2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Έστω M(x, y) η εικόνα του μιγαδικού z = x + yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του M από την αρχή O , δηλαδή
Για παράδειγμα , . Όταν ο μιγαδικός z είναι της μορφής z = x + 0i = x ϵ R, τότε , που είναι η γνωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού x.

Αν z = x + yi , τότε z = x – yi   και  –z = – x – yi . Eπομένως,

Οι επόμενες ιδιότητες αναφέρονται στις σχέσεις που συνδέουν το γινόμενο και το πηλίκο μιγαδικών με τα μέτρα τους και είναι ίδιες με τις αντίστοιχες ιδιότητες των απόλυτων τιμών πραγματικών αριθμών.

Αν z₁ , z₂ είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε

Πράγματι, έχουμε :

και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική. Ανάλογα αποδεικνύεται και η δεύτερη ιδιότητα.

Γενικά, αποδεικνύεται ότι | z1 z2  ........ zν | =  | z1 | · | z2 | ·........· | zν | και ειδικότερα | z ν | = | z |ν .
Τέλος, από τη γνωστή μας τριγωνική ανισότητα και από τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος z1 + z2 και της διαφοράς z1 – z2 δύο μιγαδικών προκύπτει ότι :
| | z1 | – | z2 | |  ≤  | z1 + z2 |  ≤  | z1 | + | z2 |

Επίσης, είναι φανερό ότι το μέτρο του διανύσματος είναι ίσο με το μέτρο του διανύσματος . Επομένως :

“Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους”.

Δηλαδή :

Έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση | z – (2 + i) | = 3 επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από την εικόνα του μιγαδικού 2 + i , δηλαδή από το σημείο K(2,1) , απόσταση 3 μονάδες. Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο K(2,1) και ακτίνα ρ = 3. Γενικά, η εξίσωση | z – z0 | = ρ,  ρ > 0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K(z0 ) και ακτίνα ρ.

Επίσης, η εξίσωση | z – (1 + 2i) | =| z – (– 1 + 3i) | επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να ισαπέχουν από τις εικόνες των μιγαδικών 1 + 2i και – 1 + 3i , δηλαδή από τα σημεία A(1, 2) και B(– 1, 3) . Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος KΛ . Γενικά, η εξίσωση | z – z1 | = | z – z2 |
παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία A(z1 ) και B(z2 ) .

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν για τους μιγαδικούς z₁ , z₂ ,..., z_ν ισχύει

να αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν ένας από τους   z₁ , z₂ ,..., z_ν , για παράδειγμα ο z_κ , ήταν πραγματικός, τότε οι μιγαδικοί z_κ – i και z_κ + i θα ήταν συζυγείς και επομένως , αφού τα μέτρα δύο συζυγών μιγαδικών είναι ίσα. Τότε όμως θα είχαμε

που είναι άτοπο.

2. Αν για το μιγαδικό z ισχύει | z – (2 + 2i) | = √2 , να βρεθεί:

α) Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z στο μιγαδικό επίπεδο.

β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του | z | .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

α) Η ισότητα | z – (2 + 2i) | = √2 επαληθεύεται από όλους τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από το σημείο K(2,2) σταθερή απόσταση ίση με 2 και μόνο από αυτούς. Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο K(2,2) και ακτίνα ρ = √2 , δηλαδή ο κύκλος

(x – 2)² + (y – 2)² = 2 .

β) Το |z| είναι η απόσταση της εικόνας M(z) από την αρχή O(0,0) , δηλαδή το μήκος (OM). Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία O Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B , τότε (OA) ≤ (OM) ≤ (OB) , που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του |z| είναι το μήκος (OB) και η ελάχιστη το μήκος (OA) . Η εξίσωση, όμως, της ευθείας O Κ είναι η y = x. Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A και B θα είναι οι λύσεις του συστήματος
που είναι τα ζεύγη (1,1) και (3,3) . Άρα, η μέγιστη τιμή του |z| είναι ίση με και η ελάχιστη ίση με .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών :

2. Να βρείτε τα μέτρα των μιγαδικών αριθμών :

, όπου λ, μ ϵ R με | λ | + | μ | ≠0.

3. Να βρείτε τους μιγαδικούς z = x + yi για τους οποίους ισχύει :

4. Να βρείτε πού ανήκουν οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει :

5. Να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει :

6. Αν x ϵ R, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού z, όπου .

7. Από τους μιγαδικούς z, για τους οποίους ισχύει | z – 4i | = 2 , ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο;

8. Αν για τους μιγαδικούς z ισχύει | z | = 1, να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w = 2z + 1.

9. Για δύο μιγαδικούς αριθμούς z₁ και z₂ να αποδείξετε ότι

1. Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό z ισχύει :

3. Έστω ο μιγαδικός z με z ≠ 0 . Να αποδείξετε ότι : ο    είναι πραγματικός, αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός ή | z | = 1.

4. Έστω ο μιγαδικός z με z ≠ αi , όπου α ϵ R* . Να αποδείξετε ότι: ο  είναι φανταστικός, αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός.

5. Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο κέντρου O(0,0) και ακτίνας ρ = 1 , να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού .

6. Αν για το μιγαδικό z ισχύει | 2z – 1| = | z – 2 | , να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει στον κύκλο με κέντρο O(0,0) και ακτίνα ρ = 1 .

7. Αν για το μιγαδικό z ισχύει | z | = 1, να βρείτε την τιμή της παράστασης A = | 1 + z | ² + | 1– z | ² . Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα.

8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z , για τους οποίους ισχύει: | z + 1 | = | z + 4i |. Ποιο από τα σημεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή O(0,0) .

9. Αν M₁ και M₂ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z₁ και z₂ αντιστοίχως και   να αποδείξετε ότι : Όταν το M₁ κινείται σε κύκλο κέντρου O(0,0) και ακτίνας 4, τότε το M₂ κινείται σε μια έλλειψη.

10. α) Αν | z |= 1, να δείξετε ότι .

β) Αν για τους μιγαδικούς  z₁ , z₂ ,..., z_κ,   ισχύει | z₁ | = | z₂ | =........= | z_κ| = 1 να αποδείξετε ότι :