Εικόνα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις−συμπληρώσεις

1.2 Μονώνυμο − Πράξεις με μονώνυμο

1.3 Πολυώνυμο − Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

Γενικές ασκήσεις 1ου κεφαλαίου Επανάληψη − Ανακεφαλαίωση

Θυμάμαι τους πραγματικούς αριθμούς, τις τεχνικές και τις βασικές ιδιότητες των πράξεών τους.
Εμπεδώνω τις ιδιότητες των δυνάμεων.
Γνωρίζω τις ιδιότητες των ριζών και μαθαίνω να τις χρησιμοποιώ.

Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες τάξεις.

Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.

Π.χ.

Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος , όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και ν ≠ 0.

Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός.

Εικόνα

Κάθε πραγματικός αριθμός παριστάνεται μ´ ένα σημείο πάνω σ´ έναν άξονα.

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α| και είναι ίση με την απόσταση του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα.

Για παράδειγμα: |− 2| = 2, |2| = 2, |0| = 0,

Οι πράξεις στους πραγματικούς αριθμούς

Πρόσθεση

+7 + 5 = +12
− 7 − 5 = − 12

Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά αυτό βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο.

+5 − 7 = − 2
− 5 + 7 = +2

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

Πολλαπλασιασμός

(+5) • (+7) = +35
(-5) • (-7) = +35

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο γινόμενο αυτό βάζουμε πρόσημο +

(+5) • (-7) = -35
(-5)•(+7) = -35

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο γινόμενο αυτό βάζουμε πρόσημο -

Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες:

Ιδιότητα	Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική	α + β = β + α	αβ = βα
Προσεταιριστική	α + (β + γ) = = (α + β) + γ	α(βγ) = (αβ)γ
Ουδέτερο στοιχείο	α + 0 = α	α•1 = α
	α + (− α) = 0	α · = 1, α ≠ 0
Επιμεριστική	α (β + γ) = α β + α γ

Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι:

εικόνα

α • 0 = 0.
Αν αβ = 0, τότε α = 0 ή β = 0.
Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι.
Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι.

Αφαίρεση - Διαίρεση

Οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης γίνονται με τη βοήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντιστοίχως.

Για να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών, 5 - 7 = 5 + (-7) = -2
προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. 5 - (-7) = 5 + (+7) = 12
α - β = α + (-β)
Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών
(α : β, ή με β ≠ 0), πολλαπλασιάζουμε το
διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

Εικόνα

Λύση

Αν α + β = − 3 και γ + δ = − 5, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης

Λύση

Α = − (γ − 2α) + =

= – γ + 2α+ 2β − δ =                 (επιμεριστική ιδιότητα)
= 2α + 2β − γ − δ =                  (αντιμεταθετική ιδιότητα)
= 2(α + β) − (γ + δ) =                (επιμεριστική ιδιότητα)
= 2(− 3) − (− 5) =
= − 6 + 5 =
= − 1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα σημειώνοντας «x» στην κατάλληλη θέση.

	–3	6	0,3 –0,8	3,14	π
Ακέραιος
Ρητός
Άρρητος

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

α) (-3•2 - 5)x =…… β) -3(2 - 5x) = …… γ) -3(2 - 5)x = ……

δ) -2(x …) = … + 6 ε) (3 + x)(2 + y) = …… στ) 4(… + …) = 12x + 8

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Αν δύο αριθμοί είναι αντίθετοι, τότε:
1. είναι ομόσημοι
2. έχουν ίσες απόλυτες τιμές
3. έχουν γινόμενο μηδέν
4. έχουν γινόμενο τη μονάδα.
Αν δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι, τότε:
1. είναι ετερόσημοι
2. έχουν άθροισμα μηδέν
3. έχουν ίσες απόλυτες τιμές
4. έχουν γινόμενο τη μονάδα.

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι.
Το άθροισμα δύο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός.
Η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός.
Δύο αριθμοί με γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό είναι αρνητικοί.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να κάνετε τις πράξεις:

α) 2 + 3 · 4 − 12 : (−4) + 1 β) 2 + 3 · (4 − 12) : (−4 + 1)

γ) −3 · (−2) − 5 + 4 : (−2) − 6 δ) −8 : (−3 + 5) − 4 · (−2 + 6)

Τα αποτελέσματα των παρακάτω πράξεων σχηματίζουν το έτος που έγινε ένα γεγονός στη χώρα μας με παγκόσμιο ενδιαφέρον.

(5 − 4) − (+2) + (−6 + 4) − (−7) =
− (− 2 + 6 − 3) + (−9 + 6) =
4 + (−6 + 5 − 3) − (− 4 − 1) · (−2) =
(−3) · (−2) + 4 − (+5) − (−1) : (−1) =

Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε από τη θέση Ο, κινήθηκε πάνω στον άξονα x΄x προς τα αριστερά στη θέση Β και στη συνέχεια προς τα δεξιά στη θέση Γ. Αν είναι ΟΑ = 5 km, τότε να βρείτε πόσο διάστημα διήνυσε το αυτοκίνη-το και πόσο μετακινήθηκε από την αρχική του θέση.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Οι ελάχιστες θερμοκρασίες μιας πόλης το πρώτο δεκαήμερο του έτους ήταν:

1, -3, 0, 2, 1, -2, -5, 0, -3, -1.

Να βρείτε τη μέση ελάχιστη θερμοκρασία της πόλης το δεκαήμερο αυτό

Οι συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (+ ή -).

Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες:

8 - (α - β) + (α - 5 - β) = 3
2 - (α + β - γ) - (4 + γ - β) - (-2 - α) = 0
-2•(α - 3) + α•(-7 + 9) - 3•(+2) = 0

Αν x + y = -5 και ω + φ = -7, να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Α = 4 - (x - ω) - (y - φ)

Β = -(-5 - x + φ) + (-8 + y) - (ω - 4)

Αν α, β είναι οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 56 και γ, δ οι διαστάσεις ενός άλλου ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 32, να υπολογίσετε την παράσταση Α = α - (9 - 2γ) - (15 - β - 2δ).

Να τοποθετήσετε καθέναν από τους παρακάτω αριθμούς

-7, -6, -5, -3, 1, 2, 4, 5, 9

σε ένα τετράγωνο, ώστε τα τρία αθροίσματα να είναι ίσα μεταξύ τους.

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα 2³ = 2•2•2 = 8
φυσικό αριθμό ν ≥ 2 συμβολίζεται με α^ν και είναι το γινόμενο (-3)² = (-3)•(-3) =9
ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α.

Δηλαδή εικόνα

Ορίζουμε ακόμη: εικόνα

Για τις δυνάμεις με εκθέτες ακέραιους αριθμούς και εφόσον αυτές ορίζονται, ισχύουν οι ιδιότητες:

εικόνα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις

εικόνα

Λύση

Αν x³•y² = -3, να υπολογιστεί η παράσταση

Α = x²•(x²•y³)²• (x^-1)^-3

Λύση

εικόνα

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

A = (−2)² · (−3) + 2 · 3² − 5² · (−2) : 5 − 6

B = (2 · 5 − 3²) + 2 · (2³ − 4) − 12 : (−3)

Λύση

H προτεραιότητα των πράξεων

Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.
Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.
Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.
Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω.

Α = (−2)² · (−3) + 2 · 3² − 5² · (−2) : 5 − 6 =
= 4 · (−3) + 2 · 9 − 25 · (−2) : 5 − 6 =
= −12 + 18 + 50 : 5 − 6 =
= −12 + 18 + 10 − 6 =
= 10

Β = (2 · 5 − 3²) + 2 · (2³ − 4) − 12 : (−3) =
= (2 · 5 − 9) + 2 · (8 − 4) − 12 : (−3) =
= 10 − 9 + 2 · 4 − 12 : (−3) =
= 1 + 8 + 4 =
= 9 + 4 =
= 13

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

Για κάθε αριθμό α ισχύει α + α + α + α = α⁴.
Για κάθε αριθμό α ισχύει α·α·α·α = α⁴.
Οι αριθμοί (-5)⁶ και -5⁶ είναι αντίθετοι.
Οι αριθμοί είναι αντίστροφοι.
Για κάθε αριθμό α ισχύει (3α)² = 9α².
Ο αριθμός -(-5)² είναι θετικός.
Ο αριθμός -3^-2 είναι θετικός.

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (= ή ≠).

εικόνα

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

H τιμή της παράστασης
H τιμή της παράστασης είναι
H τιμή της παράστασης 2³ + 3² είναι:

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β.

Στήλη Α		Στήλη Β
		1.
α.	(2⁴)^-1	2.	-2⁴
β.	(2^-5)² · 2¹⁰	3.	4
γ.	(-2)-2	4.	2³
δ.	(2⁴ : 2³) · 2²	5.	2^-4
		6.	1

α	β	γ	δ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μία δύναμη

εικόνα

Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:

εικόνα

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

εικόνα

Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης:

Α = 3·(-2)² + 4 - (-7)⁰·2 - 8·(2^-1 - 1) - 2·3² Β = (-4)² : 2 - 5 - (-3)·2² - (-2)⁴

Γ = (2,5)²·(1,25)³·(-4)²·(-8)³ Δ = (25⁷·8⁴) : (5⁷·40⁴)

Αν τριπλασιάσουμε την πλευρά ενός τετραγώνου, πόσες φορές μεγαλώνει το εμβαδόν του;

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x συμβολίζεται με √x και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό x. Π.χ √25 =5, αφού 5²=25

Ορίζουμε ακόμη √0 =0

Όμως και (-5)²=25,οπότε έχουμε √(-5)²= √25= 5=|-5|

Άρα, για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνο του να είναι αρνητικός αριθμός.

Παρατηρούμε ακόμη ότι: ( √9 )²=3²⁼9 δηλαδή ( √9 )² =9 Γενικά

εικόνα

Ιδιότητες των ριζών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά χρησιμοποιώντας το κατάλληλο σύμβολο (= ή ≠)

2. Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης να συμπληρώσετε και τα παρακάτω κενά:

Για τους αριθμούς 4 και 100 μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι ισχύουν:

Με τη βοήθεια ενός υπολογιστή τσέπης μπορούμε να καταλήξουμε σε ανάλογες ισότητες και για τους αριθμούς 2 και 5. Όσα όμως παραδείγματα κι αν εξετάσουμε, δεν αρκούν για να μας πείσουν, ότι οι σχέσεις αυτές είναι αληθείς για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς. Μόνο μια απόδειξη μπορεί να μας πείσει.

Γενικά

Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς α, β μπορούμε να αποδείξουμε ότι:

√α · √β = √αβ

Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους.

Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους.

Για να αποδείξουμε την πρώτη ισότητα, υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά.

εικόνα

Παρατηρούμε, ότι οι δύο μη αρνητικοί αριθμοί √α · √β και √αβ έχουν το ίδιο τετράγωνο αβ, οπότε είναι ίσοι.

Άρα √α · √β=√αβ

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε και τη δεύτερη ισότητα.

Παρατηρούμε ακόμη ότι √16+√9=4+3=7 Ενώ √16+9=√25=5

Δηλαδή √16+√9 ≠√16+9

Γενικά:
Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε √α+√β≠√α+β

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να αποδειχθεί ότι √20=2√5 και γενικά για μη αρνητικούς αριθμούς α, β ότι ισχύει

Λύση

Να αποδειχθεί ότι:

3 √ 3+2 √3 =5√ 3
√ 3· √24=6√2
√50- √18=2√2

Λύση

Να μετατραπεί το κλάσμα εικόνα , που έχει άρρητο παρονομαστή, σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή.

Λύση

Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον παρονομαστή.

Τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΓΖΗΘ έχουν εμβαδόν 12 m² και 3 m² αντιστοίχως. Να βρεθεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ΒΚΖΓ και το μήκος του τμήματος ΒΘ.

Λύση

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε στοιχείο της στήλης Α ένα στοιχείο από τη στήλη Β.

Στήλη Α		Στήλη Β
α.	√25
β.	√-25	1.	-5
γ.	-√25	2.	δεν ορίζεται
δ.	√ 52	3.	5
ε.	√ - (5)2
στ.	√ - 52

α	β	γ	δ	ε	στ

Να συμπληρώσετε τους πίνακες:

Άθροισμα

Γινόμενο

Πηλίκο

α	β	√ α	√ β
4	1
9	16
64	36

√ α+β	√ α +√ β

√ αβ	√ α ·√ β

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες

εικόνα

Ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 50 m². Είναι σωστό να ισχυριστούμε ότι η πλευρά του είναι 5√ 2 m;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

εικόνα

Να αποδείξετε τις ισότητες:

εικόνα

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις περιμέτρους και τα εμβαδά των ορθογωνίων ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ και ΚΛΜΝ. Ποιο από τα ορθογώνια έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

	μήκος	πλάτος	περίμετρος	εμβαδόν
ΑΒΓΔ	5√ 2	√ 2
ΕΖΗΘ	4√ 2	2√ 2
ΚΛΜΝ	3√ 2	3√ 2

Να κάνετε τις πράξεις:

Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχουν άρρητους παρονομαστές, σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές

Να λύσετε τις εξισώσεις:

Να αποδείξετε ότι:(√ 3 -1)(√ 3 +1)=2 . Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη ισότητα να μετατρέψετε το κλάσμα εικόνα που έχει άρρητο παρονομαστή, σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

Αν τα τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΓΕΖΗ έχουν εμβαδόν 50 m² και 8 m² αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΘΙΕ είναι 98 m².

Στις κάθετες πλευρές ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 6 cm ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ, Ε, έτσι ώστε ΑΔ = 2 cm και AE = 1 cm. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = 3ΔΕ.

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), το ύψος ΑΔ = 4 cm και η πλευρά ΒΓ = 4 cm.

α)Να υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 4+4√ 5 cm

β)Στην προηγούμενη ερώτηση 4 μαθητές έδωσαν τις παρακάτω απαντήσεις:

Ποιες από αυτές είναι σωστές;