Τριγωνομετρία

1.1 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Περιοδικές συναρτήσεις

- Έστω ότι ένα φέρι-μποτ πηγαινοέρχεται μεταξύ δύο λιμανιών Α και Β και η γραφική παράσταση της απόστασης του από το λιμάνι Α ως συνάρτηση του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Παρατηρούμε ότι κάθε 1 12 ώρα το φέρι-μπότ επαναλαμβάνει την ίδια ακριβώς κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι σε όποια απόσταση βρίσκεται από το λιμάνι Α σε κάποια χρονική στιγμή t, στην ίδια απόσταση θα βρίσκεται και τη χρονική στιγμή t + 1 12 ώρες και στην ίδια απόσταση βρισκόταν και τη χρονική στιγμή t - 1 12 ώρες.

Επομένως η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση του φέρι-μπότ από το λιμάνι Α, με τη βοήθεια του χρόνου t, έχει τις ίδιες τιμές τις χρονικές στιγμές t, t + 1 12, t - 1 12. Λέμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 1 12 ώρες.

- Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του ύψους μιας κούνιας ως συνάρτηση του χρόνου t.

Παρατηρούμε ότι, όποιο ύψος έχει η κούνια σε κάποια χρονική στιγμή t, το ίδιο ύψος θα έχει και τη χρονική στιγμή t + 2 sec και το ίδιο ύψος είχε και τη χρονική στιγμή t - 2 sec.

Λέμε πάλι ότι η συνάρτηση (που εκφράζει το ύψος της κούνιας με τη βοήθεια του χρόνου t) είναι περιοδική με περίοδο 2 sec.

Γενικότερα:

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών

Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με -1 ≤ ημω ≤ 1. Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Ομοίως ορίζονται και οι άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών.

Πολλές εφαρμογές όμως των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν περιέχουν γωνίες, αλλά πραγματικούς αριθμούς, όπως, π.χ., ο τύπος της αρμονικής ταλάντωσης f(t) = α·ημωt, στον οποίο τα α και ω είναι σταθερές και t είναι ένας πραγματικός αριθμός που παριστάνει το χρόνο.

Για το λόγο αυτό ορίζουμε στη συνέχεια τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής.

Συγκεκριμένα:

- Η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ (x rad) λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

ημx = ημ (x rad).

Επειδή ημ(ω + 360^o) = ημ(ω - 360^o) = ημω, για κάθε x ∈ R θα ισχύει:

ημ(x + 2π) = ημ(x - 2π) = ημx.

Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

- Ομοίως ορίζουμε και τη συνάρτηση συνημίτονο που συμβολίζεται με συν.

Ορίζουμε δηλαδή ότι

συνx = συν (x rad).

Και η συνάρτηση συνημίτονο είναι περιοδική με περίοδο 2π.

- Η συνάρτηση εφαπτομένη που συμβολίζεται με εφ, ορίζεται ως εξής:

εφx = ημxσυνx

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο:

R₁ = {x|συνx ≠ 0}

Επειδή για κάθε x ∈ R₁ ισχύει

εφ(x + π) = εφ(x - π) = εφx,

η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

- Η συνάρτηση συνεφαπτομένη, που συμβολίζεται με σφ, ορίζεται ως εξής:

σφx = συνxημx,

Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο:

R₂ = {x|ημx ≠ 0}

Και η συνάρτηση συνεφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = ημx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π], Έχουμε αναφέρει όμως ότι το ημx είναι η τεταγμένη του σημείου Μ στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας xrad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Επομένως αρκεί να εξετάσουμε πώς μεταβάλλεται η τεταγμένη του Μ, όταν αυτό περιφέρεται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά, ξεκινώντας από το Α.

Παρατηρούμε ότι:

● Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π2, το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β. Άρα η τεταγμένη του αυξάνει, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π2].

Ομοίως βρίσκουμε ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι:

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π2, π],

- γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 3π2] και

- γνησίως αύξουσα στο διάστημα [3π2, 2π].

● Η συνάρτηση παρουσιάζει

- μέγιστο για x = π2, το ημ π2 = 1 και

- ελάχιστο για x = 3π2, το ημ 3π2 = -1.

Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται ως εξής:

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών της. Κατά τα γνωστά έχουμε:

Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή.

Έτσι προκύπτει η παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο στο διάστημα [0, 2π]:

Επειδή η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [2π, 4π], [4π, 6π] κτλ. καθώς και στα διαστήματα [-2π, 0], [-4π, -2π] κτλ.

Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη.

Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε x ∈ R ισχύει ημ(-x) = -ημx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιττή και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή 0(0,0) των αξόνων.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = συνx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους 2π, π.χ. το [0, 2π].

Από τη μελέτη αυτή προκύπτουν τα συμπεράσματα του επόμενου πίνακα:

Συντάσσουμε τώρα κατά τα γνωστά και τον ακόλουθο πίνακα τιμών της συνάρτησης συνημίτονο:

Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της y = συνx για 0 ≤ x ≤ 2π.

Επειδή η συνάρτηση f(x) = συνx είναι περιοδική με περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση στο R είναι η ακόλουθη:

Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο. Άρα για κάθε x ∈ R ισχύει συν(-x) = συνx. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = συνx είναι άρτια και επομένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y.

Μελέτη της συνάρτησης f(x) = εφx

Επειδή η συνάρτηση f(x) = εφx είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το (- π2, π2).

(Το διάστημα είναι ανοικτό, αφού η συνάρτηση εφ δεν ορίζεται στα - π2 και π2).

Ας υποθέσουμε ότι η τελική πλευρά της γωνίας x rad τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ και την ευθεία των εφαπτομένων στο σημείο Ε.

Όπως έχουμε αναφέρει η εφx ισούται με την τεταγμένη του σημείου Ε.

Επομένως:

● Όταν ο x παίρνει τιμές από - π2 προς το π2 το Μ κινείται στον τριγωνομετρικό κύκλο κατά τη θετική φορά από το Β′ προς το Β, οπότε η τεταγμένη του σημείου Ε αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι η f(x) = εφx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (- π2, π2)

● Όταν ο x «τείνει» στο - π2 από μεγαλύτερες τιμές η εφx «τείνει» στο -∞. Γι' αυτό λέμε ότι η ευθεία x = - π2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Επίσης όταν ο x «τείνει» στο π2 από μικρότερες τιμές η εφx τείνει στο +∞. Γι' αυτό λέμε ότι και η ευθεία x = π2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση της συντάσσουμε, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών πινάκων ή με επιστημονικό κομπιουτεράκι, έναν πίνακα τιμών της:

Στη συνέχεια παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη αυτά των αντίστοιχων τιμών και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή. Η γραφική παράσταση της f(x) = εφx φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Είναι φανερό ότι η γραφική παράσταση της f(x) = εφx έχει κέντρο συμμετρίας το Ο, αφού (§ 5 · 3 : εφ(-x) = -εφx) είναι περιττή συνάρτηση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημx.

ΛΥΣΗ

Οι τιμές της συνάρτησης f(x) = 3ημx είναι προφανώς τριπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης f(x) = ημx. Εξάλλου και η συνάρτηση αυτή είναι περιοδική με περίοδο 2π, αφού ισχύει:

f(x + 2π) = 3·ημ(x + 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ R,

και f(x - 2π) = 3·ημ(x - 2π) = 3·ημx = f(x), για κάθε x ∈ R

Έχοντας υπ' όψιν τα στοιχεία αυτά και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = 3ημx.

2. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = ημ2x.

ΛΥΣΗ

Κάθε τιμή της συνάρτησης f(x) = ημ2x επαναλαμβάνεται, όταν το 2x αυξηθεί κατά 2π, που σημαίνει ότι η τιμή αυτή επαναλαμβάνεται, όταν το x αυξηθεί κατά π. Επομένως, η συνάρτηση f(x) = ημ2x είναι περιοδική με περίοδο π. Πράγματι:

f(x + π) = ημ2(x + π) = ημ(2x + 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ R

και f(x - π) = ημ2(x - π) = ημ(2x - 2π) = ημ2x = f(x), για κάθε x ∈ R

Έχοντας υπόψη το στοιχείο αυτό και με τη βοήθεια ενός πίνακα τιμών, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f(x) = ημ2x

3. Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) = 3ημ2x.

ΛΥΣΗ

Σύμφωνα με τα προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο 3, ελάχιστο -3 και είναι περιοδική με περίοδο π.

Ένας πίνακας τιμών της συνάρτησης f(x) = 3ημ2x είναι ο εξής:

Με τη βοήθεια του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Σχόλιο    Από τα προηγούμενα παραδείγματα γίνεται φανερό ότι, σε μια συνάρτηση της μορφής f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0:

(i)  

Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με -ρ.

(ii)  

Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με 2πω.

Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για μια συνάρτηση της μορφής

f(x) = ρημωx, όπου ρ, ω > 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ