-
Μαθαίνω τι είναι πολυώνυμο, ποιος
είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου και διακρίνω αν δύο πολυώνυμα είναι ίσα.
-
Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ πολυώνυμα
Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε, ότι το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά. Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο αλλά μια αλγεβρική παράσταση, που λέγεται πολυώνυμο. π.χ.
Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.
Ειδικότερα, ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται
- διώνυμο, αν έχει δύο όρους
- τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους.
Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.
Συμφωνούμε, ακόμα, ότι κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.
Το πολυώνυμο -3x + 2x2 + 5 έχει μία μεταβλητή την x και για συντομία συμβολίζεται P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.
Το πολυώνυμο P(x) = -3x + 2x2 + 5 είναι δευτέρου βαθμού και μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.
Δηλαδή, P(x) = 2x2 - 3x + 5.
Τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.
H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P(x) για x = 5, συμβολίζεται με P(5) και είναι:
P(5) = 2·52- 3·5 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40.
Τα πολυώνυμα 3x2 - 5x + 1 και αx2 + βx + 1 είναι ίσα,
αν α = 3 και β = -5.
Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα.
Η αρχική αλγεβρική παράσταση, που είχε τέσσερις όρους, συμπτύχθηκε σε μία άλλη με δύο όρους.
Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.
Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.
Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα A(x) = 3x3 - 2x2 - 7x - 5 και B(x) = 2x3 - x2 + x έχουν άθροισμα ή διαφορά που βρίσκουμε ως εξής:
A(x)+B(x) |
= (3x3 - 2x2 - 7x - 5) + (2x3 - x2 + x) =
= 3x3 - 2x2 - 7x - 5 + 2x3 - x2 + x =
5x3 - 3x2 - 6x - 5. |
(Απαλείφουμε τις παρενθέσεις) (Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων) |
Ομοίως, έχουμε |
|
A(x)-B(x) |
= (3x3 - 2x2 - 7x - 5) - (2x3 - x2 + x) =
= 3x3 - 2x2 - 7x - 5 - 2x3 + x2 - x =
= x3 - x2 - 8x - 5.
|
|
|