4.2 Λογάριθμοι

Η έννοια του λογάριθμου

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ο πληθυσμός της γης αυξάνει με ετήσιο ρυθμό 1,7%. Το 1987 ήταν 5 δισεκατομμύρια κάτοικοι. Αν συνεχίζει να αυξάνει με τον ίδιο ρυθμό, πότε θα διπλασιαστεί;

ΛΥΣΗ:

Σύμφωνα με τον τύπο α_ν = α₁ (1 +  ε 100)^ν (βλ. ανατοκισμός σελ. 93) ο πληθυσμός της γης μετά από t χρόνια θα είναι:

N(t) = 5·10⁹·1,017^t κάτοικοι

Σύμφωνα με το πρόβλημα ζητάμε εκείνη την τιμή του t για την οποία ισχύει N(t) = 2·5·10⁹ κάτοικοι, ζητάμε δηλαδή τη λύση της εξίσωσης

5·10⁹·1,017^t = 2·5·10⁹

ή ισοδύναμα της:

(1)

1,017^t = 2

Την εξίσωση αυτή, με τις γνώσεις που έχουμε μέχρι τώρα, μόνο με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(t) = 1,017^t μπορούμε να τη λύσουμε. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι t ≈ 41. Επομένως ο πληθυσμός της γης θα διπλασιαστεί σε 41 περίπου χρόνια από το 1987, δηλαδή το 2028.

Με ανάλογο τρόπο, όπως στο παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να βρούμε κατά προσέγγιση τη λύση της εξίσωσης:

α^x = θ,        όπου α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0

Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση, αφού η εκθετική συνάρτηση f(x) = α^x είναι γνησίως μονότονη και ο θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Τη μοναδική αυτή λύση τη συμβολίζουμε με log_αθ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α.

Ώστε, αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε:

Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής:

Για παράδειγμα:

Από τον παραπάνω ορισμό του λογαρίθμου προκύπτει αμέσως ότι, αν α > 0 με α ≠ 1, τότε για κάθε x ∈ R και για κάθε θ > 0 ισχύει:

Εξάλλου, επειδή 1 = α⁰ και α = α¹, ισχύει:

Ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι ιδιότητες που ακολουθούν και είναι γνωστές ως ιδιότητες των λογαρίθμων, είναι πολύ σημαντικές για το λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών.

Οι ιδιότητες αυτές, όπως θα δούμε, προκύπτουν από αντίστοιχες ιδιότητες των δυνάμεων, πράγμα φυσικό άλλωστε, αφού και οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται ως εκθέτες δυνάμεων.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

1. Έστω ότι είναι:

(1)

log_αθ₁ = x₁

και

log_αθ₂ = x₂

Τότε έχουμε

α^x₁ = θ₁

και

α^x₂ = θ₂

οπότε:

α^x₁·α^x₂ = θ₁θ₂,

δηλαδή

α^x₁+x₂ = θ₁θ₂

Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με

log_α(θ₁θ₂) = x₁ + x₂

από την οποία, λόγω των (1), έχουμε τελικά:

log_α(θ₁θ₂) = log_αθ₁ + log_αθ₂

2. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο.

3. Έστω ότι είναι:

(2)

log_αθ = x

Τότε έχουμε α^x = θ οπότε:

α^kx = θ^k

Από τον ορισμό όμως του λογάριθμου, η τελευταία ισότητα είναι ισοδύναμη με την

log_αθ^k = kx

από την οποία, λόγω της (2), προκύπτει ότι:

log_αθ^k = k·log_αθ

Παρατήρηση: Επειδή για κάθε θ > 0 ισχύει , έχουμε

Ας δούμε τώρα με ένα παράδειγμα πως οι παραπάνω ιδιότητες μας διευκολύνουν στο λογισμό με λογάριθμους θετικών αριθμών.

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την τιμή της παράστασης:

A = 12 log₂256 + 2log₂3 - log₂18

Έχουμε διαδοχικά:

A 

= 12 log₂256 + 2log₂3 - log₂18

[Ιδιότητα 3]

= log₂√256 + log₂3² - log₂18

= log₂16 + log₂9 - log₂18

[Ιδιότητες 1, 2]

= log₂(16·918)

= log₂8 = log₂2³ = 3

Δεκαδικοί λογάριθμοι

Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 10. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι.

Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με logθ και όχι με log_l0θ.

Επομένως:

Οι δεκαδικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν:

Φυσικοί λογάριθμοι

Γνωρίσαμε σε προηγούμενες παραγράφους τον αριθμό e και είδαμε τη σημασία του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Στα μαθηματικά είναι πολύ χρήσιμοι και οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e. Οι λογάριθμοι αυτοί λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι.

Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται με lnθ, και όχι με log_eθ.

Επομένως:

Οι φυσικοί λογάριθμοι υπολογίζονται εύκολα, με τη βοήθεια του υπολογιστή τσέπης, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν:

Αλλαγή βάσης

Αν και οι χρησιμοποιούμενες βάσεις των λογαρίθμων είναι συνήθως το 10 και το e, εντούτοις μερικές φορές απαιτείται να υπολογίσουμε λογάριθμους με άλλη βάση. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με τον ακόλουθο τύπο, που είναι γνωστός ως τύπος αλλαγής βάσης των λογαρίθμων.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ^∗

Έστω ότι είναι     log_βθ = x.    Τότε     θ = β^x,     οπότε:

(επειδή x = log_βθ)

log_αθ = log_αβ^x = xlog_αβ = log_βθ·log_αβ

Άρα έχουμε:

log_βθ·log_αβ = log_αθ,     οπότε     log_βθ = log_αθlog_αβ

Σχόλιο. Σύμφωνα με τον τύπο αυτό έχουμε:

log_βθ = logθlogβ       και       log_βθ = lnθlnβ

Επομένως ο υπολογισμός του log_βθ ανάγεται στον υπολογισμό των δεκαδικών λογαρίθμων logθ και logβ, ή των φυσικών λογαρίθμων lnθ και lnβ.

Για παράδειγμα είναι:

log₂17 = log17log2 = 4,087462841

Επειδή το σύμβολο log_αθ ορίσθηκε μόνο όταν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, όπου στο εξής το συναντάμε, θα εννοείται ότι α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0 χωρίς να τονίζεται ιδιαίτερα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Σύμφωνα με την κλίμακα Richter το μέγεθος R ενός σεισμού εντάσεως I δίνεται από τον τύπο

R = log II₀

όπου Ι₀ μια ορισμένη ελάχιστη ένταση.

i)   

Να βρεθεί το μέγεθος R ενός σεισμού που έχει ένταση I = 1000Ι₀.

ii)  

Να εκφρασθεί το I ως συνάρτηση του R και του Ι₀.

iii) 

Πόσες φορές μεγαλύτερη είναι η ένταση ενός σεισμού από την ένταση ενός άλλου σεισμού που είναι μικρότερος κατά 1 μονάδα Richter.

ΛΥΣΗ

i)   

Επειδή I = 1000Ι₀ από τον τύπο R = log II₀ βρίσκουμε ότι:

R = log 1000Ι₀I₀ = log1000 = 3

ii)  

Από τον ορισμό του δεκαδικού λογάριθμου προκύπτει ότι

(1)

R = log II₀ ⇔ II₀ = 10^R ⇔ I = I₀·10^R

iii) 

Έστω δυο σεισμοί με εντάσεις I, I′ και μεγέθη R, R′ αντίστοιχα. Αν R′ = R + 1, τότε λόγω του τύπου (1) έχουμε:

I′I = I₀·10^R′I₀·10^R = 10^R+110^R = 10, οπότε Ι′ = 10·I

Επομένως η ένταση I′ ενός σεισμού είναι 10πλάσια της έντασης I ενός άλλου σεισμού μικρότερου κατά 1 μονάδα Richter.

Οι χημικοί χρησιμοποιούν έναν αριθμό που συμβολίζεται με ρΗ για να περιγράψουν την οξύτητα ενός διαλύματος. Εξ' ορισμού είναι pH = -log[H⁺], όπου [H⁺] είναι η συγκέντρωση των Η⁺ σε γραμμοϊόντα ανά λίτρο.

i)  

Να υπολογίσετε το ρΗ των εξής ουσιών:

- του ξιδιού: [H⁺] ≈ 6,3·10^-3

- του νερού της θάλασσας:: [H⁺] ≈ 5,0·10^-9

ii) 

Να υπολογίσετε τη συγκέντρωση γραμμοϊόντων υδρογόνου [Η⁺] στις εξής ουσίες:

- Μπύρα: pH ≈ 4,2

- Γάλα: pH ≈ 6,6

ΛΥΣΗ

i)  

- Το pΗ του ξιδιού είναι ίσο με -log(6,3·10^-3) ≈ 2,2

- Το pΗ του νερού της θάλασσας είναι ίσο με -log(5,0·10^-9) ≈ 8,3

ii) 

- Επειδή για τη μπύρα είναι ρΗ ≈ 4,2, έχουμε

4,2 = -log[H⁺] ⇔ log[H⁺] = -4,2 ⇔ [H⁺] = 10^-4,2 ⇔ [H⁺] = 6,3·10^-5

- Επειδή για το γάλα είναι ρΗ ≈ 6,6, έχουμε

6,6 = -log[H⁺] ⇔ log[H⁺] = -6,6 ⇔ [H⁺] = 10^-6,6 ⇔ [H⁺] = 2,5·10^-7

Αν η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση του φωσφόρου Ρ³² είναι N(t) = N₀·e^-0,0495t, όπου t ο χρόνος σε ημέρες, να βρεθεί η ημιζωή του φωσφόρου Ρ³².

ΛΥΣΗ

Αν t είναι η ζητούμενη ημιζωή, τότε θα είναι N(t) = N₀2. Επομένως έχουμε:

N₀·e^-0,0495t = N₀2 

⇔ e^-0,0495t = 12

⇔ -0,0495t = ln 12

⇔ -0,0495t = -0,69314718

⇔ t = 14 μέρες

ΑΣΚΗΣΕΙΣ