3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

Επομένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα

είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας. Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω, συνω και εφω, αντιστοίχως.

Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο , ισχύει:

Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβολίζουμε με σφω, το σταθερό πηλίκο

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, με 0^o≤ 0 ω ≤ 360^o

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, Ot μία ημιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ημιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο μέχρι να συμπέσει για πρώτη φορά με την ημιευθεία Ot (Σχ. α΄, β΄). Ο θετικός ημιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω,
ενώ η ημιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω.

Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ(x, y) και φέρνουμε την κάθετη MM₁
στον άξονα x'x (Σχ. α΄ και β΄). Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ. α΄), τότε, όπως είδαμε παραπάνω, ισχύουν οι
ισότητες :

Όμως (ΟM₁) = x , (MM₁) = y και . Επομένως,

οι παραπάνω ισότητες γράφονται :

Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουμε με τον ίδιο τρόπο τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήμα β΄). Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουμε :

όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και η απόσταση του Μ από το Ο.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών μεγαλύτερων των 360^o και αρνητικών γωνιών

Ας υποθέσουμε ότι ο ημιάξονας Ox ενός συστήματος συντεταγμένων Oxy περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά. Αν πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία μέτρου 30^o , τότε λέμε ότι ο Ox έχει διαγράψει γωνία

ω = 360^o + 30^o = 390^o.

Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες των 360^o , δηλαδή οι γωνίες της μορφής :

ω = v∙360^o + μ^o = 390 όπου ν∈ N * και 0^o ≤ μ ≤ 360^o

Αν τώρα ο ημιάξονας Ox, στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία μέτρου 30^o , τότε λέμε ότι ο ημιάξονας Ox έχει διαγράψει αρνητική γωνία 360^o + 30^o = 390^o ή αλλιώς γωνία :

ω = ‒( 360^o + 30^o) = ‒390^o.

Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της μορφής :

ω = ‒( v∙360^o + μ^o) = ‒390^o, όπου ν∈ N  και  0^o≤ μ ≤ 360^o

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών που είναι μεγαλύτερες από 360^o , καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών από 0^o μέχρι 360^o
Δηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουμε:

όπου (x, y) οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και η απόσταση του Μ από το Ο.

Ας θεωρήσουμε τώρα μια γωνία ω (θετική ή αρνητική) με αρχική πλευρά τον ημιάξονα Ox .Αν ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία  v∙360^o + ω που έχει την ίδια τελική πλευρά με την ω.

Αν όμως ο ημιάξονας Ox , στρεφόμενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συμπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία − v∙360^o + ω που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά με την ω.

Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της μορφής k∙360^o + ω , k ∈ Ζ , επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Επομένως, για κάθε k ∈ Ζ θα ισχύει :

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, χρησιμοποιούμε τον λεγόμενο τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος θα μας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόμενες παραγράφους.

Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος συντεταγμένων και ακτίνα ρ=1 γράψουμε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνομετρικός κύκλος.

Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας, π.χ. της γωνίας ω =35^o τέμνει τον κύκλο
αυτό στο σημείο Ν(α, β).

Επειδή ηµ35^o = β/ρ και ρ = 1

θα ισχύει ηµ35^o = β ≅0,57 .

Ομοίως, επειδή συν35^o = α/ρ και ρ = 1 ,
θα ισχύει συν35^o = α ≅0,82 .

Γενικότερα, αν η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ(x, y), τότε ισχύει:

Για το λόγο αυτό ο άξονας x'x λέγεται και άξονας των συνημίτονων, ενώ ο άξονας y'y λέγεται και άξονας των ημίτονων.

Άμεσες συνέπειες του παραπάνω συμπεράσματος είναι οι εξής:

1. Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει :

2. Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας.

Ο άξονας των εφαπτομένων

Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο M(x, y). Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο 1^o τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΕ θα έχουμε

Αν με y_E παραστήσουμε την τεταγμένη του Ε, τότε θα ισχύει (AE) = y_E , οπότε θα είναι

εφω = y_E .

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει:

εφω = y_E =τεταγμένη του σημείου Ε

Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x =1 , λέγεται άξονας των εφαπτομένων.

Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών

Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα, ένα τόξο ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή 1rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α∙ρ Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέρησης των γωνιών ως εξής:

Από τον ορισμό αυτό προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών, ως εξής :

Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ^o, και α rad . Επειδή το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ είναι 2πρ ,

η γωνία 360^o είναι ίση με 2π rad.

οπότε ,

η γωνία 1 rad είναι ίση με 360/2π μοίρες ,

Επομένως ,

η γωνία α rad είναι ίση με α∙180/π μοίρες .

Επειδή όμως η γωνία ω είναι µ^o , θα ισχύει µ = α∙180/π , οπότε θα έχουμε:

Για παράδειγμα :

✔ Για να εκφράσουμε τη γωνία 60^o σε ακτίνια, θέτουμε στον τύπο α/π = μ/180 όπου μ^o = 60 0 και έχουμε

✔ Για να τη γωνία 5π/6 rad σε μοίρες, θέτουμε στον τύπο

Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει μήκος x, αντί να γράφουμε ημ(x rad), συν( x rad), εφ(x rad) και σφ(x rad), θα γράφουμε απλά ημx, συνx, εφx και σφx.

Για παράδειγμα, αντί να γράφουμε π.χ. ημ(π/3 rad) θα γράφουμε απλά ημπ/3 και αντί ημ(100rad ) θα γράφουμε απλά ημ100.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1^η οι μετρήσεις που έκανε ένας μηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καμπαναριού ΓΚ,

φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογιστεί το ύψος του καμπαναριού σε μέτρα με προσέγγιση ακέραιας μονάδας.

ΛΥΣΗ

2^η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 750^o .

ΛΥΣΗ

3^η Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 79π/3 rad.

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη x, y και τη γωνία ω .
2. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του διπλανού σχήματος.
3. Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6cm. Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι:
i) ρ = 1cm	ii) ρ = 2cm	iii) ρ = 3cm .
4. Να εκφράσετε σε rad γωνία
i) 30o	ii) 120o	iii)1260o	iv) -1485o
5. Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία:
i) π/10 rad	ii) 5π/6 rad	iii) 91π/3 rad	iv) 100 rad
6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας
i) 1830o	ii) 2940o	iii) 1980o	iv) 3600o