3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιμες στο λογισμό με παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Συγκεκριμένα ισχύουν:

1.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν M (x, y) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι :

x = συνω και y = ημω

Επειδή όμως ,

(OM) =1 και (OM)² = |x|² + |y|² = x² + y²

θα ισχύει :

x² + y² = 1

οπότε θα έχουμε : 

ημ²ω + συν²ω = 1

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1^η Αν ηµω = 5/13  και  90^o < ω < 180^o να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

ΛΥΣΗ

2^η Να αποδειχθεί ότι

i)  ημ⁴ω + συν⁴ω = 1 - 2ημ²ω συν²ω      ii) ημ⁴ω - συν⁴ω = 2ημ²ω-1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1. Αν ημx = 3/5 και π/2 < x < π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.
2. Αν συνx = -2/3 και π < x < 3π/2 , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.
3. Αν εφx = -√3/3 και 3π/2 < x <2π , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.
4. Αν σφx = 2 √5/5και 0 < x < π/2 , να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad.
5. Αν σφx = -2 και 3π/2 < x <2π , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
6. Να εξετάσετε, αν υπάρχουν τιμές του x για τις οποίες : i) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 0 και συνx = 0. ii) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 1 και συνx = 1. iii) Να ισχύει συγχρόνως ημx = 3/5 και συνx = 4/5 .
7. Να αποδείξετε ότι, τα σημεία M ( x, y) του επιπέδου με x = 3συνθ και y = 3ημθ, είναι σημεία κύκλου O(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ = 3.
8. Αν ισχύει x = 2συνθ και y = 3ημθ , να δείξετε ότι 9x2 + 4y2 =36.
9. Αν είναι x = r ημθσυνφ , y = r ημθημφ και z = r συνθ , να δείξετε ότι x2 + y2 + z2 = r2 .
10. Να αποδείξετε ότι :