Μαθηματικά (Γ Λυκείου Θετικών Σπουδών / Οικονομίας & Πληροφορικής)- Βιβλίο Μαθητή
|
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνεται η συνάρτηση f με α) Να αποδείξετε ότι β) Έστω α,β δυο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το 0. Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία M(x, y), με x ≠ 0, για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί z = αx + βyi ικανοποιούν τη σχέση Re( f(z) ) = 0. 2. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z, w και w1 , για τους οποίους ισχύουν: w = z − zi και 3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z = λ + 2 + (3λ − 1)i , λ ϵ R. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w για τον οποίο ισχύει w = z + (1 + i) γ) Να βρείτε το μιγαδικό z που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή O(0,0). 4. Να γραμμοσκιάσετε το τμήμα του μιγαδικού επιπέδου που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει :
5. Να αποδείξετε ότι αν οι μιγαδικοί z1, z2 ,.....,zk έχουν τις εικόνες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή O(0,0), τότε ισχύει z1 + z2 +.....+zk ≠0. 6. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης (1 − z) ν = z ν είναι σημεία της ευθείας x = 1/2. |
|
7. Αν το τριώνυμο αx2 + βx + γ με πραγματικούς συντελεστές και α ≠0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι : α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει
β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς z1 και z2 διαφορετικούς από τις ρίζες του τριωνύμου ισχύει επίσης
8. Γνωρίζοντας ότι για τις νιοστές ρίζες της μονάδας 1, z1, z2 ,.....,zν-1 ισχύει 1 + z1 + z2 +.....+ zν-1 = 0 , να αποδείξετε τις ταυτότητες :
|
με 
. 
, όπου α ϵ R*. Να δείξετε ότι αν το α μεταβάλλεται στο R* και ισχύει w = 