Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές εξισώσεις

2.1 Πολυώνυμα

Η έννοια του πολυωνύμου

Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή.

Για παράδειγμα, οι παραστάσεις: 2x³, - 34 x⁵, 0x⁴, 2x και οι αριθμοί 2, -3, 0 είναι μονόνυμα του x.

Τα μονώνυμα α_νx^ν, α_ν-1x^ν-1, …, α₁x, α₀ λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί α_ν, α_ν-1, …, α₁, α₀συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α₀ λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου.

Τα πολυώνυμα της μορφής α₀, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο.

Έτσι για παράδειγμα, οι παραστάσεις 3x³ + 2x² - x + 2, 0x² - 5x + 1, 5x³ - 23 x² + 0x + 13 και οι αριθμοί 2, 0 κτλ. είναι πολυώνυμα του x.

Η ισότητα μεταξύ δυο πολυωνύμων ορίζεται ως εξής:

Δυο πολυώνυμα

α_μx^μ + … + α₁x + α₀       και       β_νx^ν + … + β₁x + β₀,       με μ ≥ ν

θα λέμε ότι είναι ίσα όταν:

α₀ = β₀, α₁ = β₁, …, α_ν = β_ν       και       α_ν+1 = α_ν+2 = … = α_μ = 0

Για παράδειγμα τα πολυώνυμα 0x⁴ + 0x³ + 2x² - x + 1 και 2x² - x + 1 είναι ίσα. Επίσης τα πολυώνυμα αx² + βx + γ και 2x + 3 είναι ίσα αν και μόνο αν γ = 3, β = 2 και α = 0.

Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x), Q(x), κτλ.

Έστω τώρα ένα πολυώνυμο

P(x) = α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀

●  

Αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν, τότε το Ρ(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο 0 (μηδενικό πολυώνυμο).

●  

Αν όμως ένας από τους συντελεστές του είναι διαφορετικός από το μηδέν, τότε το Ρ(x) παίρνει τη μορφή:

α_kx^k + α_k-1x^k-1 + … + α₁x + α₀, με α_k ≠ 0

Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός k λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Ρ(x). Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός.

Έτσι για παράδειγμα το πολυώνυμο P(x) = -4x³ + 3x - 7 είναι 3^ου βαθμού, ενώ το Q(x) = 7 είναι μηδενικού βαθμού.

Αριθμητική τιμή πολυωνύμου

Έστω ένα πολυώνυμο P(x) = α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 + … + α₁x + α₀. Αν αντικαταστήσουμε το x με ένα ορισμένο πραγματικό αριθμό ρ, τότε ο πραγματικός αριθμός P(ρ) = α_νρ^ν + α_ν-1ρ^ν-1 + … + α₁ρ + α₀ που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για x = ρ.

Αν είναι Ρ(ρ) = 0, τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. Για παράδειγμα, η τιμή του πολυωνύμου P(x) = -x³ + 2x²4x + 1,

για x = 1 είναι P(1) = -1³ + 2·1² + 4·1 + 1 = 6, ενώ

για x = -1 είναι P(-1) = -(-1)³ + 2(-1)² + 4(-1) + 1=0, που σημαίνει ότι ο -1 είναι ρίζα του πολυώνυμου Ρ(x).

Είναι φανερό ότι:

●  

Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και

●   

Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x^(∗)

^(∗) Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή ότι:

● Αν ένα πολυώνυμο έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x, τότε αυτό είναι το σταθερό πολυώνυμο c και

● Αν δυο πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x, τότε τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα.

Πράξεις με πολυώνυμα

Μπορούμε να προσθέσουμε, να αφαιρέσουμε, ή να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμα, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα:

Για το βαθμό του αθροίσματος και του γινομένου δυο πολυωνύμων αποδεικνύεται ότι:

●  

Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων.

●  

Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

i) 

Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ R για τις οποίες το πολυώνυμο P(x) = (λ² - 1)x³ + (λ² - 3λ + 2)x + λ - 1 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ii) 

Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ R για τις οποίες τα πολυώνυμο Q(x) = λ²x³ + (λ - 2)x² + 3 και R(x) = (5λ - 6)x³ + (λ² - 4)x² + λ + 1είναι ίσα.

ΛΥΣΗ

i)  

To Ρ(x) θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις:

λ² - 1 = 0, λ² - 3λ + 2 = 0 και λ - 1 = 0

Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 1. Επομένως για λ = 1 το πολυώνυμο Ρ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ii)  

Τα Q(x) και R(x) θα είναι ίσα για εκείνες τις τιμές του λ για τις οποίες συναληθεύουν οι εξισώσεις:

λ² = 5λ - 6, λ - 2 = λ² - 4 και 3 = λ + 1

Η κοινή λύση των εξισώσεων αυτών είναι η λ = 2. Επομένως για λ = 2 τα πολυώνυμα Q(x) και R(x) είναι ίσα.

Αν P(x) = x² + 3x + α² - 1, να βρεθούν οι τιμές του α ∈ R για τις οποίες ισχύει Ρ(-1) = -1.

ΛΥΣΗ

Επομένως οι ζητούμενες τιμές είναι οι: -2, 2.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ