i)  

Αν α_κ, α_μ, α_ρ είναι όροι μιας αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι:

(μ - ρ)α_κ + (ρ - κ)α_μ + (κ - μ)α_ρ = 0

ii) 

Αν α_κ, α_μ, α_ρ είναι όροι μιας γεωμετρικής προόδου, να δείξετε ότι:

α_κ^μ-ρ·α_μ^ρ-κ·α_ρ^κ-μ = 1

i)  

Αν S_ν, S_2ν, S_3ν είναι τα αθροίσματα των πρώτων ν, 2ν και 3ν όρων, αντιστοίχως μιας αριθμητικής προόδου, να δείξετε ότι S_3ν = 3(S_2ν - S_ν).

ii) 

Αν S_ν, S_2ν, S_3ν είναι τα αθροίσματα των πρώτων ν, 2ν και 3ν όρων, αντιστοίχως μιας γεωμετρικής προόδου, να δείξετε ότι S_ν(S_3ν - S_2ν) = (S_2ν - S_ν)².

Δίνεται η ακολουθία     α_ν = 3^ν - 4^ν3^ν + 4^ν.     Να υπολογίσετε το άθροισμα:

   1   α₁ - 1 +    1   α₂ - 1 +    1   α₃ - 1 + … +    1   α_ν - 1

Αν οι x, y, ω είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, ενώ οι x, ω, y είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και ισχύει x + y + ω = 147, να βρείτε τους αριθμούς x, y και ω.

Μια ακολουθία     α₁, α₂, α₃, …     λέγεται     αρμονική πρόοδος,     αν η ακολουθία     1α₁, 1α₂, 1α₃, … είναι αριθμητική πρόοδος.

i)  

Να δείξετε ότι τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι μιας αρμονικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β =  2αγ α + γ. (Ο β λέγεται αρμονικός μέσος των α και γ).

ii) 

Αν A, G, Η είναι ο αριθμητικός μέσος, ο γεωμετρικός μέσος και ο αρμονικός μέσος, αντιστοίχως, των θετικών αριθμών α και γ, να δείξετε ότι:

(1)   Οι A, G, Η είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου.

(2)   A ≥ G ≥ H.

Να δείξετε ότι για τρεις οποιουσδήποτε όρους α_κ, α_λ, α_μ μιας αριθμητικής προόδου ο αριθμός α_κ - α_λα_λ - α_μ είναι ρητός.

Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (α_ν) με όλους τους όρους της θετικούς. Να δείξετε ότι:

i)  

 1 α₁α₂ +  1 α₂α₃ +  1 α₃α₄ + … +  1 α_ν-1α_ν = ν - 1α₁α_ν

ii) 

      1      √α₁ + √α₂ +       1      √α₂ + √α₃ + … +       1      √α_ν-1 + √α_ν =    ν - 1   √α₁ + √α_ν

Να βρείτε το γενικό όρο της ακολουθίας 2, 4, 7, 11, … που έχει την ιδιότητα, οι διαφορές των διαδοχικών όρων της να σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο.

Ένας κυκλικός δίσκος διαιρείται σε 12 κυκλικούς τομείς των οποίων τα εμβαδά είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν το εμβαδό του μεγαλύτερου τομέα είναι διπλάσιο από το εμβαδό του μικρότερου τομέα, να βρείτε τη γωνία του μικρότερου τομέα.

Αν οι αριθμοί ημ(β + γ - α), ημ(γ + α - β), ημ(α + β - γ) είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου και α, β, γ ≠ κπ + π2, κ ∈ Ζ να δείξετε ότι και οι αριθμοί εφα, εφβ, εφγ είναι επίσης διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου.

Να υπολογίσετε το άθροισμα     (x + 1x)² + (x² + 1x²)² + … + (x^ν + 1x^ν)².

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά α. Με πλευρά το ύψος του σχεδιάζουμε ένα δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο, με του οποίου το ύψος ως πλευρά σχεδιάζουμε ένα τρίτο ισόπλευρο τρίγωνο κ.ο.κ. Πρέπει να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδό ίσο προς το άθροισμα των εμβαδών των άπειρων σε πλήθος αυτών τριγώνων. Το σχήμα δείχνει μια τέτοια μέθοδο κατασκευής. Να την εξηγήσετε και να την αιτιολογήσετε.

Να βρείτε μια γεωμετρική πρόοδο, αν είναι γνωστό ότι το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων όρων της είναι 15 και το άθροισμα των τετραγώνων των όρων αυτών είναι 85.

Από το μάθημα της φυσικής γνωρίζουμε ότι μια ταλάντωση λέγεται φθίνουσα, όταν το πλάτος της, δηλαδή η μεγίστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, διαρκώς ελαττώνεται. Έστω επιπλέον ότι τα διαδοχικά πλάτη α₁, α₂, α₃, … σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο.

Ποιο είναι το ολικό διάστημα που θα διανύσει το άκρο του εκκρεμούς μέχρι να σταματήσει, αν το αρχικό πλάτος είναι α₁ = 10cm και ύστερα από κάθε ημιταλάντωση γίνεται 10% μικρότερο;