ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Δίνεται ο πίνακας

Να αποδείξετε ότι

i) A(x) • A(y) = A(x + y)

ii) [A(x)] ⁻¹ = A(−x)

iii) [A(x)] ^ν = A (νx) για κάθε ν ϵ Ν ^*.

2. Δίνεται ο πίνακας  

i) Να αποδείξετε ότι Μ ³ = Ο και γενικά Μ ^ν = Ο για κάθε ν ≥ 3.

ii) Αν Α = αΜ ² + αM + I και Β = α(α − 1)Μ ²− αM + I, α ϵ R, τότε να βρείτε το γινόμενο ΑΒ και να αποδείξετε ότι Β ⁻¹ = Α.

3. Αν τότε να αποδείξετε ότι:
i) J ² = −Ι

ii) Το άθροισμα και το γινόμενο πινάκων της μορφής αI + βJ, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί είναι επίσης πίνακες της ίδιας μορφής.

iii) Ο πίνακας αI + βJ έχει αντίστροφο, αν και μόνο αν α ² + β ² ≠0.

4. Να αποδείξετε ότι η συμμετρία ως προς άξονα την ευθεία ε του διπλανού σχήματος είναι γραμμικός μετασχηματισμός με πίνακα
Μπορείτε από τον πίνακα Α να βρείτε τους πίνακες των συμμετριών ως προς τον άξονα xʹx, τον άξονα yʹy, την ευθεία y = x και την ευθεία y = −x ;

5. Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός

i) Να αποδείξετε ότι ο Τ είναι συνάρτηση "1−1".

ii) Να βρείτε τον αντίστροφο του μετασχηματισμού Τ.

iii) Να βρείτε τους αντίστροφους μετασχηματισμούς των συμμετριών της στροφής και της ομοιοθεσίας.

6. Να λύσετε το σύστημα:

α, β ϵ R * .

7. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του α ϵ [0, π) το σύστημα:

8. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του κ ϵ R τις σχετικές θέσεις των ευθειών

9. Να λύσετε το σύστημα:

λ ϵ R.

10. Έστω ο πίνακας . Αν υπάρχουν μη μηδενικός πίνακας και πραγματικός αριθμός λ τέτοιοι, ώστε να ισχύει ΑΧ = λΧ, να αποδείξετε ότι −2 ≤ α ≤ 2.

11. i) Να λύσετε το σύστημα:

λ ϵ R.

ii) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι εξισώσεις:

έχουν κοινή ρίζα. Ποια είναι η κοινή ρίζα σε κάθε μια περίπτωση;