Άλγεβρα (Β ΕΠΑ.Λ.): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

4.3 Λογαριθμική συνάρτηση

Η λογαριθμική συνάρτηση

Έστω α ένας θετικός αριθμός διαφορετικός της μονάδας. Όπως είδαμε στην παράγραφο 4.2, για κάθε x > 0 ορίζεται ο log_αx. Επομένως, αντιστοιχίζοντας κάθε x ∈ (0, +∞) στο log_αx, ορίζουμε τη συνάρτηση

f : (0, +∞) → R με f(x) = log_αx

Η συνάρτηση αυτή λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α.

Ας θεωρήσουμε, τώρα, την λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log_αx. Επειδή

log_αx = y ⇔ α^y = x,

αν το Μ(ξ,η) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = log_αx, τότε το Ν(η,ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = α^x και αντιστρόφως. Τα σημεία, όμως, Μ(ξ,η) και Ν(η,ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και , Επομένως

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

y = log_αx και y = α^x

είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και .

Εικόνα

Αν λάβουμε τώρα υπόψη μας την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση f(x) = α^x καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι:

Αν α > 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log_αx:

●

Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, +∞)

●

Έχει σύνολο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών.

●

Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι

αν x₁ < x₂, τότε log_αx₁ < log_αx₂

απ' όπου προκύπτει ότι:

(log_αx < 0, αν 0 < x < 1) και (log_αx > 0, αν x > 1)

Εικόνα

●

Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy′.

Αν 0 τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log_αx:

●

Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, +∞)

●

Έχει σύνολο τιμών το σύνολο R των πραγματικών αριθμών.

●

Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι

αν x₁ < x₂, τότε log_αx₁ > log_αx₂

απ' όπου προκύπτει ότι:

(log_αx > 0, αν 0 < x < 1) και (log_αx < 0, αν x > 1)

●

Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy.

Εικόνα

Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι:

αν x₁ ≠ x₂, τότε log_αx₁ ≠ log_αx₂

οπότε, με απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι:

αν log_αx₁ = log_αx₂, τότε x₁ = x₂

Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:

log_αx₁ = log_αx₂ ⇔ x₁ = x₂

Η τελευταία ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για επίλυση εξισώσεων όπως π.χ. η log₂(x² - 1) = 3, που λύνεται ως εξής:

log₂(x² - 1) = 3

⇔ log₂(x² - 1) = log₂2³

⇔ log₂(x² - 1) = log₂8

⇔ x² - 1 = 8

⇔ x² = 9

⇔ x = 3 ή x = -3

Εξισώσεις όπως η προηγούμενη, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στο λογάριθμο λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1ο

Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις

i) φ(x) = lnx ii) f(x) = lnx + 1 iii) g(x) = ln(x - 2)

ΛΥΣΗ

Για τη γραφική παράσταση της φ(x) = lnx κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών:

x	0,2	0,3	0,5	0,7	1	2	3	4	5
y = lnx	-1,6	-1,2	-0,7	-0,4	0	0,7	1,1	1,4	1,6

Τοποθετώντας τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη βρίσκουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ(x) = lnx.

Η γραφική παράσταση της f(x) = lnx + 1 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ(x) = lnx κατά 1 μονάδα προς τα πάνω, ενώ της g(x) = ln(x - 2) από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ(x) = lnx κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά.

Εικόνα

2ο

Να βρεθεί το λάθος στους παρακάτω συλλογισμούς:

Από την ανισότητα 2 > 1 παίρνουμε διαδοχικά:

2log0,5 > 1log0,5

log0,5² > log0,5

log0,25 > log0,5

0,25 > 0,5, που είναι άτοπο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Πολλαπλασιάσαμε και τα δύο μέλη της ανισότητας 2 > 1 με log0,5 < 0 και δεν αλλάξαμε φορά.

3ο

Να λυθεί η εξίσωση:

log₂(x² - x) = 1 + log₂(x - 1)

ΛΥΣΗ

Η εξίσωση αυτή ορίζεται εφόσον x² - x > 0 και x - 1 > 0. Με αυτούς τους περιορισμούς η εξίσωση γράφεται διαδοχικά:

log₂(x² - x) = log₂2 + log₂(x - 1)

⇔ log₂(x² - x) = log₂[2(x - 1)]

⇔ x² - x = 2(x - 1)

⇔ x = 1 ή x = 2

Από τις τιμές αυτές του x μόνο η x = 2 ικανοποιεί τους περιορισμούς. Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση, τη x = 2.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f(x) = log₂x και log₁₂x Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντηση.
2.	Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f(x) = logx, g(x) = logx - 1 και h(x) = log(x - 1)
3.	Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f(x) = α^x και τη λογαριθμική συνάρτηση g(x) = log_αx των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο:
	i) Α(2,4)	ii) Β(-2,4)	iii) Γ(2,-4)	iv) Δ(-2,-4)
4.	Η ευαισθησία ενός φωτογραφικού φιλμ μετριέται σε μονάδες ASA ή σε μονάδες DIN. Αν x μονάδες ASA συνδέονται με y μονάδες DIN με τον τύπο y = l + 10logx, να φτιάξετε έναν πίνακα τιμών της παραπάνω συνάρτησης για x = 50, 100, 200, 400, 800, 1600 ASA. Τι παρατηρείτε; (Δίνεται ότι log2 = 0,3).
5.	Να λυθούν οι εξισώσεις:
	i) log(x + 1) + log(x - 1) = log2		ii) log(x - 1) + logx = 1 - log5
	iii) logx² = (logx)²		iv) log(x² + 1) - logx = log2
6.	Να λυθούν οι εξισώσεις:
	i) 5^x = 2^1-x		ii) 3^x-1 = 2^x+1
7.	Να συγκριθούν οι αριθμοί:
	i) log₃2 και log₃5,		ii) log_0,35 και log_0,37
	iii) log(x² + 1) και log2x
8.	Ένα διάλυμα θεωρείται όξινο αν [H⁺] > 10^-7 και βασικό αν [H⁺] < 10^-7. Να βρείτε τις αντίστοιχες ανισότητες για το ρΗ.
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:
	i) f(x) = ln\|x\|	ii) f(x) = 12 lnx²	iii) f(x) = \|lnx\|
	iv) f(x) = log(10x - 20)
2.	Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές:
	i)		ii) f(x) = ln 1 - x1 + x

3.	Για ποιες τιμές του x ∈ R οι αριθμοί log178, log(√81(2^x + 2·3^x), xlog3 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου;
^∗4.	Αν log_αβ = log_βγ·log_γα, να αποδείξετε ότι α = β ή α = 1β.
5.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) log√x = √logx	ii) ln⁴x - 5ln²x + 4 = 0
6.	Να αποδείξετε ότι x^log5 = 5^logx και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση 5^2logx = 5 + 4·x^log5
7.	Να λύσετε τα συστήματα:
	i)	ii)	iii)
8.	Να λύσετε τις ανισώσεις:
	i) logx² > (logx)²	ii) log(x² - 4) < log3x	iii) x^logx > 10
^∗9.	Να αποδείξετε ότι log₂3 > log₆9.
10.	Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε α, β > 0 με α ≠ β ισχύει: α^α·β^β > α^β·β^α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ′ ΟΜΑΔΑΣ)

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) (x² - 3x + 1)^3x-5 = 1	ii) x^x²+3x+1 = x
2.	Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α να αποδείξετε ότι: log_α+βγ + log_α-βγ = 2log_α+βγ·log_α-βγ (α + β, α - β ≠ 1)
3.	Αν (αγ)^log_αβ = γ², να αποδείξετε ότι οι αριθμοί log_αθ, log_βθ και log_γθ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου (0 < α, β, γ ≠ 1, θ > 0).
4.	Αν αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να αποδείξετε ότι log_αθ - log_βθlog_βθ - log_γθ = log_αθlog_γθ (0 < α, β, γ, θ ≠ 1, β ≠ γ)
5.	Να αποδείξετε ότι log5 = 1 - log2 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση x^log(2x) = 5.
6.	Να λύσετε στο (0, π2) την εξίσωση: log_ημx2 + log_συνx2 + log_ημx2·log_συνx2 = 0
7.	Να λύσετε στο (0, π2) την εξίσωση: (εφx)^ημx = (σφx)^συνx.
8.	Να λύσετε την ανίσωση: i) 27^x + 12^x - 2·8^x > 0

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Η βασική ιδέα των λογαρίθμων

Η έννοια του λογάριθμου επινοήθηκε στις αρχές του 17^ου αιώνα ως ένα μέσο απλοποίησης των αριθμητικών υπολογισμών και η εμφάνιση των πρώτων λογαριθμικών πινάκων είχε, εκείνη την εποχή, επίπτωση στην επιστήμη ανάλογη μ' αυτήν που έχουν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές στις μέρες μας. Η αρχική μαθηματική ιδέα στην οποία στηρίζεται η έννοια του λογάριθμου είναι πολύ απλή. Αν θέσουμε σε αντιστοιχία ένα προς ένα τους όρους μιας αριθμητικής και μιας γεωμετρικής προόδου, όπως π.χ.

0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11,	12,	…
1,	2,	4,	8,	16,	32,	64,	128,	256,	512,	1024,	2048,	4096,	…

τότε μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το γινόμενο 2 όρων της γεωμετρικής (π.χ. 32·128 = 4096) βρίσκεται ακριβώς κάτω από το άθροισμα των αντίστοιχων όρων της αριθμητικής (5 + 7 = 12). Δηλαδή ο πολλαπλασιασμός ανάγεται ουσιαστικά σε μια πρόσθεση. Πολύ εύκολα μπορούμε επίσης να διαπιστώσουμε ότι η διαίρεση ανάγεται σε αφαίρεση, η ύψωση σε δύναμη σε απλό πολλαπλασιασμό με τον εκθέτη και η εξαγωγή ρίζας σε απλή διαίρεση με τον δείκτη. Π.χ.

4096 : 128 = 32 (12 - 7 = 5)

16³ = 4096 (4·3 = 12)

(12:4 = 3)

Αυτές τις αναγωγές των βασικών πράξεων σε απλούστερες είχαν επισημάνει και διατυπώσει πολλοί μαθηματικοί του 15^ου και 16^ου αιώνα, όπως ο Γάλλος Ν. Chuquet το 1484 και ο Γερμανός Μ. Stifel το 1544. Όπως είναι φανερό σε μας, οι προηγούμενες αναγωγές στηρίζονται στις ιδιότητες των δυνάμεων (οι παραπάνω πρόοδοι είναι οι ακολουθίες των εκθετών και των αντιστοίχων δυνάμεων του 2 ή, με άλλα λόγια, οι όροι της αριθμητικής είναι οι λογάριθμοι των αντίστοιχων όρων της γεωμετρικής με βάση το 2). Τον 16^ο αιώνα όμως δεν υπήρχε κάποιος κοινά αποδεκτός συμβολισμός για τις δυνάμεις ούτε είχαν διατυπωθεί με γενικότητα οι ιδιότητές τους. Το πρόβλημα που τέθηκε στους μαθηματικούς της εποχής ήταν η κατασκευή γεωμετρικών προόδων αρκετά «πυκνών», ώστε ανάμεσα στους όρους τους να μπορούν να παρεμβληθούν, χωρίς σημαντικό σφάλμα, οι αριθμοί που εμφανίζονταν συχνά στους υπολογισμούς (π.χ. οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων). Ταυτόχρονα οι όροι μιας τέτοιας γεωμετρικής προόδου θα έπρεπε να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τους όρους μιας αριθμητικής προόδου.

^∗Το ιστορικό σημείωμα έγραψε ο Μαθηματικός Γιάννης Θωμαΐδης

Οι πρώτοι πίνακες λογαρίθμων

Η κατασκευή πινάκων τέτοιων προόδων ήταν για την εποχή εκείνη έργο τεράστιο που η ολοκλήρωση του απαίτησε πολλά χρόνια. Οι πρώτοι που δημοσίευσαν τέτοιους πίνακες ήταν ο Ελβετός Jobst Bürgi (1552-1632) και ο Σκωτσέζος John Napier (1550-1617).

Ο Bürgi ήταν ωρολογοποιός και κατασκευαστής αστρονομικών οργάνων και με τις ιδιότητες αυτές εργάστηκε στα μεγαλύτερα αστεροσκοπεία της εποχής του. Στους πίνακές του, που δημοσιεύθηκαν το 1620 στην Πράγα, κατασκεύασε μια γεωμετρική πρόοδο σύμφωνα με την αναδρομική σχέση

(1)

Εικόνα

Δηλαδή ο Bürgi ξεκινά από το 100.000.000 και υπολογίζει τον επόμενο κάθε όρου προσθέτοντας σ' αυτόν το ένα δεκάκις χιλιοστό του. Με τον τρόπο αυτό υπολόγισε, έναν προς ένα, περισσότερους από 23.000 όρους της προόδου.

Από την (1), που γράφεται α_ν+1 = α_ν(1 + 1 10⁴), συμπεραίνουμε ότι ο λόγος αυτής της γεωμετρικής προόδου είναι λ = 1 + 1 10⁴ = 1,0001 και ο γενικός της όρος μπορεί να γραφτεί στη μορφή

α_ν = α₀·λ^ν δηλαδή α_ν = 10⁸(1 + 1 10⁴)^ν, ν = 0, 1, 2, …

Σ' αυτή την πρόοδο, ο Bürgi αντιστοίχισε την αριθμητική πρόοδο 0, 10, 20, 30, …, 230.270 με γενικό όρο β_ν = 10ν Έτσι στους πίνακες του Bürgi υπάρχει η αντιστοιχία

α₀	=	100.000.000	↔	0	=	β₀
α₁	=	100.010.000	↔	10	=	β₁
α₂	=	100.020.001	↔	20	=	β₂
…………………………………………………………
α_ν	=	10⁸(1 + 1 10⁴)^ν	↔	10ν	=	β_ν
α₂₃₀₂₇	=	999.999.779	↔	230.270	=	β₂₃₀₂₇

Από τους πίνακες του Bürgi απουσιάζει οποιαδήποτε αναφορά σε έννοιες όπως «εκθέτης» ή «βάση» στις οποίες στηρίζεται ο σύγχρονος ορισμός του λογάριθμου. (Ο προηγούμενος γενικός συμβολισμός για το α_ν χρησιμοποιείται από μας, για λόγους που θα φανερωθούν παρακάτω, όταν εξηγήσουμε τη σημασία του αριθμού e). Ούτε άλλωστε ο όρος «λογάριθμος» χρησιμοποιήθηκε από τον Bürgi. Ο τίτλος του βιβλίου του ήταν «Πίνακες αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων» και οι όροι της αριθμητικής προόδου αναφέρονταν ως «κόκκινοι αριθμοί» από το χρώμα της μελάνης που είχαν εκτυπωθεί.

Η προέλευση του όρου «λογάριθμος»

Οι πίνακες προόδων του Bürgi δεν γνώρισαν μεγάλη διάδοση γιατί δημοσιεύτηκαν αργά, όταν είχαν ήδη προηγηθεί, το 1614, οι πίνακες του Napier. Ο John Napier ήταν πλούσιος ευγενής με έντονο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά και τις εφαρμογές τους. Οι πίνακες του στηρίζονται επίσης στην αντιστοιχία των όρων μιας γεωμετρικής και μιας αριθμητικής προόδου. Οι πρόοδοι αυτές όμως είναι πολύ πιο πυκνές (και επομένως χρήσιμες στην πράξη) από εκείνες του Bürgi και για τον υπολογισμό των όρων τους ο Napier επινόησε μια σειρά από ιδιοφυή τεχνάσματα. Στον Napier οφείλεται επίσης η δημιουργία του όρου «λογάριθμος» από τη σύνθεση των ελληνικών λέξεων «λόγος» και «αριθμός». (Ο τίτλος του βιβλίου του ήταν «Περιγραφή του θαυμάσιου κανόνα των λογαρίθμων»). Η σημασία του όρου είναι ακριβώς «ο αριθμός που μετρά το πλήθος των λόγων». Αν θεωρήσουμε π.χ. τις προόδους

0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	…
1,	2,	4,	8,	16,	32,	64,	128,	…

τότε, ο 6 π.χ. (που είναι ο λογάριθμος του 64 με βάση το 2) δείχνει «πόσοι λόγοι» χρειάζονται στη συνεχή αναλογία

21 = 42 = 84 = 168 = 3216 = 6432 = …

για να φτάσουμε στον όρο 64 (στην εποχή του Napier, η γεωμετρική πρόοδος ορίζονταν σαν μια ακολουθία αριθμών που βρίσκονται σε συνεχή αναλογία).

Η σημασία του αριθμού e

Η αναγνώριση της δυνατότητας να οριστούν οι λογάριθμοι σαν εκθέτες ως προς μια βάση έγινε βαθμιαία, αφού πρώτα αποσαφηνίστηκε και γενικεύτηκε η έννοια της δύναμης. Η έννοια της βάσης όμως και ειδικότερα ο αριθμός e = 2,7 1828 1828 45 90 45 … (προσέξτε τη μνημοτεχνική διάταξη των ψηφίων του) βρίσκεται ήδη, στους πρώτους λογαριθμικούς πίνακες, σε μια «λανθάνουσα» κατάσταση. Η γεωμετρική πρόοδος του Bürgi.

α_ν = 10⁸(1 + 1 10⁴)^ν

γράφεται διαδοχικά:

α^ν10⁸ = [(1 + 1 10⁴)^10⁴]^{^{^ν 10⁴}} = [(1 + 1 10⁴)^10⁴]^{^{^10ν10⁵}} = [(1 + 1 10⁴)^10⁴]^{^{^β_ν10⁵}}

Αν θέσουμε στην προηγούμενη x = α_ν10⁸ (1) και y = β_ν10⁵ (2), τότε αυτή γίνεται

(3)

x = [(1 + 1 10⁴)^10⁴]^{^y}

Παρατηρούμε όμως ότι είναι

(1 + 1 10⁴)^10⁴ = 2,718145927…

μια τιμή που συμπίπτει σε 4 δεκαδικά ψηφία μ' αυτήν του αριθμού e. Έτσι λοιπόν, η προηγούμενη ισότητα (3) μπορεί ν' αντικατασταθεί με ικανοποιητική ακρίβεια από την x = e^y, δηλαδή ισχύει y = lnx (4). Από τις ισότητες (1), (2) και (4) συμπεραίνουμε ότι, αν στο σύστημα του Bürgi, οι όροι της γεωμετρικής προόδου (α_ν) διαιρεθούν με το 10⁸ και οι όροι της αριθμητικής προόδου (β_ν) με το 10⁵ (αυτές οι διαιρέσεις σημαίνουν απλώς μια μετακίνηση της υποδιαστολής κατά 8 και 5 θέσεις, αντίστοιχα, προς αριστερά), τότε

Το σύστημα προόδων του Bürgi ισοδυναμεί, με ικανοποιητική προσέγγιση, με το σημερινό σύστημα των φυσικών λογαρίθμων που έχουν βάση τον αριθμό e.

Σαν παράδειγμα ας πάρουμε από τους πίνακες του Bürgi τον 98^ο όρο της γεωμετρικής προόδου 100.984.768 και τον αντίστοιχο του της αριθμητικής 980. Διαιρώντας με το 10⁸ και το 10⁵ αντίστοιχα, βρίσκουμε

1,00984768 και 0,0098

Ένας σύγχρονος υπολογιστής τσέπης μας δίνει

ln(1,00984768) = 9,7995075 × 10^-3 = 0,0097995075 ≈ 0.0098

Όπως βλέπουμε λοιπόν, ο αριθμός e δεν επιλέγεται αυθαίρετα αλλά εμφανίζεται αναπόφευκτα όταν θελήσει κάποιος να κατασκευάσει μια πυκνή γεωμετρική πρόοδο (οπότε ο λόγος της θα είναι ένας αριθμός ελάχιστα μεγαλύτερος ή μικρότερος της μονάδας). Με την έννοια αυτή, ο αριθμός e «υπάρχει» στους πίνακες των Bürgi και Napier, οι οποίοι όμως δεν είχαν καμιά αντίληψη του ρόλου του.

Το σύμβολο e χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον L. Euler το 1728, έναν αιώνα μετά την εμφάνιση των λογαρίθμων.

Η εμφάνιση των φυσικών λογαρίθμων

Ενώ λοιπόν οι λογάριθμοι είχαν επινοηθεί, όπως είδαμε, αποκλειστικά για την απλοποίηση των αριθμητικών υπολογισμών, γύρω στο 1650 διαπιστώθηκε μια απροσδόκητη εμφάνισή τους σε γεωμετρικά ζητήματα.

Αφετηρία υπήρξε το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού που περικλείεται από ένα τόξο ΑΒ της υπερβολής y = 1x τις παράλληλες από τα Α, Β προς τη μια ασύμπτωτη και από το τμήμα ΓΔ που ορίζουν οι παράλληλες στην άλλη ασύμπτωτη (δηλ. το εμβαδό του καμπυλόγραμμου τραπεζίου ΑΒΔΓ στο διπλανό σχήμα).

Εικόνα

Παρατηρήθηκε τότε ότι, αν το ΓΔ διαιρεθεί έτσι ώστε τα τμήματα ΟΓ, ΟΕ, ΟΖ, ΟΔ να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο, τότε τα εμβαδά (ΑΗΕΓ) (ΗΘΖΕ), (ΘΒΔΖ) είναι ίσα μεταξύ τους και επομένως τα εμβαδά (ΑΗΕΓ), (ΑΘΖΓ), (ΑΒΔΓ) αποτελούν αριθμητική πρόοδο.

Αν π.χ. είναι ΟΓ = 1, ΟΕ = 2, ΟΖ = 4, ΟΔ = 8, τότε υπολογίζοντας καθένα από τα εμβαδά (ΑΗΕΓ), (ΗΘΖΕ), (ΘΒΔΖ) προσεγγιστικά, σαν άθροισμα εγγεγραμμένων ορθογωνίων (όπως π.χ., στο σχήμα, το ΘΒΔΖ αποτελείται από 10 τέτοια ορθογώνια) βρίσκουμε ότι, με ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων, είναι: (ΑΗΕΓ) = (ΗΘΖΕ) = (ΘΒΔΖ) = 0,6931. Έτσι λοιπόν μπορούμε να δημιουργήσουμε μια αντιστοιχία ανάμεσα στη γεωμετρική πρόοδο

ΟΕ = 2, ΟΖ = 4, ΟΔ = 8, …

και την αριθμητική πρόοδο

(ΑΗΕΓ) = 0,6931, (ΑΘΖΓ) = 1,3862, (ΑΒΔΓ) = 2,0793, …

Έχουμε δηλαδή τη βασική αρχή ενός λογαριθμικού συστήματος, του οποίου όμως οι λογάριθμοι (όροι της αριθμητικής προόδου) έχουν εδώ μια προφανή φυσική σημασία: Εκφράζουν τα εμβαδά συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων. Πρώτος χρησιμοποίησε τον όρο «φυσικοί λογάριθμοι» το 1668 ο Ν. Mercator (1620-1687) και αυτοί είναι ακριβώς οι σημερινοί λογάριθμοι με βάση τον e, που συμβολίζονται διεθνώς με το σύμβολο In (από τα αρχικά των λέξεων logarithmus naturalis).

Η λογαριθμική συνάρτηση

Στη σημερινή εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών, η αρχική χρησιμότητα των λογαρίθμων ως ένα μέσο απλοποίησης των αριθμητικών υπολογισμών έχει φυσικά εκμηδενιστεί. Αντίθετα όμως, είναι πολύ μεγάλη η χρησιμότητα της λογαριθμικής συνάρτησης σαν ένα μέσο μαθηματικής περιγραφής καταστάσεων του φυσικού κόσμου. Πρέπει μάλιστα να σημειώσουμε ότι πολλές από τις εφαρμογές της λογαριθμικής συνάρτησης στηρίζονται στην αρχική ιδέα της αντιστοιχίας μιας γεωμετρικής και μιας αριθμητικής προόδου.

Συγκεκριμένα, όταν ένα μέγεθος μεταβάλλεται πολύ γρήγορα («γεωμετρικά») και ένα άλλο, που σχετίζεται μ' αυτό, πολύ αργά («αριθμητικά») τότε η μεταξύ τους σχέση μπορεί να εκφραστεί λογαριθμικά. Κλασικό παράδειγμα αποτελεί ο νόμος των Weber-Fechner στη Ψυχολογία, που περιγράφει μαθηματικά τη σχέση ανάμεσα σ' ένα ερέθισμα και την αίσθηση που προκαλεί. Αν, για παράδειγμα, Ε είναι η ένταση ενός ήχου και Α η ένταση του ακουστικού αισθήματος που προκαλεί, τότε ισχύει

A = k logE

όπου k μια σταθερά, εξαρτωμένη από τη συχνότητα του ήχου και τον αποδέκτη του ερεθίσματος. Η σχέση αυτή προέκυψε ύστερα από πειράματα των Γερμανών επιστημόνων Ε.Η. Weber (1795-1878) και G.T. Fechner (1801- 1887), που έδειξαν ότι, μια σειρά ερεθισμάτων (οπτικών, ακουστικών κ.λπ.) τα οποία μπορούν να μετρηθούν και αυξάνουν κατά γεωμετρική πρόοδο, προκαλούν μια σειρά αισθημάτων (αντιδράσεων) που αυξάνουν κατά αριθμητική πρόοδο. Στην προηγούμενη ισότητα στηρίζεται ο ορισμός των μονάδων ακουστότητας bel και decibel.

Μια άλλη εντυπωσιακή, σύγχρονη εφαρμογή της λογαριθμικής συνάρτησης γίνεται στην Πληροφορική και συγκεκριμένα στη σχέση ανάμεσα στην ποσότητα πληροφορίας που μεταφέρει ένα σύμβολο και την πιθανότητα εμφάνισης του.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Δ′ ΟΜΑΔΑΣ)

Να λύσετε την εξίσωση:

ημ²x - 2√3ημxσυνx - συν²x = - √3

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αημx + βσυνx = γ έχει λύση αν και μόνο αν α² + β² ≥ γ².

ii)

Να λύσετε την εξίσωση (1 + συνt)·ημx + ημt·συνx = 2 για τις διάφορες τιμές του t ∈ (-π, π).

Να αποδείξετε ότι εφ3α = 3εφα - εφ³α1 - 3εφ²α και στη συνέχεια να υπολογίσετε την εφ π12, αφού πρώτα δείξετε ότι αυτή είναι λύση της εξίσωσης x³ - 3x² - 3x + 1 = 0.

(Αριθμός διαιρετός με το 9)

- Ο αριθμός 198 = 22·9 διαιρείται με το 9. Το άθροισμα 1 + 9 + 8 = 18 των ψηφίων του επίσης διαιρείται με το 9.

- Ομοίως ο αριθμός 17397 = 1933·9 και το άθροισμα 1 + 7 + 3 + 9 + 7 = 27 των ψηφίων του διαιρούνται με το 9.

Γενικά να αποδείξετε ότι ισχύει ο κανόνας:

Ο αριθμός «αβγδ» διαιρείται με το 9, μόνο αν το άθροισμα α + β + γ + δ των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Υπόδειξη: Είναι «αβγδ» = α10³ + β10² + γ10 + δ. Να θεωρήσετε το πολυώνυμο f(x) = αx³ + βx² + γx + δ και την ταυτότητα f(x) = (x - 1)π(x) + f(1) και να θέσετε x = 1 και x= 10.

(Ρητές ρίζες πολυωνυμικής εξίσωσης). Το θεώρημα που ακολουθεί παρέχει μια ακόμη μέθοδο προσδιορισμού ριζών ορισμένων πολυωνυμικών εξισώσεων.

Θεώρημα: Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀ με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ρητός κλ ≠ 0 (κλ ανάγωγο κλάσμα) είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο k είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α₀ και ο λ είναι διαιρέτης του συντελεστή α_ν. Με τη βοήθεια του θεωρήματος αυτού:

Να λύσετε τις εξισώσεις:

2x³ + x² + x - 1 = 0 6x⁴ + 29x³ + 27x² + 9x + 1 = 0

ii)

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί √2 και √12 δεν είναι ρητοί.

Τους θετικούς ακεραίους τους χωρίζουμε σε ομάδες ως εξής:

1η	2η	3η	4η	…
(1)	(2,3)	(4,5,6)	(7,8,9,10)	…

δηλαδή στη μ^η ομάδα υπάρχουν μ ακέραιοι.

Να εκφράσετε τον 1^o και τον τελευταίο αριθμό της μ^ης ομάδας συναρτήσει του μ.

ii)

Να βρείτε το άθροισμα όλων των ακεραίων μέχρι και την 20^η ομάδα.

iii)

Να δείξετε ότι το άθροισμα των ακεραίων της μ ομάδας είναι μ2 (μ² + 1).

7.	Να δείξετε ότι (1 + x + x² + … + x^ν)² - x^ν = (1 + x + x² + … + x^ν-1)(1 + x + x² + … + x^ν+1)
8.	Να βρείτε το άθροισμα 1 + 2·2 + 3·2² + 4·2³ + 5·2⁴ + … + 100·2⁹⁹.
9.	Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x + 4^x = 5^x έχει ακριβώς μια λύση.
10.	Να λύσετε την εξίσωση (23)^x + 43 = 2^x
11.	Για ποιές τιμές του α ∈ R η εξίσωση 2log(x + 3) = log(αx) έχει μοναδική λύση;
12.	Να αποδείξετε ότι η εξίσωση σφx + log_{_π4}x = 2 έχει στο διάστημα (0, π) ακριβώς μία λύση.
13.	Να λύσετε την ανίσωση: log₃(16^x - 2·12^x) ≤ 2x + 1
14.	i) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = 1 - x και στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση lnx ≤ 1 - x. ii) Ομοίως για τις συναρτήσεις f(x) = lnx και g(x) = -x² + 1 και την ανίσωση lnx ≥ -x² + 1.
15.	Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = (x - x₁)² + (x - x₂)² + (x - x₃)² + … + (x - x_ν)², όπου x₁, x₂, …, x_ν ∈ R παίρνει τη μικρότερη τιμή για x = x₁ + x₂ + … + x_νν, δηλαδή για x = x.
16.	Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, γ και τρεις γωνίες Α, Β, Γ έτσι ώστε: Α, Β, Γ > 0, Α + Β + Γ = π και α ημΑ = β ημΒ = γ ημΓ Να αποδείξετε ότι: α² = β² + γ² - 2βγσυνA β² = γ² + α² - 2γασυνΒ γ² = α² + β² - 2αβσυνΓ

17.

Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, γ και τρεις γωνίες Α, Β, Γ έτσι ώστε:

Α, Β, Γ > 0, Α + Β + Γ = π και α ημΑ = β ημΒ = γ ημΓ

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα τρίγωνο ΚΛΜ με (ΛΜ) = α, (KM) = β, (ΚΛ) = γ, Κ = Α, Λ = Β, Μ = Γ.

18.

Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, γ και τρεις γωνίες Α, Β, Γ έτσι ώστε:

0 < Α, Β, Γ < π και Εικόνα

Να αποδείξετε ότι:

α ημΑ = β ημΒ = γ ημΓ και Α + Β + Γ = π.

19.

Δίνονται τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, γ και τρεις γωνίες Α, Β, Γ έτσι ώστε:

0 < Α, Β, Γ < π και Εικόνα

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα τρίγωνο ΚΛΜ, με (ΛM) = α, (KM) = β, (ΚΛ) = γ, Κ = A, Λ = Β, Μ = Γ.