Άλγεβρα (Β ΕΠΑ.Λ.): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

1.3 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών

Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών

Ας θεωρήσουμε δυο γωνίες α, β που οι τελικές τους πλευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία Μ₁, Μ₂ αντιστοίχως (Σχ. 1).

Έστω επιπλέον και η γωνία α - β, που η τελική της πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. 2).

Εικόνα

Όπως είναι γνωστό, τα σημεία Μ₁, Μ₂, Α και Μ έχουν συντεταγμένες:

το Μ₁ :

το Μ₂ :

το Α :

το Μ :

τετμημένη

συνα

συνβ

συν(α - β)

και

τεταγμένη

ημα

ημβ

ημ(α - β)

Επειδή , θα είναι και (Μ₂Μ₁)=(ΑΜ). Άρα:

(Μ₂Μ₁)²=(ΑΜ)²

Αν τώρα χρησιμοποιήσουμε το γνωστό μας τύπο:

που δίνει την απόσταση δύο σημείων P₁(x₁,y₁) και P₂(x₂,y₂), έχουμε:

● (Μ₂Μ₁)²

= (συνα - συνβ)² + (ημα - ημβ)²

= συν²α + συν²β - 2συνασυνβ + ημ²α + ημ²β - 2ημαημβ

= 2 - 2(συνασυνβ + ημαημβ) και

● (ΑΜ)²

= [συν(α - β) - 1]² + [ημ(α - β) - 0]²

= συν²(α - β) + 1 - 2συν(α - β) + ημ²(α - β)

= 2 - 2(συν(α - β).

Έτσι η σχέση (Μ₂Μ₁)²=(ΑΜ)² γράφεται

2 - 2(συνασυνβ +ημαημβ) = 2 - 2συν(α - β)

συνασυνβ + ημαημβ = συν(α - β)

Επομένως:

(1)

συν(α - β) = συνασυνβ + ημαημβ

Η ισότητα αυτή, που αποδείξαμε για γωνίες α, β με 0 ≤ β < α < 360^o, ισχύει και για οποιεσδήποτε γωνίες α, β.

Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το -β, έχουμε:

συν (α - (-β)) = συνασυν(-β) + ημαημ(-β) = συνασυνβ - ημαημβ

Επομένως:

(2)

συν(α + β) = συνασυνβ - ημαημβ

Με τη βοήθεια των τύπων (1) και (2) μπορούμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τριγωνομετρικούς πίνακες ή υπολογιστικές μηχανές. Για παράδειγμα, έχουμε:

● συν15^ο

= συν (45^ο - 30^ο) = συν45^οσυν30^ο + ημ45^οημ30^ο

= √22 · √32 + √22 · 12 = √2(√3 + 1)4

● συν75^ο

= συν (45^ο + 30^ο) = συν45^οσυν30^ο - ημ45^οημ30^ο

= √22 · √32 - √22 · 12 = √2(√3 - 1)4

Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών

Με τη βοήθεια του τύπου (1), που βρήκαμε προηγουμένως, θα υπολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών.

Επειδή συν (π2 - x) = ημx και ημ (π2 - x) = συνx, έχουμε:

ημ (α + β)

= συν (π2 - (α + β)) = συν ((π2 - α) - β)

= συν (π2 - α)συνβ + ημ (π2 - α)ημβ = ημασυνβ + συναημβ

Επομένως:

(3)

ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ

Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με -β βρίσκουμε ότι:

(4)

ημ(α - β) = ημασυνβ - συναημβ

Σύμφωνα με τους τύπους αυτούς για παράδειγμα, έχουμε:

● ημ15^ο

= ημ (45^ο - 30^ο) = ημ45^οσυν30^ο - συν45^οημ30^ο

= √22 · √32 - √22 · 12 = √2(√3 - 1)4

● ημ75^ο

= ημ (45^ο + 30^ο) = ημ45^οσυν30^ο + συν45^οημ30^ο

= √22 · √32 + √22 · 12 = √2(√3 + 1)4

Εφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών

Με τη βοήθεια των προηγούμενων τύπων θα υπολογίσουμε την εφαπτομένη του αθροίσματος α+β δυο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφαπτομένη καθεμιάς.

Όπως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εφ(α + β), εφα και εφβ, πρέπει συν(α + β) ≠ 0, συνα ≠ 0 και συνβ ≠ 0. Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε:

Εικόνα

Επομένως έχουμε:

(5)

εφ(α + β) = εφα + εφβ1 - εφαεφβ

Αν τώρα στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το -β, βρίσκουμε ότι:

(6)

εφ(α - β) = εφα - εφβ 1 + εφαεφβ

Τέλος με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι:

(8)

σφ(α - β) = σφασφβ + 1σφβ - σφα

(7)

σφ(α + β) = σφασφβ - 1σφβ + σφα

Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους για παράδειγμα, έχουμε:

● εφ15^ο

= εφ(45^ο - 30^ο) = εφ45^ο - εφ30^ο 1 + εφ45^οεφ30^ο = Εικόνα = 3 - √33 + √3

= (3 - √3)(3 - √3) (3 + √3)(3 - √3) = 12 - 6√36 = 2 - √3

● εφ75^ο

= εφ(45^ο + 30^ο) = εφ45^ο + εφ30^ο 1 - εφ45^οεφ30^ο = Εικόνα = 3 + √33 - √3

= (3 + √3)(3 + √3)(3 - √3)(3 + √3) = 12 + 6√36 = 2 + √3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1ο

Αν ημα = - 35, με 3π2 < α < 2π και συνβ = - 1213, με π < β < 3π2, να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β.

ΛΥΣΗ

Επειδή ημ(α + β) = ημασυνβ + συναημβ και συν(α + β) = συνασυνβ - ημαημβ αρκεί να υπολογίσουμε το συνα και το ημβ.

Έχουμε λοιπόν:

συν²α = 1 - ημ²α = 1 - 925 = 1625, οπότε , αφού 3π2 < α < 2π και

ημ²β = 1 - συν²β = 1 - 144169 = 25169, οπότε , αφού π < β < 3π2

Επομένως

ημ(α + β) = (- 35)(- 1213) + 45(- 513) = 1665

συν(α + β) = 45(- 1213) - (- 35)(- 513) = - 6365,

οπότε:

εφ(α + β) = - 1663 και σφ(α + β) = - 6316

2ο

Να αποδειχθεί ότι ημ(α + β)·ημ(α - β) = ημ²α - ημ²β.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ημ(α + β)ημ(α - β)

= (ημασυνβ + συναημβ)(ημασυνβ - συναημβ)

= ημ²ασυν²β - συν²αημ²β = ημ²α(1 - ημ²β) - (1 - ημ²α)ημ²β

= ημ²α - ημ²αημ²β - ημ²β + ημ²αημ²β = ημ²α - ημ²β

3ο

Να λυθεί η εξίσωση: 2συνx = ημ(x + π6).

ΛΥΣΗ

2συνx = ημ(x + π6)

⇔ 2συνx = ημxσυν π6 + συνxημ π6

⇔ 2συνx = √32ημx + 12συνx

⇔ 4συνx = √3ημx + συνx

⇔ 3συνx = √3ημx

[αφού συνx ≠ 0]

⇔ εφx = √3

⇔ εφx = εφ π3

⇔ x = κπ + π3, κ ∈ Z

4ο

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

εφΑ + εφΒ + εφΓ = εφΑεφΒεφΓ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφΑ, εφΒ, εφΓ. Επειδή επιπλέον A + B = π - Γ ≠ π2, ορίζεται η εφ(Α + Β) και έχουμε διαδοχικά:

εφ(Α + Β) = εφ(π - Γ)

εφΑ + εφΒ1 - εφΑεφΒ = -εφΓ

εφΑ + εφΒ = -εφΓ + εφΑεφΒεφΓ

εφΑ + εφΒ + εφΓ = εφΑεφΒεφΓ

5ο

Θεωρούμε έναν αγωγό από τον οποίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις I₁ = ημωt, I₂ = ημ(ωt + 2π3) και I₂ = ημ(ωt + 4π3). Να αποδειχθεί ότι η ολική ένταση I = I₁ + I₂ + I₃ του ρεύματος που διέρχεται από τον αγωγό είναι μηδέν.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Είναι I = ημωt + ημ(ωt + 2π3) + ημ(ωt + 4π3)

= ημωt + ημωtσυν 2π3 + συνωtημ 2π3 + ημωtσυν 4π3 + συνωtημ 4π3

= ημωt + ημωt(- 12) + συνωt(√32) + ημωt(- 12) + συνωt(- √32)

= ημωt - 12 ημωt - 12 ημωt = 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστάσεων:
	i) συν π12 συν π4 - ημ π12 ημ π4	ii) συν170^oσυν50^o + ημ170^oημ50^o
	iii) ημ110^oημ70^o - συν110^oσυν70^o	iv) συν 7π12 συν π12 + ημ 7π12 ημ π12
2.	Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
	i) συν3xσυν(-2x) - ημ3xημ(-2x)	ii) συν (x + π4) συνx + ημ (x + π4) ημx
3.	Να αποδείξετε ότι:
	i) συν (x + π4) + συν (x - π4) = √2 συνx	ii) συν²(x - π4) - συν²(x + π4) = 2ημxσυνx
4.	Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, την τιμή των παραστάσεων:
	i) ημ 17π18 συν 4π9 - συν 17π18 ημ 4π9	ii) ημ70^oσυν20^o + συν70^oημ20^o
	iii)	iv) εφ165^o + εφ15^o1 - εφ165^oεφ15^o
5.	Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις:
	i) ημ2xσυνx + συν2xημx	ii) ημ (x + π6) συνx - συν (x + π6) ημx
	iii) εφx - εφ2x 1 + εφxεφ2x	iv)

6.	Να αποδείξετε ότι:
	i) ημ (x + π3) + ημ (x - π3) = ημx
	ii) (ημα + συνα)(ημβ + συνβ) = ημ(α + β) + συν(α - β)
7.	Να υπολογίσετε, χωρίς τη χρήση υπολογιστών τσέπης, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 105^o και 195^o.
8.	Να αποδείξετε ότι:
	i) εφα + εφβ = ημ(α + β)συνασυνβ	ii) σφα + σφβ = ημ(α + β)ημαημβ
9.	Να αποδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διπλανού σχήματος ισχύει:
	i) ημ (α + β) = 6365
	ii) συν (α + β) = 1665
10.	Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α + β, αν:
	i) ημα = 35, συνβ = - 513, 0 < α < π2 και π2 < β < π
	ii) συνα = - 35, ημβ = - 45, π < α < 3π2 και 3π2 < β < 2π
11.	Να λύσετε τις εξισώσεις:
	i) ημx = συν (x + π6)	ii) εφx + εφ (π4 + x) = -2
	iii) εφ(x - α) = -2, αν εφα = -3
B′ ΟΜΑΔΑΣ
1.	Να αποδείξετε ότι: ημ(α - β)συνασυνβ + ημ(β - γ)συνβσυνγ + ημ(γ - α)συνγσυνα = 0
2.	Αν συν(α + β) = 0, να αποδείξετε ότι: ημ(α + 2β) = ημα
3.	Αν εφα = -3, να λύσετε στο [0, 2π] την εξίσωση: ημ(x - α) = -2ημ(x + α)
4.	Αν α + β = π4 να αποδείξετε ότι: (1 + εφα)(1 + εφβ) = 2

5.	Αν στο διπλανό σχήμα είναι ΑΓ = 3·ΑΔ, να αποδείξετε ότι:
	i) εφω = 2εφΒ 3 + εφ²B, όπου
	ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β = 60^o
6.	Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημΑ + ημ(Β - Γ)συν(Β - Γ) = εφΒ, να αποδείξετε ότι Α = π2 και αντιστρόφως.
^∗7.	Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:
	i) σφΑσφΒ+σφΒσφΓ+σφΓσφΑ = 1,	ii) συνΑ ημΒημΓ + συνB ημΓημΑ + συνΓ ημΑημΒ = 2
8.	Να λυθεί στο διάστημα [0, π] η εξίσωση: εφ (π4 + x) - εφ (π4 - x) = 2√3
^∗9.	Αν 0 < x, y, z < π2 με εφx = 12, εφy = 15 και εφz = 18, να αποδείξετε ότι: x + y + z = π4