1.7 ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ

Εισαγωγή

Στην προηγούμενη παράγραφο περιγράψαμε μια μέθοδο με την οποία μπορούμε να βρίσκουμε τη λύση ενός γραμμικoύ συστήματος.
Όμως, όπως έχουμε δει στα γραμμικά συστήματα με δύο αγνώστους, είναι χρήσιμο να έχουμε και έναν τύπο, ο οποίος να εκφράζει τις λύσεις ενός γραμμικού συστήματος ως συνάρτηση των συντελεστών του.
Οι τύποι που θα βρούμε γενικεύουν τους τύπους που ήδη ξέρουμε για την περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος 2 x 2.
Θα προχωρήσουμε στην αναζήτηση ενός τέτοιου τύπου που τα εργαλεία για την ανεύρεσή του είναι οι ορίζουσες.

Ορίζουσα ενός 2 x 2 πίνακα

Έστω ο πίνακας .

Ο αριθμός α₁₁α₂₂ − α₂₁α₁₂ λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με |A| ή με

. Δηλαδή,

Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν 2 x 2 πίνακα, λέγεται ορίζουσα 2ης τάξης.

Για παράδειγμα, η ορίζουσα

— του πίνακα είναι είναι | Α | = 3(−2) − (−1)2 = −6 + 2 = −4

— του πίνακα είναι είναι | Ι | = 1 − 0 = 1

— του πίνακα είναι είναι | Ο | = 0.

Ορίζουσα ενός 3 x 3 πίνακα

Η ορίζουσα ενός 3 x 3 πίνακα ορίζεται με την βοήθεια της ορίζουσας 2ης τάξης ως εξής :

Έστω o 3 x 3 πίνακας .

Ο αριθμός λέγεται ορίζουσα του πίνακα Α και συμβολίζεται με | Α | ή με .

Δηλαδή

Επειδή η ορίζουσα αυτή αντιστοιχεί σε έναν πίνακα 3 x 3, λέγεται ορίζουσα 3ης τάξης.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Η παράσταση (1) με την οποία ορίζεται η | Α | λέγεται ανάπτυγμα της | Α | ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής.

Με εκτέλεση των πράξεων στο ανάπτυγμα αυτό έχουμε:

H παράσταση (2) λέγεται ανάπτυγμα της | Α | ως προς τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής.

Ομοίως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ισχύει και

που λέγεται ανάπτυγμα | Α | ως προς τα στοιχεία της τρίτης γραμμής.

Παρατηρούμε ότι σε καθένα από τα αναπτύγματα της |Α|, κάθε στοιχείο α _ij της αντίστοιχης γραμμής πολλαπλασιάζεται με την ορίζουσα 2ης τάξης του πίνακα που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου α _ij. Η ορίζουσα αυτή λέγεται ελλάσων ορίζουσα του στοιχείου α _ijκαι συμβολίζεται με M _ij.

Παρατηρούμε επίσης ότι κάθε όρος ενός αναπτύγματος της | A | έχει πρόσημο + ή −, ίδιο με το πρόσημο του (−1) ^i+j. Το γινόμενο (−1) ^i+j M _ij λέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου α _ij και συμβολίζεται με A _ij.

Δηλαδή

Με τους συμβολισμούς αυτούς τα αναπτύγματα (1), (2) και (3) γράφονται:

Mε εκτέλεση των πράξεων προκύπτουν

που είναι ανάπτυγμα της |Α| ως προς τα στοιχεία της 1ης, της 2ης και της 3ης στήλης αντιστοίχως.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Στην πράξη το ανάπτυγμα που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό μιας ορίζουσας είναι ως προς τη γραμμή ή στήλη που έχει τα περισσότερα μηδενικά.

Για παράδειγμα, αν , τότε

Ορίζουσα ενός ν x ν πίνακα

Ορίσαμε μέχρι τώρα την ορίζουσα ενός 2 x 2 πίνακα και με τη βοήθειά της την ορίζουσα ενός 3 x 3 πίνακα.

Ορίζουμε επίσης ως ορίζουσα ενός πίνακα με ένα στοιχείο [α _ij], να είναι το ίδιο το στοιχείο.

Γενικά, μπορούμε να ορίσουμε την ορίζουσα ν τάξης ν ≥ 3 με τη βοήθεια του ορισμού της ορίζουσας
ν−1 τάξης. Ένας τέτοιος ορισμός λέγεται ε π α γ ω γ ι κ ό ς.

Συγκεκριμένα, έστω ο ν x ν πίνακας

Ονομάζουμε ορίζουσα του πίνακα Α και τη συμβολίζουμε με | Α | ή

τον αριθμό

όπου A _ij = (−1) ^i+j M _ij και M _ij , η (ν−1) τάξης ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α, αν παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου α _ij.

Όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, η ορίζουσα M _ij λέγεται ελάσσων ορίζουσα του στοιχείου α _ij και το γινόμενο (−1) ^i+j M _ijλέγεται αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου α _ij.

Η παράσταση α ₁₁Α ₁₁ + α ₁₂Α ₁₂ + ......+ α _1νΑ _1ν  με την οποία ορίσαμε την | Α | λέγεται, όπως και στις ορίζουσες 3ης τάξης, ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της 1ης γραμμής.

Αποδεικνύεται το επόμενο θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Για οποιαδήποτε γραμμή i ή στήλη j ενός v x v πίνακα Α ισχύει:
		και

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε

Επομένως,

ii) Έχουμε

Επομένως, .

Επίλυση ν x ν γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο του Cramer

Όπως είδαμε στα προηγούμενα, ένα γραμμικό μ x ν σύστημα μπορεί να έχει μοναδική λύση ή άπειρο πλήθος λύσεων ή να είναι αδύνατο. Στην ειδική περίπτωση που το σύστημα είναι ν x ν, το επόμενο θεώρημα, του οποίου η απόδειξη παραλείπεται, μας πληροφορεί πότε το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση και πότε έχει άπειρο πλήθος λύσεων ή είναι αδύνατο.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω το ν x ν γραμμικό σύστημα ΑΧ = Β.

● Αν | Α | ≠ 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την (x1, x2,.....,xν) με

όπου D είναι η ορίζουσα | Α | των συντελεστών των αγνώστων και Dxi, i = 1, 2, 3,....,ν είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν αντικαταστήσουμε την i στήλη των συντελεστών του αγνώστου xi με τη στήλη των σταθερών όρων.

● Αν | Α | = 0, τότε το σύστημα ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων.

Από το θεώρημα αυτό προκύπτει ότι:

ΠΟΡΙΣΜΑ

ΣΧΟΛΙΑ

1) Ένα ν x ν γραμμικό σύστημα AX = B με | A | ≠ 0, λέγεται και σύστημα Cramer, η δε επίλυση του συστήματος αυτού αναφέρεται και ως κανόνας του Cramer. Ο κανόνας του Cramer δεν είναι αποδοτική μέθοδος για να χρησιμοποιηθεί στη λύση συστημάτων με ένα μεγάλο αριθμό εξισώσεων, γιατί πρέπει να υπολογιστούν πολλές ορίζουσες μεγάλης τάξης. Γιαυτό στη συνέχεια με τον κανόνα αυτόν θα επιλύουμε μόνο 2 x 2 και 3 x 3 γραμμικά συστήματα.
Ως προς τους αριθμητικούς υπολογισμούς η μέθοδος επίλυσης συστήματος με τον αλγόριθμο του Gauss υπερτερεί του κανόνα του Cramer. Όμως, ο κανόνας του Cramer είναι ιδιαίτερα χρήσιμος σε θεωρητικά ζητήματα.

2) Για την επίλυση ενός ν x ν γραμμικού συστήματος AX = B με | A | = 0 εργαζόμαστε συνήθως με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss.

3) Αν ένα ν x ν γραμμικό σύστημα είναι ομογενές, τότε Dx₁ = Dx₂ =.....= Dx_ν = 0, αφού όλες οι ορίζουσες έχουν μια μηδενική στήλη.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα λυθεί το σύστημα

ΛΥΣΗ

Έχουμε

Επομένως, σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer, είναι

δηλαδή το σύστημα έχει τη μοναδική λύση

2. Να λυθεί το σύστημα

ΛΥΣΗ

Έχουμε

Οι τιμές της παραμέτρου λ που μηδενίζουν την ορίζουσα D = λ (λ−1)(λ + 1) είναι οι 0, −1, 1.

— Για λ ≠ 0 και λ ≠ −1 και λ ≠ 1 είναι D ≠ 0 και επομένως

δηλαδή το σύστημα έχει τη μοναδική λύση .

— Για λ = 0, το σύστημα γίνεται . Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε το σύστημα το οποίο προφανώς είναι αδύνατο.

— Για λ = 1, το σύστημα γίνεται

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (ω, 1, ω), ω ϵ R.

— Για λ = −1, το σύστημα γίνεται

Επομένως, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (y, y, −1), y ϵ R.

3. Να λυθεί το ομογενές σύστημα

ΛΥΣΗ

Έχουμε

Οι τιμές της παραμέτρου λ που μηδενίζουν την ορίζουσα D είναι οι 1 και −2.

— Για λ ≠ 1 και λ ≠ −2 είναι D ≠ 0 και επομένως λύση τη μηδενική (0,0,0).

— Για λ = 1 το σύστημα γίνεται

και έχει άπειρες λύσεις της μορφής (−y−ω, y, ω), y,ω ϵ R.

— Για λ = −2 το σύστημα γίνεται

΄Αρα, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (x,x,x) x ϵ R

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες

2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

3. Να λύσετε τα συστήματα

4. Nα βρείτε τις τιμές του κ ϵ R για τις οποίες τα παρακάτω συστήματα έχουν και μη μηδενικές λύσεις.

1. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές των κ, λ ϵ R τα συστήματα:

2. Να λύσετε το σύστημα:

3. Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών

4. Θεωρούμε την εξίσωση αt² + βt + γ = 0, α ≠0 και το σύστημα

i) Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο.

ii) Αν η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, να εξετάσετε πόσες λύσεις έχει το σύστημα.

5. Αν για τους α, β, γ ϵ R υπάρχουν x, y, ω ϵ R, που δεν είναι όλοι μηδέν, τέτοιοι ώστε να ισχύει

να αποδείξετε ότι

6. Να λύσετε τα συστήματα

λ ϵ R

7. Δίνεται ο πίνακας .
i) Να βρείτε τις τιμές του λ ϵ R για τις οποίες υπάρχει μη μηδενικός πίνακας τέτοιος, ώστε
ΑΧ = λΧ   (1).

ii) Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση (1).