδείξαμε λοιπόν ότι :

Αν z1 = ρ1(συνθ1 + iημθ1)  και  z2 = ρ2(συνθ2 + iημθ2) είναι δυο μιγαδικοί σε τριγωνομετρική μορφή, τότε

Για παράδειγμα, αν τότε έχουμε :

Από τις τριγωνομετρικές μορφές του γινομένου και του πηλίκου μιγαδικών προκύπτουν οι ιδιότητες

τις οποίες έχουμε συναντήσει και στην § 2.3.

Η γεωμετρική ερμηνεία του γινομένου και του πηλίκου δύο μιγαδικών φαίνεται στα παρακάτω σχήματα :

Σύμφωνα με τα παραπάνω :

● Ο πολλαπλασιασμός του μιγαδικού z₁ = ρ₁(συνθ₁ + iημθ₁) με το μιγαδικό z₂ = ρ₂(συνθ₂ + iημθ₂) σημαίνει στροφή της διανυσματικής ακτίνας του z₁ κατά γωνία θ₂ και μετά πολλαπλασιασμό της με ρ₂ (Σχ. 12). Επομένως, ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού z με το μιγαδικό συνθ + iημθ στρέφει μόνο τη διανυσματική ακτίνα του z κατά γωνία θ , αφού  | συνθ + iημθ | = 1 . Ειδικότερα, ο πολλαπλασιασμός του z με i στρέφει τη διανυσματική ακτίνα του z κατά γωνία , αφού .

Για παράδειγμα, αν αν z = √3 +i , επειδή , έχουμε :

Το προηγούμενο θεώρημα αποδίδεται στο μαθηματικό De Moivre και γι’ αυτό φέρει το όνομά του.

Το Θεώρημα του De Moivre ισχύει και όταν ο εκθέτης είναι αρνητικός ακέραιος.

Πράγματι, έχουμε

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει .

ΛΥΣΗ

Αν z = x + yi , τότε .

Άρα,

Άρα, το σύνολο των εικόνων του z είναι το τόξο του κύκλου κέντρου K(0, √3) και ακτίνας ρ = 2 που είναι πάνω από τον άξονα x'x .

2. Αν ημα + ημβ + ημγ = 0 και συνα + συνβ + συνγ = 0 , να αποδειχτεί ότι

α) συν3α + συν3β + συν3γ = 3συν (α + β + γ)

β) ημ3α + ημ3β + ημ3γ = 3 ημ(α + β + γ) .

ΛΥΣΗ

Έστω οι μιγαδικοί a = συνα + iημα , b = συνβ + iημβ , c = συνγ + iημγ . Έχουμε

και επομένως,   a³ + b³ + c³ = 3abc .

Με αντικατάσταση των a, b και c έχουμε διαδοχικά :

Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των δύο μελών έχουμε :

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2. Να κάνετε τις πράξεις :

3. Να κάνετε τις πράξεις :

4. Να βρείτε τις δυνάμεις

5. Να υπολογίσετε την παράσταση .

6. Αν να υπολογίσετε τον z ²⁰⁰⁰.

7. Αν z₁ = √3 + i  και  z₂ = √3 – i , να υπολογίσετε την παράσταση z₁^ν + z₂^ν , όπου ν θετικός ακέραιος.

8. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη διαίρεση ενός μιγαδικού z με i .

9. Αν z = 1 + √3i   και   w = 1 + i , να δείξετε ότι και να βρείτε

10. Να βρείτε το μέτρο και το βασικό όρισμα του μιγαδικού z ≠0   αν   z²  = z .

1. α) Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού w, όπου ,  ν ϵ Ν* 
και  θ ≠ (2κ + 1)π,   κ ϵ Z .

β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης .

2. α) Να δείξετε ότι αν (1 + i) ^ν = (1 – i) ^ν,  όπου ν ϵ Ν*   τότε   ν = 4κ,   κ ϵ Ν

β) Αν  να δείξετε ότι f (ν + 4) + f (ν) = 0 .

3. Να αποδείξετε ότι

| z₁ + z₂ | = | z₁ | + | z₂ | , αν και μόνο αν Arg(z₁) + Arg(z₂ ) .

4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει :

5. Μεταξύ όλων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη συνθήκη | z + 2 – 5i | ≤ 2 να βρείτε εκείνον που έχει :

α) Το μικρότερο πρωτεύον όρισμα

β) Το μεγαλύτερο πρωτεύον όρισμα.

6. Αν z = συνθ + iημθ , να αποδείξετε ότι :

7. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν | z |= 1 και w = ( √3 – i )z , τότε :

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w.

β) Να βρείτε την εικόνα εκείνου του μιγαδικού από τους w, για τον οποίο ισχύει Arg(w) = π/4 .

8. Αν  και  Arg(z) = π/3 , να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ.

9. Δίνεται το τριώνυμο  f(x) = x ² + 2 | z₁ – z₂ | x + (1 + | z₁ |²) (1 + | z₂ |²) , όπου z₁ και z₂ είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι  f (x) ≥ 0 , για κάθε  x ϵ R .