Αν , τότε
(i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα
(ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους , ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων να είναι ίσο με μηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων στην περίπτωση αυτή;

Αν , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: ,

Αν , να βρείτε τον , ώστε:
(i) Τα διανύσματα να είναι κάθετα
(ii) Τα διανύσματα να είναι κάθετα.

Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο και έχουν μέτρο ίσο με 1.

Αν να υπολογίσετε τον , ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα.

Αν , να βρείτε τον ώστε να ισχύει:

Αν να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων .

Αν τα διανύσματα είναι μη μηδενικά, να αποδείξετε ότι:

Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι κάθετα.

Να αποδείξετε ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα , το διάνυσμα είναι κάθετο στο .

Δίνονται τα σημεία . Να υπολογίσετε
(i) Το εσωτερικό γινόμενο
(ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα ;

Δίνονται τα διανύσματα . Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το .

Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα και

Να εξετάσετε πότε ισχύει:

Τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά. Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει:

Πότε ισχύει το

Να αποδείξετε ότι:

Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα . Να αποδείξετε ότι:

(i) Ο φορέας του διανύσματος διχοτομεί τη γωνία των διανυσμάτων .
(ii) Ο φορέας του διανύσματος διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των διανυσμάτων .

Αν , να υπολογίσετε το άθροισμα

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα και έχουν μέτρα ίσα με τη μονάδα, να δείξετε ότι .

Να αποδείξετε ότι

Σε ημικύκλιο με διάμετρο AB και κέντρου O παίρνουμε σημείο M .

(i) Να εκφράσετε τα διανύσματα ως συνάρτηση των
(ii) Να βρείτε το γινόμενο . Τι συμπεραίνετε για τη γωνία των διανυσμάτων .Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχτεί;

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικώς αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΑΓΗΘ . Να εκφράσετε τα διανύσματα ως συνάρτηση των και να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο . Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΒΘ και ΕΓΖ ;

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και κύκλος κέντρου O που διέρχεται από την κορυφή A και τέμνει τις ευθείες AB,AΓ και AΔ στα Β',Γ' και Δ' αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι.

Δίνεται κύκλος (O,R) και σημείο M του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το M τέμνει τον κύκλο στα A και B , να αποδείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό. (Το γινόμενο αυτό λέγεται δύναμη του σημείου M ως προς τον κύκλο O ).

Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ,λ,μ με , τέτοιοι, ώστε

να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά και αντιστρόφως.

Αν για το σημείο M του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις , να αποδείξετε ότι το M είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ.

Έστω O και A δύο σταθερά σημεία του επιπέδου με . Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία M του επιπέδου για τα οποία είναι ;

Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα . Αν υπάρχει , τέτοιος, ώστε , να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου ΟΑΓΒ με είναι μικρότερο ή ίσο του

Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ΑΒΓ (δηλαδή το σημείο για το οποίο ισχύει OA=OB=OΓ ), και έστω, τα διανύσματα θέσεως των κορυφών Α, Β, Γ αντιστοίχως με σημείο αναφοράς το O .
(i) Να δείξετε ότι το σημείο H με διάνυσμα θέσεως είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.
(ii) Να βρείτε το διάνυσμα θέσεως του βαρύκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ με σημείο αναφοράς το O.
(iii) Να αποδείξετε ότι το περίκεντρο O , το βαρύκεντρο G και το ορθόκεντρο H ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι συνευθειακά σημεία και ότι G διαιρεί το τμήμα σε λόγο 1/2 .

Τα διανύσματα και του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση
(i) Να αποδείξετε ότι
(ii) Αν να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των και .

Τετραπλεύρου ΑΒΓΔ οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Ε και οι πλευρές ΒΓ και ΑΔ τέμνονται στο Ζ. Αν και , τότε
(i) Να εκφράσετε ως συνάρτηση των τις διανυσματικές ακτίνες ως προς το E των σημείων K , Λ και M που είναι μέσα των ΒΔ, ΑΓ, και ΕΖ αντιστοίχως.
(ii) Να δείξετε ότι τα σημεία K , Λ και M είναι συνευθειακά.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντιστοίχως, ώστε να ισχύει . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο.

Δίνεται ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Καθεμία από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή ή λάθος. Αν είναι σωστή, κυκλώστε το γράμμα Σ, αν είναι λάθος κυκλώστε το Λ.

Αν Α, Β, Γ και Δ είναι τέσσερα σημεία, να συμπληρώσετε τις ισότητες:

Αν O είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ , να συμπληρώσετε τις ισότητες:

Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο δίνεται το σημείο A( -3, -2) . Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

Δίνονται τα σημεία A(3,1), B(6,5), Γ( -4, -2), Δ(3, -3) και Ε( -3, 5). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε διάνυσμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του στη δεύτερη στήλη

Δίνονται τα σημεία A(3,2), B( -4, 5), Γ( -3, -2), Δ(3, -4) . Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε τμήμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη.

Να βάλετε σε κύκλο τον αριθμό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
(i) Δίνεται το διάνυσμα και τα σημεία A(4, -1), B( -2, 7) , Γ(0,3) και Δ(1,5) . Ποιο από τα διανύσματα είναι ίσο με το :

(ii) Δίνεται το διάνυσμα . Ποιο από τα διανύσματα είναι παράλληλο με το :

Δίνονται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο O και πλευρά α . Να βρείτε ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα:

Τα διανύσματα έχουν μέτρα 2 και 3 αντιστοίχως. Να βρείτε το γινόμενο , αν η γωνία των διανυσμάτων αυτών είναι:

Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση:

Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γωνίας τους που αναφέρονται στη δεύτερη στήλη.

Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: