1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΠΙΝΑΚΑ

Πρόσθεση πινάκων

Μία εταιρεία πουλάει τηλεοράσεις, ψυγεία, κουζίνες και πλυντήρια σε Αθήνα, Θεσσαλονίκη και Πάτρα. Οι πωλήσεις τους μήνες Σεπτέμβριο και Οκτώβριο παρουσίασαν την εξής κίνηση:

Επομένως, τους δυο αυτούς μήνες οι συνολικές πωλήσεις της εταιρείας ήταν οι εξής:

Αν τώρα θεωρήσουμε τους πίνακες των παραπάνω πωλήσεων έχουμε:

Για το Σεπτέμβριο:
Για τον Οκτώβριο:

και για τις συνολικές πωλήσεις:

O πίνακας Γ λέγεται άθροισμα των πινάκων Α και Β και συμβολίζεται με A+B, δηλαδή Γ=Α+Β. Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Άθροισμα δυο μ x ν πινάκων Α = [α_{i j}] και Β = [ β_{i j}] λέγεται ο μ x ν πίνακας του οποίου κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων των Α και Β. Ο πίνακας αυτός συμβολίζεται με Α + Β. Δηλαδή,

Α + Β = [α_{i j} + β_{i j} ]

Δεν ορίζουμε άθροισμα πινάκων διαφορετικού τύπου.

Για παράδειγμα, οι πίνακες Εικόνα και που είναι του ίδιου τύπου 3x3, με βάση τον παραπάνω ορισμό, μπορούν να προστεθούν και το άθροισμά τους είναι

ενώ οι πίνακες Εικόνα που δεν είναι του ίδιου τύπου δεν μπορούν να προστεθούν. Η πράξη με την οποία βρίσκουμε το άθροισμα δύο πινάκων λέγεται πρόσθεση πινάκων.

Ιδιότητες της πρόσθεσης των πινάκων

Η πρόσθεση των πινάκων έχει ιδιότητες ανάλογες με την πρόσθεση των πραγματικών αριθμών. Συγκεκριμένα:

Αν Α, Β, Γ είναι μ x ν πίνακες, τότε

A + B = B + A	αντιμεταθετική
A + (B + Γ) = (A + B) + Γ	προσεταιριστική

	Αν O είναι ο μ x ν πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι μηδέν, τότε για μ x ν
πίνακα Α ισχύει

Α + O = O + Α = Α

Ο πίνακας O λέγεται μηδενικός πίνακας.

Για παράδειγμα, οι πίνακες Εικόνα είναι μηδενικοί.

	Αν με −Α συμβολίσουμε τον πίνακα του οποίου όλα τα στοιχεία είναι αντίθετα
των αντίστοιχων στοιχείων ενός πίνακα Α, τότε ισχύει

Α + (−Α) = (−Α) + Α = O

Ο πίνακας −Α λέγεται αντίθετος του πίνακα Α.

Για παράδειγμα, ο αντίθετος του πίνακα Εικόνα είναι ο πίνακας

Η προσεταιριστική ιδιότητα μας επιτρέπει να γράφουμε Α + Β + Γ για καθένα από τα ίσα αθροίσματα Α + (Β + Γ), (Α + Β ) + Γ. Ομοίως, αν Α, Β, Γ, Δ, είναι πίνακες του ίδιου τύπου, τότε έχουμε:

και επομένως, μπορούμε να γράφουμε Α + Β + Γ + Δ για καθένα από τα αθροίσματα αυτά. Γενικά, επειδή ισχύει η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα, μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα τριών ή περισσοτέρων πινάκων Α₁ , Α₂ , Α₃ ,......., Α_ν είναι το ίδιο κατά οποιονδήποτε τρόπο και αν εκτελεστεί η πρόσθεση και συμβολίζεται με Α₁ + Α₂ + Α₃ +.......+ Α_ν.

Αφαίρεση πινάκων

Όπως και στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, έτσι και στους πίνακες η αφαίρεση ορίζεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης. Συγκεκριμένα, αν A, B είναι δύο πίνακες μ x ν, τότε η διαφορά A − B ορίζεται ως εξής:

Α − Β = Α + (−Β)

Για παράδειγμα, αν		τότε

Δηλαδή, ο πίνακας Α − Β προκύπτει με αφαίρεση των στοιχείων του Β από τα αντίστοιχα στοιχεία του Α. Από τους παραπάνω ορισμούς της πρόσθεσης και της αφαίρεσης προκύπτει ότι:

X + B = A ⇔ X = A − B

Πράγματι:

―	Αν X + B = A, τότε X + B − B = A − B, οπότε X = Α − B, ενώ
―	Αν X = Α − B, τότε X + B = A − B + Β, οπότε X + Β = Α

Πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα

Ο παρακάτω πίνακας Α περιγράφει τις τιμές πώλησης σε δραχμές τριών ηλεκτρικών ειδών μιας βιομηχανίας σε δύο υποκαταστήματα:

Αν κατά την περίοδο των εκπτώσεων, ο βιομήχανος προτίθεται να κάνει έκπτωση 20% στα προϊόντα του, τότε πρέπει να διαμορφώσει τις νέες τιμές στο 80% των προηγουμένων. Οι νέες τιμές πώλησης θα προκύψουν αν πολλαπλασιάσουμε τις παλιές τιμές με 0,8, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Ο πίνακας Β λέγεται γινόμενο του αριθμού 0,8 με τον πίνακα Α και συμβολίζεται με Α•0,8 , δηλαδή είναι Β = 0,8Α. Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

OΡΙΣΜΟΣ

Γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με έναν πίνακα Α = [α_{i j}] , λέγεται ο πίνακας που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε κάθε στοιχείο του Α με λ. Ο πίνακας αυτός συμβολίζεται με λ • Α ή λ Α . Δηλαδή,

λ • Α = [λα_{i j}]

Η πράξη με την οποία βρίσκουμε το γινόμενο αριθμού με πίνακα λέγεται πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα.

Για παράδειγμα, το γινόμενο του αριθμού λ = −3 με τον πίνακα

είναι

ο πίνακας:

Iδιότητες του πολλαπλασιασμού αριθμού με πίνακα

Αν Α, Β είναι μ x ν πίνακες και κ, λ πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, που είναι άμεση συνέπεια του ορισμού:

1.	(κ + λ) Α = κΑ + λΑ
2.	λ(Α + Β) = λΑ + λΒ
3.	κ(λΑ) = (κλ)Α
4.	1Α = Α

Επιπλέον, ισχύει η ισοδυναμία:

λΑ = Ο ⇔ λ = 0 ή Α = Ο

ΕΦΑΡΜΟΓH

Nα βρεθεί ο πίνακας Χ για τον οποίο ισχύει:

(Mια τέτοια ισότητα είναι μια ε ξ ί σ ω σ η με π ί ν α κ ε ς).

ΛΥΣΗ

Έχουμε :

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις, να βρείτε το άθροισμα A +B και την διαφορά A − B, εφόσον φυσικά ορίζονται:

2. Αν είναι :
να βρείτε το άθροισμα Α₁ + Α₂ + Α₃ + Α₄.

3. Να βρείτε τα x, y, ω για τα οποία ισχύει η ισότητα:

4. Να κάνετε τις πράξεις:

5. Αν		να βρείτε τους πίνακες:

6. Να λύσετε τις εξισώσεις:

7. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα

είναι ένας διαγώνιος πίνακας.

8.			να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, δ,
ώστε να ισχύει:

Β΄ ΟΜΑΔΑΣ

1. Να βρείτε τα x, y για τα οποία ισχύει:

2. Nα βρείτε τους πίνακες X, Y για τους οποίους ισχύει:

3. Αν		να λύσετε την εξίσωση

4. Μια βιομηχανία που κατασκευάζει τηλεοράσεις, βίντεο και κάμερες έχει δύο εργοστάσια παραγωγής Π₁και Π₂. Το κόστος παραγωγής ανά συσκευή δίνεται (σε χιλιάδες δρχ.) στους παρακάτω πίνακες:

Να βρείτε τον πίνακα και να εξηγήσετε τι εκφράζει.

5. Μια βιομηχανία έχει τέσσερα εργοστάσια παραγωγής Π₁ , Π₂ , Π₃ και Π₄ , καθένα από τα οποία παράγει δύο προϊόντα Ε₁και Ε₂ . Το ημερήσιο επίπεδο παραγωγής σε μονάδες προϊόντων δίνεται στον επόμενο πίνακα:

i) Nα βρείτε το ημερήσιο επίπεδο παραγωγής, αν αυτή αυξηθεί κατά 10%.

ii)Να βρείτε το σύνολο της παραγωγής ανά προϊόν σε 5 μήνες, αν υποτεθεί ότι τα εργοστάσια δούλεψαν 2 μήνες με το προηγούμενο επίπεδο και 3 μήνες με το νέο επίπεδο παραγωγής (1 μήνας = 30 μέρες).