1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ

Ορισμός του γινομένου δύο πινάκων

Ας υποθέσουμε ότι για την κατασκευή δύο ειδών γλυκισμάτων Γ₁ και Γ₂   χρειαζόμαστε τα υλικά σε kg που φαίνονται στον παρακάτω 2 x 3 πίνακα:

Έστω επίσης ότι το κόστος σε δρχ. των υλικών αυτών ανά κιλό, για τα έτη 1992 και 1993, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω 3 x 2 πίνακας:

Για να βρούμε το κόστος σε δραχμές των υλικών του γλυκίσματος Γ₁ , πολλαπλασιάζουμε τις ποσότητες των υλικών με τις αντίστοιχες τιμές και προσθέτουμε τα γινόμενα αυτά. Δηλαδή το κόστος του Γ₁ το 1992 ήταν

Η παραπάνω διαδικασία περιγράφεται με τη βοήθεια των πινάκων ως εξής:

O πίνακας 1x1 [564] λέγεται γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α επί την πρώτη στήλη του Β. Αναλόγως, το κόστος του Γ₁ το 1993 ήταν

Δηλαδή παριστάνεται με το γινόμενο της πρώτης γραμμής του Α επί την δεύτερη στήλη του Β

Ομοίως, το κόστος του Γ₂ το 1992 ήταν:

ενώ το 1993 ήταν:

Ο πίνακας δείχνει το κόστος των δύο γλυκισμάτων κατά τα έτη 1992 και 1993. Ο πίνακας Γ που προκύπτει με τον πιο πάνω τρόπο λέγεται γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και συμβολίζεται με A • B ή AB , δηλαδή

Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

OΡΙΣΜΟΣ

Αν Α = [α _ik ] είναι ένας πίνακας μ x ν και B = [β _kj ] είναι ένας ν x ρ πίνακας, τότε ορίζουμε ως γινόμενο του πίνακα Α με τον πίνακα Β και το συμβολίζουμε με A • B ή με ΑΒ τον μ x ρ πίνακα, του οποίου κάθε στοιχείο γ_ij είναι το άθροισμα των γινομένων των ν στοιχείων της i -γραμμής του Α με τα αντίστοιχα ν στοιχεία της j -στήλης του Β. Δηλαδή,

Σχηματικά

Για παράδειγμα, το γινόμενο βρίσκεται ως εξής:

Επομένως,

Τονίζεται ότι το γινόμενο ΑΒ ορίζεται όταν ο αριθμός των στηλών του πίνακα Α είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του πίνακα Β. Σχηματικά:

Για παράδειγμα, αν

τότε, σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, ορίζονται τα γινόμενα και είναι AB, BA, AΓ και είναι

ενώ δεν ορίζονται τα γινόμενα ΒΓ, ΓΒ και ΓΑ.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των πινάκων

	Αν λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί και Α, Β είναι πίνακες, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες με την
προϋπόθεση οτι ορίζονται οι πράξεις που σημειώνονται.

	Αν με Ιν συμβολίσουμε τον ν x ν διαγώνιο πίνακα		του οποίου κάθε στοιχείο
της κυρίας διαγωνίου είναι ίσο με 1, τότε για κάθε τετραγωνικό ν x ν πίνακα Α ισχύει:

O πίνακας αυτός λέγεται μοναδιαίος πίνακας.

Για παράδειγμα, οι πίνακες είναι μοναδιαίοι.

Τον πίνακα Ι_ν θα τον συμβολίζουμε απλούστερα με Ι, όταν είναι προφανής ο τύπος του.

Αν τώρα Α είναι ένας μ x ν πίνακας, τότε ισχύουν

Για παράδειγμα

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμε ΑΒΓ για καθένα από τα ίσα γινόμενα Α(ΒΓ), (ΑΒ)Γ. Ομοίως, αν Α, Β, Γ, Δ είναι πίνακες τέτοιοι, ώστε να ορίζονται τα γινόμενα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ τότε έχουμε

και μπορούμε να γράφουμε AΒΓΔ για καθένα από τα γινόμενα αυτά.
Γενικά, επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, μπορεί να αποδειχτεί ότι όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό πινάκων Α ₁ , Α ₂ ,......., Α _ν το γινόμενο θα είναι το ίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί ο πολλαπλασιασμός, χωρίς όμως να αλλάξει η σειρά των παραγόντων και συμβολίζεται με Α₁ Α ₂ .....Α _ν.
Αν ο Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε ορίζονται τα γινόμενα ΑΑ, ΑΑΑ, ΑΑΑΑ, κτλ. και τα συμβολίζουμε με μορφή δυνάμεων ως εξής: Α ² , Α ³ , Α ⁴ ,...., αντιστοίχως. Ορίζουμε επίσης Α ¹ = A.
Αν p, q είναι θετικοί ακέραιοι, και κ πραγματικός αριθμός, αποδεικνύεται ότι:

ΣΧΟΛΙΟ

Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει, επιπλέον, και η αντιμεταθετική ιδιότητα. Δηλαδή, ισχύει α • β = β • α για οποιουσδήποτε α, β ϵ R. Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού υπάρχουν πίνακες A, B με AB ≠BA. Για παράδειγμα, αν

τότε AB ≠BA , αφού:

ενώ

Επειδή, λοιπόν, δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα οι ισότητες:

δεν ισχύουν πάντοτε. Στην περίπτωση, όμως, που ΑΒ = ΒΑ οι παραπάνω ισότητες ισχύουν.

ΕΦΑΡΜΟΓH

Δίνονται οι πίνακες

Να αποδειχτεί ότι:

ΛΥΣΗ

i) Είναι
Άρα Α 2 + B 2 = Ο
ii) Είναι
Άρα ΑΒ + ΒΑ = Ι
iii) Είναι
Άρα (Α + Β) 2 ≠Α 2 + B 2 + 2AB.

Αντιστρέψιμοι πίνακες

ΣΧΟΛΙΟ

Γνωρίζουμε ότι για τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών ισχύει επιπλέον και η ιδιότητα:
"αν α • β = 0, τότε α = 0 ή β = 0". Η ιδιότητα, όμως, αυτή δεν ισχύει για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, αφού π.χ. για τους πίνακες

ισχύει

χωρίς, ωστόσο, να είναι Α = Ο ή Β = Ο. Δηλαδή:

"Μπορεί ένα γινόμενο πινάκων να ισούται με το μηδενικό πίνακα, χωρίς κανένας να είναι μηδενικός".

Στην περίπτωση όμως που ισχύει ΑΒ = Ο και ο ένας από τους πίνακες είναι αντιστρέψιμος, τότε ο άλλος είναι μηδενικός. Πράγματι, αν ο Α είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε διαδοχικά:

Aντίστροφος ενός πίνακα

Έστω

ένας 2 x 2 πίνακας. Θα εξετάσουμε πότε αυτός αντιστρέφεται και θα βρούμε τον

τον αντίστροφό του. Για να αντιστρέφεται ο Α, πρέπει και αρκεί να υπάρχει πίνακας τέτοιος, ώστε να ισχύει ΑX = I ή, ισοδύναμα,

Αρκεί, επομένως, τα συστήματα ( Σ ₁) και ( Σ ₂) να έχουν λύση. Τα συστήματα αυτά έχουν

Επομένως:

● Aν D≠0 , τότε τα συστήματα ( Σ ₁) και ( Σ ₂) έχουν μοναδική λύση, οπότε ο πίνακας Α αντιστρέφεται. Η λύση του ( Σ ₁) είναι το ζεύγος (x, z) με

ενώ η λύση του ( Σ ₂) είναι το ζεύγος (y, ω) με

Άρα

οπότε ο αντίστροφος του Α είναι ο πίνακας

● Aν D = 0 , τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα ( Σ ₁) και ( Σ ₂) είναι αδύνατο, οπότε ο πίνακας Α δεν αντιστρέφεται. Πράγματι.

α) Αν D_x ≠0 ή D_y ≠0 ή D_z ≠0 ή D_ω ≠0, τότε ένα τουλάχιστον από τα συστήματα ( Σ ₁) και ( Σ ₂) θα είναι αδύνατο.

β) Αν D_x = D_y = D_z = D_ω = 0, τότε α = β = γ = δ = 0, οπότε και πάλι τα δύο συστήματα θα είναι αδύνατα.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Για παράδειγμα:

ΕΦΑΡΜΟΓH

Δίνονται οι πίνακες

i) Nα βρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα Α

ii) Να λυθεί η εξίσωση ΑΧ = Β

ΛΥΣΗ

i) Για τον πίνακα Α έχουμε Άρα

ii) Επειδή ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος, έχουμε:

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε τα γινόμενα και σε όποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ορίζονται:

2. Αν

Να βρείτε τους πίνακες:  i) AB    ii) ΑΒ − Γ    iii) ΑΒΓ .

3. Tα στοιχεία για τις αμοιβές και τον αριθμό των εργατών σε δύο οικοδομικές εταιρείες Α και Β έχουν με μορφή πινάκων ως εξής:

Να εκφράσετε με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού των πινάκων το σύνολο των αμοιβών των εργατών στις δύο εταιρείες.

4. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι ο πίνακας Β είναι αντίστροφος του Α.

5. Να βρείτε τον αντίστροφο, εφόσον υπάρχει, καθενός από τους παρακάτω πίνακες:

6. i) Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα
	ii) Να λύσετε την εξίσωση:

1. Αν

τότε

i) Να βρείτε τις τιμές των x, y ϵ R για τις οποίες ισχύει Α ² = xA + yI.

ii) Να υπολογίσετε τους πίνακες Α ³ και Α ⁴ .

2. Αν

να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε να ισχύει

3.  Να βρείτε τους πίνακες

α, β ϵ R για τους οποίους ισχύει Χ 2 = I.

4. Αν

να αποδείξετε ότι:

5. Αν

να αποδείξετε ότι:

i) Ο πίνακας Α αντιστρέφεται και να βρείτε τον Α ⁻¹.

ii) (Α + Α ⁻¹ ) ^ν = 2 ^ν Ι,   ν ϵ Ν^*.

6. Αν

τότε:

i) Να αποδείξετε ότι A²(x) = A(2x),    B ²(x) = − A(2x)

ii) Να αποδείξετε ότι A²(x) + B ²(x) = O

iii) Να λύσετε την εξίσωση A²(x) − B ²(x) = 2I.

7. Mια βιομηχανία επίπλων κουζίνας έχει δύο εργοστάσια E₁ και E₂. Οι πίνακες Μ και Ν δίνουν τις ώρες εργασίας που απαιτούνται για την κατασκευή κάθε επίπλου και τις ωριαίες αμοιβές του προσωπικού σε δραχμές αντιστοίχως.

i) Να βρείτε τον πίνακα ΜΝ και να εξηγήσετε τι εκφράζει.

ii) Ποιο είναι το κόστος εργασίας για την παραγωγή μιας καρέκλας στο εργοστάσιο E₁ και ενός πάγκου στο εργοστάσιο E₂ ;

8. Αν

να αποδείξετε ότι:

i) Α ³ = Ο και γενικά Α ^ν = Ο,   ν ≥ 3

ii) Β ² = Ι, Β ³ = Β και γενικά

9.  Δίνεται ο πίνακας

ii) Να λύσετε την εξίσωση Α (x) = I.

10. Αν

i) Να αποδείξετε ότι Α (x)Α (y) = Α (x + y)

ii) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των x, y ώστε ο πίνακας Α (y) να είναι αντίστροφος του Α (x).

iii) Nα βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα  

11. Αν

λ ϵ R , τότε

i) Να αποδείξετε ότι   Α ² = Ι,   Α ³ = Α   και γενικά ότι

ii) Αν λ = 2, να βρείτε τον πίνακα Χ για τον οποίο ισχύει

iii) Να υπολογίσετε το άθροισμα Ι + Α + Α ² +....+ Α ¹⁰.

12.  Δίνεται ο πίνακας

i) Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα Α

ii) Να βρείτε τον πίνακα Χ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:

13. Αν

τότε

i) Να αποδείξετε ότι Α ³ = − Ι και γενικά ότι

ii) Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του x για τις οποίες ισχύει

                     x ² Α ¹⁹⁹² + (x + 2)¹⁹⁸⁹ = O .