Άλγεβρα (Β ΕΠΑ.Λ.): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

3.4 Ανατοκισμός - Ίσες καταθέσεις - Χρεωλυσία^∗

Με τη βοήθεια των γεωμετρικών προόδων μπορούμε να λύσουμε προβλήματα οικονομικής φύσεως, που συχνά παρουσιάζονται στις συναλλαγές με πιστωτικούς οργανισμούς.

Ανατοκισμός

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο ε%. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για ν χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του ν^ου χρόνου.

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του 1^ου χρόνου το κεφάλαιο α θα δώσει τόκο ε 100·α και μαζί με τον τόκο θα γίνει

α₁ = α + ε 100 α = α (1 + ε 100)

Στο τέλος του 2^ου χρόνου το κεφάλαιο α₁ θα δώσει τόκο ε 100·α₁ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

α₂ = α₁ + ε 100 α₁ = α₁ (1 + ε 100)

Στο τέλος του 3^ου χρόνου το κεφάλαιο α₂ μαζί με τους τόκους θα γίνει

α₃ = α₂ (1 + ε 100) κτλ.

και γενικά στο τέλος του ν^ου χρόνου το κεφάλαιο θα γίνει

α_ν = α_ν-1 (1 + ε 100)

Παρατηρούμε ότι τα α₁ α₂, α₃, …, α_ν είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου με α₁ = α (1 + ε 100) και λ = 1 + ε 100.

Άρα, σύμφωνα με τον τύπο του ν^ου όρου γεωμετρικής προόδου, στο τέλος του ν^ου χρόνου το κεφάλαιο α μαζί με τους τόκους θα γίνει

α_ν = α (1 + ε 100) (1 + ε 100)^ν-1

α_ν = α (1 + ε 100)^ν

Αν θέσουμε ε 100 = τ, που είναι ο τόκος του ενός ευρώ σε ένα χρόνο, έχουμε τον τύπο

α_ν = α (1 + τ)^ν

που είναι γνωστός ως τύπος του ανατοκισμού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Καταθέτουμε με ανατοκισμό κεφάλαιο 10000 ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 2%. Να βρεθεί τι ποσό θα εισπράξουμε ύστερα από 10 χρόνια.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τον τύπο α_ν = α(1 + τ)^ν, ύστερα από 10 χρόνια θα εισπράξουμε ποσό

α₁₀ = 10000·(1 + 0,2)¹⁰

= 10000·(1,02)¹⁰

= 10000·1,218994

= 12189,94 ευρώ.

Παρατήρηση: Τη δύναμη (1,02)¹⁰ την υπολογίζουμε με τη βοήθεια πινάκων ή με έναν υπολογιστή τσέπης.

Ίσες καταθέσεις

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Καταθέτουμε σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε χρόνου α δρχ. με ανατοκισμό και επιτόκιο ε%. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από ν χρόνια;

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα των ίσων καταθέσεων).

ΛΥΣΗ

Η 1^η κατάθεση θα ανατοκιστεί για ν χρόνια και επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, θα γίνει α (1 + τ)^ν, όπου τ = ε 100.

Η 2^η κατάθεση θα ανατοκιστεί να ν - 1 χρόνια και επομένως θα γίνει α (1 + τ)^ν-1 κτλ. και η v^η κατάθεση θα τοκιστεί για 1 χρόνο και θα γίνει α (1 + τ). Συνεπώς ύστερα από ν χρόνια θα πάρουμε το ποσό

= α (1 + τ)^ν + α (1 + τ)^ν-1 + … + α (1 + τ)

= α (1 + τ) + α (1 + τ)² + … + α (1 + τ)^ν

= α (1 + τ)[1 + (1 + τ) + (1 + τ)² + … + (1 + τ)^ν-1]

= α (1 + τ)·(1 + τ)^ν - 1(1 + τ) - 1

Επομένως

Σ = α (1 + τ)·(1 + τ)^ν - 1τ

Ο τύπος αυτός είναι γνωστός ως τύπος των ίσων καταθέσεων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Στην αρχή κάθε χρόνου καταθέτουμε στην τράπεζα ποσό 10000 ευρώ με ανατοκισμό και με επιτόκιο 2%. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από 10 χρόνια;

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τον τύπο Σ = α (1 + τ) (1 + τ)^ν - 1τ, ύστερα από 10 χρόνια θα πάρουμε ποσό

= 10000·(1 + 0,02)·(1 + 0,02)¹⁰ - 10,02

= 10000·(1,02)·(1,02)¹⁰ - 10,02

= 10000·(1,02)·1,218994 - 10,02

= 10000·11,168694 = 111686,94 ευρώ.

Χρεωλυσία

Χρεωλυσία λέγεται η εξόφληση ενός χρέους, μέσα σε ορισμένο χρονικό διάστημα και με ίσες δόσεις, που πληρώνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Κάθε δόση λέγεται χρεωλύσιο. Σε προβλήματα χρεωλυσίας συμβαίνουν δυο πράγματα:

Ο δανειζόμενος δανείζεται από ένα πιστωτικό ίδρυμα, π.χ. το Ταχυδρομικό Ταμιευτήριο, δάνειο α ευρώ για ν χρόνια και άρα οφείλει να πληρώσει ύστερα από ν χρόνια, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, ποσό α(1+τ)^ν ευρώ.

ii)

Ο δανειζόμενος καταθέτει στο τέλος κάθε χρόνου ποσό x ευρώ με το ίδιο επιτόκιο ε% = τ και άρα ύστερα από ν χρόνια θα πρέπει να πάρει ποσό

x(1 + τ)^ν-1 + x(1 + τ)^ν-2 + … + x = x·(1 + τ)^ν - 1τ ευρώ.

Έτσι έχουμε την εξίσωση x·(1 + τ)^ν - 1τ = α(1+τ)^ν από την οποία προκύπτει ο τύπος του χρεωλυσίου:

x = ατ(1 + τ)^ν (1 + τ)^ν - 1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ένας υπάλληλος δανείζεται από το Ταχυδρομικό Ταμιευτήριο ποσό 100000 ευρώ για τη αγορά σπιτιού με επιτόκιο 5% και πρέπει να το εξοφλήσει σε 25 χρόνια. Ποιο είναι το χρεωλύσιο που πρέπει να πληρώσει ο υπάλληλος;

ΛΥΣΗ

Έχουμε α = 100000, τ = 5 100 = 0,05 και ν = 25. Άρα το χρεωλύσιο είναι:

= 100000·0,05·(1,05)²⁵(1,05)²⁵ - 1 = 100000·0,05·3,3863552,386355

= 5·3386,3552,386355 = 7095,25 ευρώ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Για την επίλυση των ασκήσεων να χρησιμοποιηθεί υπολογιστής τσέπης

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Δανείζει κάποιος 5000 ευρώ με ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 5%. Πόσα χρήματα θα πάρει συνολικά ύστερα από 5 χρόνια;
2.	Πόσα χρήματα πρέπει να τοκίσει κάποιος με ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 3% για να πάρει ύστερα από 10 χρόνια συνολικά 50.000 ευρώ;
3.	Ποιο είναι το επιτόκιο με το οποίο, κεφάλαιο 10.000 ευρώ, ανατοκιζόμενο ανά έτος, γίνεται ύστερα από 5 χρόνια 12.762 ευρώ;
4.	Στην αρχή κάθε χρόνου και για 5 συνεχή χρόνια καταθέτουμε 5.000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με ετήσιο επιτόκιο 3%. Τι ποσό θα πάρουμε στο τέλος του 5ου έτους;
5.	Με πόσο τοκοχρεολύσιο εξοφλεί κάποιος ένα χρέος 10.000 ευρώ ύστερα από 15 χρόνια προς 4%;
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Τα έσοδα μιας κοινότητας της επιτρέπουν να πληρώνει για 30 χρόνια 5.000 ευρώ το χρόνο. Προκειμένου να κατασκευάσει υδραγωγείο, σκέπτεται να συνάψει δάνειο. Ποιο είναι το μεγαλύτερο ποσό που μπορεί να δανειστεί με ανατοκισμό και με επιτόκιο 5%;
2.	Κάνει κάποιος ασφάλεια ζωής για διάστημα 20 ετών και πληρώνει στην αρχή κάθε χρόνου 1000 ευρώ για ασφάλιστρα. Μετά τα 20 χρόνια η ασφαλιστική εταιρεία θα επιστρέψει τα χρήματα του ασφαλισμένου ανατοκισμένα προς 5%. Τι ποσό θα εισπράξει ο ασφαλισμένος;
3.	Σε μια πόλη η θνησιμότητα είναι 2% του πληθυσμού της και οι γεννήσεις το 3% του πληθυσμού της κάθε χρόνο. Σε πόσα χρόνια θα διπλασιαστεί ο πληθυσμός της πόλης;
4.	Ξοδεύει κάποιος για τσιγάρα 730 ευρώ το χρόνο. Αν τα χρήματα αυτά τα κατέθετε στην αρχή κάθε χρόνου σε μια τράπεζα με επιτόκιο 5% το χρόνο και με ανατοκισμό, τι ποσό θα έπαιρνε στα 40 χρόνια του, αν άρχιζε να καπνίζει από 20 χρονών;
5.	Σύμφωνα με τις στατιστικές ο πληθυσμός της γης το 1990 ήταν 5,35 δισεκ. και αυξάνει 1,8% το χρόνο. Ποιος ήταν ο πληθυσμός της γης το 2000;
6.	Θέλει κάποιος να αγοράσει αυτοκίνητο, αλλά δεν φτάνουν τα χρήματά του. Δίνει λοιπόν ένα ποσό και το υπόλοιπο, που είναι 10.000 ευρώ, θα το πληρώσει σε 12 ίσες δόσεις που θα καταβάλλονται στο τέλος κάθε μήνα. Αν το επιτόκιο είναι 1% το μήνα, να βρεθεί το ποσό κάθε δόσης.