1.4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

Η Έννοια του Γεωμετρικού Μετασχηματισμού

● Γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ότι συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μοναδικό στοιχείο του Β. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις για τις οποίες τα Α και Β συμπίπτουν με το σύνολο Ԑ των σημείων ενός καρτεσιανού επιπέδου Oχy .
Οι συναρτήσεις αυτές λέγονται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο επίπεδο ή, απλά, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί. Δηλαδή, γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι οποιαδήποτε συνάρτηση
T : Ԑ→ Ԑ .

Ως προς τη συνάρτηση αυτή η εικόνα, T(M), του σημείου M(x, y) θα συμβολίζεται με Mʹ(xʹ, yʹ).

Ένα παράδειγμα γεωμετρικού μετασχηματισμού είναι η συνάρτηση T : Ԑ→ Ԑ M(x, y) → Mʹ(x, − y) η οποία αντιστοιχίζει κάθε σημείο Μ στο συμμετρικό του Mʹ ως προς τον άξονα xʹx.

● Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε μόνο με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς που απεικονίζουν τα σημεία M(x, y) στα Mʹ(xʹ, yʹ) των οποίων οι συντεταγμένες δίνονται από ένα σύστημα της μορφής

ή, ισοδύναμα, από μια εξίσωση της μορφής

(1)

όπου α, β, γ, δ, μ, ν πραγματικοί αριθμοί. Αν μ = 0 και ν = 0 , τότε η εξίσωση (1) παίρνει τη μορφή

(2)

Στην περίπτωση αυτή ο γεωμετρικός μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός μετασχηματισμός και ο πίνακας λέγεται πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού.

Για παράδειγμα, ο γεωμετρικός μετασχηματισμός που ορίζεται από το σύστημα ή, ισοδύναμα, από την εξίσωση είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα τον . Με αυτόν τον μετασχηματισμό το σημείο A(1, 2) απεικονίζεται στο Aʹ(13, 6) , ενώ το σημείο B(1, −2) στο Bʹ(1, −2) , δηλαδή στον εαυτό του.

● Ας θεωρήσουμε τώρα το γραμμικό μετασχηματισμό

και τα μοναδιαία διανύσματα και . Τότε, η εικόνα Aʹ του πέρατος του διανύσματος έχει συντεταγμένες (α, γ), αφού
ενώ η εικόνα Bʹ του πέρατος B(0, 1) του διανύσματος έχει συντεταγμένες (β, δ), αφού

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι:

Oι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, Α(1, 0), του διανύσματος είναι η πρώτη στήλη, ενώ οι συντεταγμένες της εικόνας του πέρατος, Β(0, 1), του διανύσματος είναι η δεύτερη στήλη του πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού.

Για παράδειγμα, ο γραμμικός μετασχηματισμός, που απεικονίζει τα πέρατα Α(1, 0) και Β(0, 1) των διανυσμάτων και στα σημεία Aʹ(3,1) και Βʹ (1, 2) αντιστοίχως, έχει πίνακα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός

i) Να βρεθούν οι εικόνες Α(xʹ₁ , yʹ₁) και B(xʹ₂ , yʹ₂) των σημείων Α(x₁ , y₁) και B(x₂ , y₂) αντιστοίχως.

ii) Να αποδειχτεί ότι (AʹBʹ) = (AB).

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε

Επομένως, οι εικόνες των Α(x₁ , y₁) και B(x₂ , y₂) είναι τα σημεία Α(− y₁ , x₁) και B(− y₂ , x₂) αντιστοίχως.

ii) Είναι

Παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί τις αποστάσεις. Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που διατηρούν τις αποστάσεις λέγονται ισομετρίες.

2. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

Nα βρεθεί:

i) Το πρότυπο του σημείου Aʹ(2, 0), δηλαδή το σημείο Α(x, y) που απεικονίζεται στο Aʹ(2, 0) .

ii) Η εικόνα της ευθείας ε : y = − 2x + 1.

ΛΥΣΗ

i) Ισχύει

Επειδή ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον αντίστροφό του, που είναι ο πίνακας και έχουμε διαδοχικά:

Άρα το σημείο Α έχει συντεταγμένες (2, −2).

Για παράδειγμα, με το μετασχηματισμό

το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(1,0) , Β( −1,3) και Γ(0,3) απεικονίζεται στο τρίγωνο Αʹ Βʹ Γʹ που έχει ως κορυφές τις εικόνες Αʹ(2,−1) , Βʹ(1,1) και Γʹ(3,0) των κορυφών του τριγώνου Α Β Γ.
Είναι βολικό, πολλές φορές, ένα πολύγωνο να το παριστάνουμε με τον πίνακα

που έχει ως στήλες τις συντεταγμένες των κορυφών του. Τον πίνακα αυτόν θα τον λέμε πίνακα του πολυγώνου. Έτσι, ο πίνακας του ΑΒΓ είναι ο ενώ του Αʹ Βʹ Γʹ ο

Eίναι φανερό ότι

Άρα ο πίνακας του τριγώνου Αʹ Βʹ Γʹ προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα του γραμμικού μετασχηματισμού με τον πίνακα του τριγώνου ΑΒΓ. Αυτό ισχύει και για οποιοδήποτε πολύγωνο.

Βασικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

1. Συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων

Καλούμε συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο Μ(x,y) του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του Μ(xʹ,yʹ) ως προς την αρχή των αξόνων. Όπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει
Άρα, η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

2. Συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε.

Καλούμε συμμετρία ως προς άξονα μια ευθεία ε, το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο Μ(x,y) του καρτεσιανού επιπέδου απεικονίζεται στο συμμετρικό του, Μ(xʹ,yʹ), ως προς την ευθεία ε. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με τη συμμετρία ως προς τον άξονα xʹx, τη συμμετρία ως προς τον άξονα yʹy και τη συμμετρία ως προς την ευθεία y = x.

΄Οπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει:
Άρα, η συμμετρία ως προς τον άξονα xʹx είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

2β. Συμμετρία ως προς άξονα yʹy.

΄Οπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει:
Άρα, η συμμετρία ως προς τον άξονα yʹy είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

2γ. Συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y = x.

΄Οπως γνωρίζουμε από την Α΄ Λυκείου ισχύει:
Άρα, η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία y = x είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

Oι παραπάνω γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι όλοι ισομετρίες .

3. Στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ.

Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και θ μια θετική ή αρνητική γωνία. Καλούμε στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο Μ(x,y) του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο πέρας Μʹ(xʹ,yʹ), του διανύσματος που είναι η τελική θέση του , αν αυτό στραφεί γύρω από το Ο κατά γωνία θ. Αν φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα xʹx και ρ το μέτρο του διανύσματος , τότε θα ισχύει:

Έτσι, θα ισχύει

Άρα, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα Ειδικότερα:

α) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ = π/2 έχει πίνακα

β) Η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ = π έχει πίνακα και είναι η συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων.

γ) Η στροφή με κέντρο Ο και θ = 3π/2 γωνία έχει πίνακα

δ) Τέλος, η στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ = 2π έχει πίνακα και είναι η ταυτοτική απεικόνιση.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι και η στροφή είναι μια ισομετρία.

4. Ομοιοθεσία.

Καλούμε ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο λ ϵ R* το μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο Μ(x,y) του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο Μʹ(xʹ,yʹ) που ορίζεται από την ισότητα Επειδή και έχουμε :

Άρα,η ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο λ ≠ 0 είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα

ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ

Για να θυμόμαστε τον πίνακα των παραπάνω γραμμικών μετασχηματισμών, αρκεί να θυμόμαστε ότι η πρώτη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του σημείου Α(1, 0), ενώ η δεύτερη στήλη του είναι οι συντεταγμένες της εικόνας του Β(1,0). Για παράδειγμα, ο πίνακας της συμμετρίας ως προς τον άξονα xʹx είναι ο που έχει για πρώτη και δεύτερη στήλη τις συντεταγμένες των συμμετρικών ως προς τον άξονα xʹx των σημείων Α(1,0) και Β(0,1) αντιστοίχως.

5. Παράλληλη μεταφορά.

Έστω ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. Καλούμε παράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα το γεωμετρικό εκείνο μετασχηματισμό με τον οποίο κάθε σημείο Μ(x,y) του επιπέδου αντιστοιχίζεται στο σημείο Μʹ(xʹ,yʹ) που ορίζεται από την ισότητα (Σχ. 14).

Επειδή έχουμε

Άρα, η παράλληλη μεταφορά δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Έστω Τ ο μετασχηματισμός "στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ = − π/4 ". Να βρεθεί η εικόνα Cʹ της καμπύλης C: y = 1/x ως προς το μετασχηματισμό Τ.

ΛΥΣΗ

Έστω Μ(x,y) ένα σημείο του επιπέδου και Μʹ(xʹ,yʹ) η εικόνα του ως προς το μετασχηματισμό Τ. Τότε θα ισχύει

Επομένως, αν το Μ(x,y) ανήκει στην καμπύλη C, τότε θα ισχύει:

οπότε το σημείο Μʹ(xʹ,yʹ) θα είναι σημείο της ισοσκελούς υπερβολής

Αλλά και αντιστρόφως, αν το Μʹ(xʹ,yʹ) ανήκει στην καμπύλη Cʹ, τότε το Μ(x,y) θα ανήκει στην C.

Άρα, η εικόνα της C: y = 1/x, ως προς τη στροφή με κέντρο Ο και γωνία θ = −π/4, είναι η υπερβολή Συνεπώς, η καμπύλη C: y = 1/x είναι μια υπερβολή που προκύπτει αν στρέψουμε την Cʹ κατά γωνία −θ = π/4 .

2. Έστω T₁ και T₂ οι γραμμικοί μετασχηματισμοί με πίνακες

αντιστοίχως. Να βρεθεί ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού που προκύπτει, αν εφαρμόσουμε πρώτα τον T₁ και έπειτα τον T₂, δηλαδή του μετασχηματισμού T₂ ○ T₁.

ΛΥΣΗ

Έστω Μ(x,y) ένα σημείο του επιπέδου. Αν Μʹ(xʹ,yʹ) είναι η εικόνα του Μ μέσω του μετασχηματισμού T₁ και Μʹʹ(xʹʹ,yʹʹ) η εικόνα του Μʹ μέσω του μετασχηματισμού T₂, τότε θα ισχύει

οπότε θα έχουμε

Άρα, ο πίνακας του T₂ ○ T₁ είναι ο που είναι το γινόμενο Α ₂ • Α ₁ των πινάκων των μετασχηματισμών T₂ και T₁ . Γενικά:

"Αν Α ₁ , Α ₂ είναι πίνακες δύο γραμμικών μετασχηματισμών, Τ₁ και Τ₂ αντιστοίχως, τότε ο πίνακας του γραμμικού μετασχηματισμού T₂ ○ T₁ είναι ο Α ₂ • Α ₁, ενώ του T₁ ○ T₂  είναι ο Α ₁ • Α ₂".

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να γράψετε τους πίνακες των γραμμικών μετασχηματισμών:

και να βρείτε τις εικόνες των σημείων Α(1,0) και Β(0,1).

2. Να βρείτε το γραμμικό μετασχηματισμό που απεικονίζει τα πέρατα Α(1,0) και Β(0,1) των μοναδιαίων διανυσμάτων και στα σημεία (i) (1,2) και (−1,3) αντιστοίχως, (ii) (−1,1) και (2,1) αντιστοίχως.

3. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

Να βρείτε τις εικόνες των σημείων Ο(0,0) και Α(3,4) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι ο Τ δεν είναι ισομετρία.

4. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

i) Να βρείτε την εικόνα ΑʹΒʹΓʹΔʹ του τετραγώνου ΑΒΓΔ που έχει πίνακα .

ii) Να αποδείξετε ότι το ΑʹΒʹΓʹΔʹ είναι πλάγιο παραλληλόγραμμο.

5. Δίνεται ο μετασχηματισμός:

Nα βρείτε

i) το πρότυπο του σημείου Αʹ(0,5)

ii) την εικόνα της ευθείας ε : y = x + 1

6. Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι γραμμικοί μετασχηματισμοί που έχουν πίνακα:

1. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

i) Να αποδείξετε ότι ο Τ απεικονίζει όλα τα σημεία του επιπέδου στην ευθεία ε : y = 2x.

ii) Nα βρείτε τα πρότυπα του σημείου O(0,0).

iii) Να αποδείξετε ότι το σημείο Aʹ(1,1) δεν έχει πρότυπο.

2. Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός:

και δύο οποιαδήποτε σημεία Α(x ₁ , y ₁ ), B(x ₂ , y ₂ ) του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι

i) O Τ δεν είναι ισομετρία, δηλαδή ότι (AʹBʹ) ≠ (AB).

ii) Ο Τ απεικονίζει το μέσο του ευθ. τμήματος ΑΒ στο μέσο της εικόνας του AʹBʹ.

iii) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι ίσο με το εμβαδό της εικόνας του OʹAʹBʹ.