Μαθηματικά Γ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή
Ευρετήριο όρων - ονομάτων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α' - ΑΛΓΕΒΡΑ

Κεφάλαιο 1ο

1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

1 α) 18, β) 10, γ) -7, δ) -20 2 2004 3 65 km, 25 km

4 α)1/3, β) -1, γ) -7, δ) -3/2 5 α) -1/4, β) 25/22 γ) -5

6 -1 7 α) +, - β) +, - γ)-, + δ) -,+ 8 α), β), γ) Να βγάλετε τις παρενθέσεις και να κάνετε τις πράξεις.

9 Α=4 - ( x + y) + (ω + φ)=2, Β=1 + (x + y) - (φ + ω)=3

10 Είναι α + β = 28, γ + δ = 16, οπότε Α = -24 + (α + β) + 2(γ + δ) = 36

11 Παρατηρήστε ότι το άθροισμα όλων των αριθμών είναι 0.

B. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

1 α) 23, β) 36, γ) 103, δ) 58, ε) 32, στ) 36, ζ) (2/3)4, η) 32

2 α) 4, β) -1/9, γ) 1, δ) -27, ε) 10.000, στ) 16, ζ) 9/4, η) (1/10)0

3 α) 5x10, β) x5y7, γ) -8x4, δ) -(8x/27), ε) -108x12, στ) -(2x/3)

4 Α = 0, Β = -1, Γ = -100.000, Δ = 125 5 Εννιά φορές.

Γ. Ρίζες

1 α) -2√5 β) 3√7- 4√3, γ) 11/28 δ) 9 α), β), γ), δ) Να εφαρμόσετε ιδιότητες ριζών

3 α) 4 β) 10 γ) 6 4 1η γραμμή: 12 √2, 10. 2η γραμμή: 12 √2, 16, 3η γραμμή: 12√2 , 18, το ΚΛΜΝ 5 α) 10, β) 6√2, γ) √3-√5, δ) 2

6 α) √2/2 , β) (2√6)/3, γ) √5/2, δ) 2 + √2 7 α) x = √5, β) x = 2, γ) x = 8, δ) x = 0 8 (√3+1)/2

9 Παρατηρήστε ότι ΒΕ =√50+ √8 = 7√2 103 Είναι ΒΓ = 3√5 και ΔΕ = √5, οπότε ΒΓ = 3ΔΕ 11 α) AΓ=2√5, β) 4+2√20, 2(2+√20).

1.2 Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα

Α. Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα

1 α) 4, β) 4 2 -(5/7)α2β33 α) ν = 0, β) ν = 3, γ) ν = 4

4 α) κ = 3, ν = 2, λ οποιοσδήποτε αριθμός β) λ = 4, κ =3, ν = 2, γ) λ = -4, κ = 3, ν = 2 5 E = 4πρ2, V= 4/3 πρ3, Ε=1256, V=12560/3

6 x + 9, (x ο αριθμός των νικών) 7 x2+ 25, 169

 

Β. Πράξεις με μονώνυμα

1 α) −3x2y, β) -αx2, γ) 3/2x3, δ) 0,4αβ, ε) −(4/5)xy2ω4, στ) 0

2 α) -15x3, β) 9/5x5, γ) -6x3y4, δ) 6x3y5ω, ε) -4/3α2β6,

στ) −1/3x4α5, ζ) -x3y4ω4 3 α) -4α2, β) 4x/y, γ) -5/18αβ3,

δ) -7xω2, ε) 4xa3ω, στ) -5/7αβ54 α) 2/3x5y5, β) x3y5,

γ) -4x8y11ω65 a) 3x2, β) 2xy, γ) x2 + xy, δ) (4 + π/2)x2,

ε) 2xy + (πx2)/2 - (α), (β), (δ) 6 Είναι ίσα.

1.3 Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

1 a) x4 + 2x3 - 5x2 + 3x + 10, β) 2x3 - 6x + 1,

γ) 2x3 - 3x2 + 7x + 7, δ) -x4 + x - 5

2 a) 9, β) y3 - 3xy2 + 2x3. Ο βαθμός ως προς x και y είναι 3

3 α) Ρ(-3)= 3 και Ρ(2) = 3, β) Ρ(1)= -5 και Ρ(3) = 15

4 a) Περιμ.= 2πx + 200, Εμβ. = πx2 + 200x, β) Περιμ.= 388,4 m, Εμβ. = 8826 m2

5 a) -x3 + 7x2 - 2x + 1, β) -2x2y + xy - y3,

γ) a2 - 7αβ - 2β2, δ) 3ω2 + ω + 3, ε) -(1/2)x2 -11/12x + 4/3,

στ) 4x3 + 2x2 + 4 6 a) 5x3 - x2 - 4x - 2,

β) 2x3 + 3x2 - 2x + 4, γ) x3 + 5x2 - 9x + 14

7 a) -7x2, +3, -4x β) +5x, -2x3, -1

8 1η γραμμή: 6x2 - 2x + 1

2η γραμμή: 5x2 + x - 2, x2 + 5x - 6

3η γραμμή: 3x2- x, 8x2- 1

9 a = -3, β = 7, γ = -4 10 t2+20t, 125 m.

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

1 a) 15x3y - 6x2y2, β) 8x3 - 4x2, γ) -x2 + 9x, δ) -2x3y + 2xy3

2 a) -8a2 + 16αβ - 6β2, β) x3, γ) 6x4 - 39x3 + 45x2,

δ) x + 20, ε) -6x4 + 11x3 + 9x2 - 4x,

στ) -3x3 + 14x2y - 3xy2 - 20y3

3 a) 12x4 - 29x3 + 23x2 - 6x, β) -2x4 + 4x3 - 5x2 + 11x - 6, γ) 22x3 + 41x2y - 8xy2 - 3y3

4 α) β) Na κάνετε τις πράξεις και αναγωγή ομοίων όρων

5 a) -8x3 + 30x2 - 37x + 15, β) 2x3 - 11x2 + 18x - 9, γ) -8x3 + 24x2 - 30x + 10 6 a = -6, β = 18, γ = -12, δ = 0

7 y.| 8 Παρατηρήστε ότι E1 = x(x+5) και E2 = (x+2)(x-1)

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

1 a) x2 + 4x + 4, β) y2 + 10y + 25, γ) 4ω2 + 4ω + 1, δ) κ2 + 4κλ + 4λ2, ε) 9y2 + 12yβ + 4β2, στ) x4 + 2x2 + 1, ζ) y4 + 2y3 + y2, η) 4x4+ 12x3 + 9x2, θ) x2 + 2√2 x + 2, ι) x + 2√2 + y, ια) a2 + a + 1, ιβ) ω2 + 8 +16/ω2

2 a) x2 - 6x + 9, β) y2 - 10y + 25, γ) 9ω2 - 6ω + 1,

δ) 4κ2 - 4κλ + λ2, ε) 9y2 - 12yβ + 4β2, στ) x4 - 4x2 + 4, ζ) y4 - 2y3 + y2, η) 4x4 - 20x3 + 25x2, θ) x2 - 2v3x + 3, ι) x - 2√xy + y, ια) α2 - 3α + 9/4, ιβ) ω2 - 4 +4/ω23 α) 4 + 2√3, β) 11 +2√30, γ) 11 - 6√2, δ) 8 - 2√7 4 α) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9, β) (y - 4)2 = y2 - 8y + 16, γ) (4x - α)2 = 16x2 - 8xa + α2, δ) (x2 - 2ω)2 = x4 - 4x2ω + 4ω25 a) x3 + 3x2 + 3x + 1, β) y3 + 12y2 + 48y + 64, γ) 8a3 + 12a2 + 6a + 1, δ) 27a3 + 54α2β + 36αβ2 + 8β3, ε) x6 + 9x4 + 27x2 + 27, στ) y6 + 3y5 + 3y4+ y3, ζ) x3 - 6x2 + 12x - 8, η) y3 - 15y2 + 75y - 125, Θ) 27a3 - 27a2 + 9a - 1, ι) 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3, ια) y6 - 6y4 + 12y2 - 8, ιβ) ω6 - 6ω5 + 12ω4 - 8ω36 a)x2- 1, β) y2- 4, γ) 9 - ω2, δ) 16 - x2, ε)y2- x2, στ) x2 - y2, ζ) 4x2 - 49y2, η) x2 - 2, θ) x - y 7 P(x) = 20 = σταθερό 8 α) Διαφορά τετραγώνων (3 φορές), β) Προηγούμενη ταυτότητα για α = 10 και β = 1 9 α) (√5+1)/4 β) (3(√7+√3))/2 γ) (5(3-√2))/7, δ) 2(2√3-√6) 10 a) x3 - 27, β) y3 + 8, γ) 8ω3 + 1, δ) 1 - α311 a) 5x2 + 12x + 41, β) -2x2 + 10, γ) 4x2 - 2xy + 6y2, δ) 64, ε) 16α3 + 12α, στ) 6α2 + 12α, ζ) 6α5 + 2α3, η) -48α2 + 13α - 1 12 α), β), γ) Να κάνετε τις πράξεις στο α' μέλος, δ), ε), στ) Να κάνετε τις πράξεις σε κάθε μέλος 13 α) 4, β) 12√5, γ) 28, δ) 144 14 α) Να κάνετε τις πράξεις στο α' μέλος, β) Προηγούμενη ταυτότητα για α = 2005, x = 20 15 Να αποδείξετε ότι στο τρίγωνο ΓΔΒ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα 16 Να αποδείξετε την ταυτότητα ((α+β)2 -(α-β)2)/αβ= 4 17 α) Να κάνετε πράξεις στο β' μέλος, β) Να χρησιμοποιήσετε προηγούμενη ταυτότητα (Ε = 24 cm2) 18 Ίδιο εμβαδόν, αφού (α - β)(α + β) = α2- β2

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

1 α) 3(α + 2β), β) 2(x - 4), γ) 2ω(4ω + 3), δ) -3x(3x + 2), ε) 4αβ(2α + β), στ) 2x(x - y + 1), ζ) αβ(α + β - 1), η) 2α2(α - 2 + 3β), θ) V2 y(x - 3 + 2y) 2 α) (α - ,)(x + y), β) (x + y)(a + β), γ) (x - 2)(2x - 5), δ) (a - 2)(α2 + 3), ε) (x - 1)(4x - 1), στ) 2x(x - 3)(-2x + 9) 3 i) a) x(x+1), β) y(2y-5), γ) (ω-3)(ω+2), δ) 3a(a-1) ii) a) x = 0 ή x = -1, β) y = 0 ή y = 5/2, γ) ω = 3 ή ω = -2, δ)α = 0 ή α = 1 4 a) (x + y)(x + α), β) (x - 1)(x2 + 1), γ) (x - 5)(x2 + 4),

 

δ) (2χ - 3)(χ2 + 2), ε) (χ - 2)(4χ - α), στ) (α - 2β)(9β - 5), ζ) (3χ- 2y)(4x- 5), η) (x+√2)(χ2 + 1), θ) √3x + 2)(√2 χ- 1) 5 α) (α + β)(7α + 3β), β) (χ - y)(5x- 3y), γ) (χ - y)(3x + 2y) 6 α) (α + β)(αβ - 1), β) Να αποδείξετε ότι α = -β ή αβ=1 7 α) (α - 1)(2α + β + χ), β) (α - 2)(2β + 5 + 2γ) 8 α) (χ - 3)(χ + 3), β) (4χ- 1)(4χ + 1), γ) (α - 3β)(α + 3β), δ) (αβ - 2)(αβ + 2), ε) 5(ω - 1)(7ω + 5), στ) (-χ + 8)(5χ - 4), ζ) ( 1/x - 4)( 1/x+4), η) (x -√3)(x +√3), θ) (χ - √2y)(x + √2y) 9 α) 2(χ - 4)(χ + 4), β) 7(2 - y)(2 + y), γ) 2χ(χ - 1)(χ + 1), δ) 5α(χ - 4)(χ + 4), ε) 2(χ - 3)(χ + 1) 10 Να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα: α2 - β2 = (α - β)(α + β) α) 45, β) 0,35, γ) 24λ 11 α) x = 7 ή x = -7, β) x = 0 ή x= 2/3 ή x= -2/3, γ) x = 0 ή x = 1ή x = -3, δ) x = -2 ή x = -3 ή x = -1 12α) (x - 3)(x2 + 3x + 9), β) (y + 2)(y2 - 2y + 4), γ) (ω + 4)(ω2 - 4ω + 16), δ) (2χ - 1)(4χ2 + 2χ + 1), ε) (3y + 1)(9y2 -3y + 1) 13 α) 3(x - 2)(x2 + 2x + 4), β) 2α(2α + 1)(4α2 - 2α + 1), γ) 4/3π (R - p)(R2 + Rp + ρ2), δ) αβ(α + β)(α2 - αβ + β2) 14 α) χ3 - 27 = (χ - 3)(χ2 + 3χ + 9), β) 8χ3 + y3 = (2χ + y)(4x2 - 2xy + y2), γ) α3 - 8β3 = (α - 2β)(α2 + 2αβ + 4β2), δ) α3 + 125β3 = (α + 5β)(α2- 5αβ + 25β2) 15 α) (χ - 1)2, β) (y + 2)2, γ) (ω - 3)2, δ) (α + 5)2, ε) (1 - 2β)2, στ) (3χ2 + 1)2, ζ) (2y - 3)2, η) (4χ + y)2, θ) (5α - β)2, ι) (α + β - 1)2, ια) (y/3 - 3)2, ιβ) (x + 1/2)216 α) 3(χ + 4)2, β) -(y - 2)2, γ) 2(α - 2β)2, δ) α(2α + 3)2 17 α) χ2 + 2xy + y2, β) χ + y 18 χ+1 19 α) (χ+1)(χ+ 2), β) (y - 1)(y - 3), γ) (ω + 2)(ω + 3), δ) (α + 1)(α + 5), ε) (χ - 4)(χ - 3), στ) (y + 3)(y - 4), ζ) (ω - 3)(ω - 6), η) (α + 5)(α - 2) 20 α) (χ + 2)(χ + √3), β) (χ + 2α)(χ + 3β), γ) (χ + 3)(χ − √2) 21 |α)2(ω + 1)(ω + 4), β) 3(α - 5)(α + 1), γ) α(χ - 1)(χ - 6) 22 α) Να βγάλετε κοινό παράγοντα 1453, β) Να βγάλετε κοινό παράγοντα 801,γ) Διαφορά τετραγώνων, δ) Παρατηρήστε ότι 999 = 1000 - 1, 1001 = 1000 + 1, ε) 9992 + 2 - 999 + 1 = (999 + 1)2, στ) 972 + 6 - 97 + 9 = (97 + 3)2 23 α) (χ-2)(χ + 2)(y- 1)(y + 1), β) (χ + 1)(χ - 1)(χ2 + χ + 1), γ) (χ - 1)2(χ + 1)(χ2 + χ + 1), δ) (χ - 3)2(χ + 3)2, ε) (α - β)(α- β - 1), στ) (χ - y - ω)(χ - y + ω), ζ) (1 + α - β) (1 - α + β), η) (y- 5 + x)(y - 5 - χ), θ) (χ - 1)(χ - 2)(-3χ + 14), ι) (y + 2)2(y - 3)(y - 1), ια) (α - β + γ)(α- β - γ)(α + β + γ)(α + β - γ), ιβ) (2χ - 3α)224 Η πλευρά χ μειώθηκε κατά 2 ενώ η πλευρά y μειώθηκε κατά 1.

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

1 α) π(χ) = 2x2 - 3x + 3, υ(χ) = 0, β) π(χ) = 2x2 - x - 3, υ(χ) = 8, γ) π(x) = 6x3 + 6x2 + 5x + 7, υ(x) = 0, δ) π(x) = 2x2 + x + 3, υ(x) = -5, ε) π(x) = x3 - 2x + 1, υ(x) = 5x, στ) π(x) = 3x2 + x - 1, υ(x) = 0, ζ) π(x) = 4x2 + 3, υ(x) = 0, η) π(x) = x3 - 3x, υ(x) = -3x - 4 2 α) A(x) = 6x2 + 22x + 12, 5(x) = 3x + 2, π(χ) = 2x + 6, β) A(x) = 2x3 + 10x2 + 2x + 20, 5(x) = x + 3, π(χ) = 2x2 + 4x - 10, υ(x) = 50 3 2x3 + x2 + 2x + 5 4 α), β) Να αποδείξετε ότι η διαίρεση P(x): Q(x) είναι τέλεια 5 α) π(χ) = x2 - 2x + 1, υ(x) = 0, β) (x - 3)(x + 3)(x - 1)26 α) Να κάνετε τη διαίρεση, β) (x + 1)4 7 Θα έκανε τη διαίρεση (α3 + β3) : (α + β) 8 α) π(x) = x2 - 5, υ(x) = 4x2 - 6x + 7, β) π(χ) = x3 + 6, υ(x) = -6x + 27 9 π(x) = 6x2 + 6x + 6, υ(x) = α + 6 και α = -6 10 2x + 3 11 Παρατηρήστε ότι το εμβαδόν του δωματίου είναι 45x2 + 56xy + 16y2, Μήκος = 9x + 4y.

1.8 Ε.Κ.Π. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

1 α) Ε.Κ.Π = 72x3y3ω4, Μ.Κ.Α. = 6x2yω2, β) Ε.Κ.Π. = 30αx2y3ω2, Μ.Κ.Δ. = 5, γ) Ε.Κ.Π. = 24x2y3(x + y)2(x - y), Μ.Κ.Δ. = x(x + y) 2 α) E.Κ.Π = 12(x+y)(x-y)3, M.K.Δ.=2(x-y), β) Ε.Κ.Π = α(α - 1)(α - 2)(α + 2), Μ.Κ.Δ. = α - 2, γ) Ε.Κ.Π. = α2(α + 1)(α - 1)2, Μ.Κ.Δ. = α(α - 1).

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

1 α) x ≠ 4, β) y ≠ 5/2, γ) ω ≠ -1, δ) x ≠ 0 και x ≠ 3 2 α) 2/3, β) y/4, γ) ω/4χ, δ) (αγ2)/2β, ε) 1, στ) -1, ζ) 1/(ω-2), η) 1 3 α) 3 , β) 3/y γ) x/ω , δ) (5(α+2))/(α-2) ε) (x+4)/x, στ) (y-1)/(y+1) ζ) 3x/(2x-ω), η) 1/(α-β), 4 α) (x+1)/(x+2), β) (y-1)/(y-2), γ) (ω-1)/(ω+1), 5 α) (x+4)/(x+3), β) (y-3)/(2y-3), γ) 3/(ω2+1), δ) (α-4)/α, 6 Η μέση ταχύτητα είναι ΑΓ/2t=(5t+2t2)/2t

10 Πράξεις ρητών παραστάσεων
Α. Πολλαπλασιαμός - Διαίρεση ρητών παραστάσεων

1 α) 1/y , β) 3/4y, γ) 4x/3 , δ) a/β, ε) (-3ω)/2 , στ) 6/α 2 α) (4χ2)/3 , β) (-1)/3y, γ) (-1)/(3β2 ) , δ) 2ωx 3 α) 8/x, β) -1, γ) x/(ω(x+ω)) , δ) 1/α, ε) (x+1)/(x-2) , στ) (y+3)/(2y-3) 4 α) 3 β) -1, γ) -1/ω,

δ) 1/(β(α+1)), ε) 1/x2στ) 1 5 α) (x-2)/(2(x-1)), β) 1/2, γ) (x+2)2/(2(x+3)2 )

B. Πρόσθεση - Αφαίρεση ρητών παραστάσεων

1 α) (x+y)/xy β) (x-2)/(x(x+1)) γ) (1-y)/y^2 δ) (1-ω^2)/(ω^2 (ω^2+1)), 2 α) 1, β) -3/y, γ) 1/(ω-2), δ) (-1)/(2(x-6)), ε) (-6)/(x-ω), στ) (-2)/(α+3), 3 α) (x - 1)/xy, β)-3/y γ) ω^2/(ω-1), δ) 1/(β+α), 4 α) (x+2)/x,, β) 3/(x-2y), γ) (y+3)/(y-3), δ)x+y, 5 α) 2/(2x+1), β) 2/(χ+1), γ) (α-β)/β, δ) 1/(α+β)6 α) Να απλοποιήσετε το κλάσμα, β) Να εφαρμόσετε την (α) για x = 56, y = 44 7 β) Να εφαρμόσετε την (α) για x = 100

Γενικές ασκήσεις 1 ου κεφαλαίου

1 -217/24 2 Να λάβετε υπόψη σας ότι 2ν+1 είναι περιττός, ενώ ο 2ν είναι άρτιος 3 Α = 4, Β = 3 4 β) Παρατηρήστε ότι Ρ(-99) = Ρ(1-100) = Ρ(100) 5 α) Να κάνετε τις πράξεις στο β' μέλος, β) Να χρησιμοποιήσετε το (α), γ) Να χρησιμοποιήσετε το (β), 6 α) Να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα α2 + β2 = (α + β)2 - 2αβ, β) Να χρησιμοποιήσετε το (α) 7 α) Αποδείξτε ότι (x-y)(x+y)(x|+2)=0, β) Αποδείξτε ότι (x-y)2(x+y)=0 8 α) (x+1)(x+3), (x+3)(x-1) β) Α (x+3)(x-1) 9 β) Να χρησιμοποιήσετε το (α) 10 α) R = 4x2 + 1, β) R = 4x2 + 1 11 α) κ2 + κ = κ(κ+1) και ένας από τους δύο είναι άρτιος, β), γ) Να χρησιμοποιήσετε το (α) 12 α) x6-1=(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1), να θέσετε x = 7 β) x5+1=(x+1)(x4-x3+x2-x+1). Παρατηρήστε ότι 215+1 = = (23)5+1 = 85+1 και να θέσετε x = 8. 13 α) Να κάνετε τις πράξεις στο δεύτερο μέλος.

Κεφάλαιο 2ο

2.1. H εξίσωση αx + β = 0

1 α) x = -2, β) Αδύνατη, γ) Ταυτότητα, δ) x = (- 23)/2 2 α) x = -1, β) Tαυτότητα, γ) Αδύνατη, δ) x = 2 3 O αριθμός 6 4 Δεν μπορεί γιατί είχε 60 € 5 Αν πάρουμε τυχαίο αριθμό x, τότε προκύπτει η εξίσωση 0x = 0 (Ταυτότητα) 6 Σε 2 ώρες.

2.2. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων.

1 a)x = 4 ή x = -1, β) y = 0 ή y = -5, γ) ω = 3 ή ω = -1/2, δ) x = 0 ή x = 7, ε) y = 0 ή y = 6, στ) ω = 1/2 (διπλή λύση), 2 a) x = 0 ή x = 7, β) y = 0 ή y = -9, γ) ω = 6 ή ω = -6, δ) Αδύνατη, ε) φ = 4 ή φ = -4, στ) ζ = 0 ή ζ = 3 3 a)x = 0 ή x = 1, β) x = 0 ή x = -4, γ) Αδύνατη, δ) x = 0 ή x = 18, ε) x = 1 ή x = 1/5, στ) x = 0 ή x = -2√3 4 a) x = -1/3, ή x = 4/3, β) y = 7 ή y = -5, γ) ω = 4 ή ω = -4 5 a)x = 2 (διπλή λύση), β) y = 3 ή y = -4, γ) ω = 5 ή ω = -3, δ) t = 2 ή t =3/2, ε) φ = 1 ή φ = 1/3, στ) ζ = -1 ή ζ = 5/8 6 a) x = -5 (διπλή λύση), β) y = 2 ή y = -2 (διπλή λύση), γ) Να αντικαταστήσετε το 2006ω με 2007ω - ω, ω = 1 ή ω = -2007. 7 a)x = α ή x = β, β) x = √3 ή x = -1.

B. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου.

1 1η σειρά: x2- x + 2 = 0, a = 1, β = -1, γ = 2. 2η σειρά: 3x2 - 2x = 0, a = 3, β = -2, γ = 0. 3η σειρά: -x2 + 1 = 0, α = -1, β = 0, γ = 1 2 α) x = -1 ή x = 2, β) y = -1 ή y =1/4, γ) ω = 2 ή ω = -3/2, δ) z = 1 ή z = 1/2, ε) t = 1/5

(διπλή λύση), στ) χ = 3/2 (διπλή λύση), ζ) χ = -3 (διπλή λύση), η) χ = -1 ή χ = 5, θ) Αδύνατη 3 α) χ = 0 ή χ = 7, β) χ = 4 ή χ = -4 4 α) χ = 1 ή χ = 1/3, β) y = -1 ή y = 5, γ) ω = 4 (διπλή λύση), δ) Αδύνατη 5 α) χ = 2 ή χ = β) y = 5 (διπλή λύση), γ) t =1 ή t = 6/5, δ) ω = √3/3 ή ω = 2√3 6 α) (χ - 2)(χ + 6), β) 3(y - 5/3)(y - 1), γ) -2(ω - 1)(ω − 3/2 ), δ) (χ - 8)2, ε) 9(y + 2/3 )2, στ) -(ω - 5)27 α) Είναι Δ = (2α - 1)2≥ 0, β) Είναι Δ = (α - β)2≥ 0 8 Να δείξετε ότι α2 = β2 + γ2.

2.3. Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού

1 α) x = 10 m, β) x = 7 m, γ) x = 4 m, δ) x = 6 m 2 α) 4,

β) 6, γ) 3 3 2 dm 4 50 m 5 5 και 7 ή -7 και -5 6 Οι σελίδες είναι 22 και 23 7 16 ομάδες 8 χ = 2 9 35 και 2 10 18 cm, 24cm 11 3 m 12 4 m 13 6 sec, 180 m.

2.4. Κλασματικές εξισώσεις

1 α) χ = 5, β) y = -9, γ) αδύνατη, δ) α = 2, ε) χ είναι οποιοσδήποτε αριθμός με χ ≠ 3, στ) αδύνατη 2 α) χ = 1 ή χ = 3, β) y = 5 ή y = 1/2, γ) ω = 1 ή ω = -3, δ) α = 3 ή α = -2, ε) αδύνατη, στ) y = 4 3 α)χ = 10, β) y είναι οποιοσδήποτε αριθμός με y≠2 και y≠-1, γ) αδύνατη, δ) α=1 4 α) y = 2, β) αδύνατη, γ) x=0 ή x=3, δ) α = -1/4 5 α) x = 4 ή x = -4, β) x = 6 6 α) V = m/p β) R=αβγ/4Ε, γ)S= pl/R , δ) T1=(P1 V1 T2)/(P2 V2 ), ε) R = (R1 R2)/(R1+R2 ) στ) α = βγ/(2γ-β) ζ) υα2 = (β2 γ2)/(β2 +γ2 ). η) λ = (S-α)/S, 7 α) 4 και 1/4, β) 5. γ) 6 και 8 8 84/x + 9 = 84/(x-3), x = 7 9 240/x = 240/(x+2) + 4, x = 10 10 12/x+ 15/(x-0,2) = 25, x = 1,2 gr/cm311 120/x=120/(x-2) - 3, x = 10 12 210/x-210/(x+10)=1/2, 60 km/h

2.5. Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο

1 Παρατηρήστε ότι 3(α - β) - 2(α + β) > 0 22 α) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το -5, και στη συνέχεια αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το 30, β) Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 3 και στη συνέχεια προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 18, γ) Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το 4 και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 2 3 α) 0 < α - 2 <4, β) -1 < 2α - 5 < 7, γ) -5 > 1 - 3α > -17 4 α), β) Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες της διάταξης, γ) Παρατηρήστε ότι 2α<α + β, δ) Παρατηρήστε ότι α + β < 2β 5 και 6 Να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες της διάταξης 7 Να πολλαπλασιάσετε κατά μέλη τις ανισότητες α > β και α > β 8 α) Να πολλαπλασιάσετε και τα δύο μέλη της ανισότητας α > 1 με το α, β) Να πολλαπλασιάσετε και τα δύο μέλη της ανισότητας χ > 2 με το χ29 Να διαιρέσετε τα μέλη της ανισότητας α > β με αβ > 0 10 α) Παρατηρήστε ότι χ - 3>0 και y - 2<0, β) Παρατηρήστε ότι xy + 6 - 2χ - 3y = (χ-3)(y-2) 11 α) Παρατηρήστε ότι (χ - 1)2≥ 0. H ισότητα ισχύει όταν

x = 1, β) Παρατηρήστε ότι (x - y)2 ≥ 0. Η ισότητα ισχύει όταν χ = y, Υ) Παρατηρήστε ότι x2 + (y - 1)2 ≥ 0. Η ισότητα ισχύει όταν χ = 0 και y = 1. 12 α) H ανισότητα γίνεται (χ-1)2 ≥ 0, β) Η ανισότητα γίνεται (χ + 1)2 ≥ 0 13 126 14 Μεταξύ 126 € και 145 € 15 16,51 < Β < 19,10 − ναι 16 α) χ > 1, β) χ < -5, γ) αδύνατη, δ) χ < -4, ε) αληθεύει για κάθε τιμή του χ, στ) χ > 0 17 α) -4 < χ < 9, β) χ > -2, γ) χ < -2 18 χ = 3.

Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου

1 α) x = -α-β, β) x = -β, 2 x = 3, y = 5 3 15 και 16 4 α) x = -2α/3, β) x = (1-3α)/6, 5 x = 2, 6 Να κάνετε τη διαίρεση Ρ(χ) : (χ - 3) και οι λύσεις είναι 3, -1, -5 7 2 και 3 8 19m και 21m 9 Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΔΓ, ΑΒΓ, οπότε x = 9 10 Προσδιορίστε το πρόσημο της διαφοράς τους, όταν αβ >0, αβ < 0, αβ = 0 11 α) Να κάνετε τις πράξεις στο πρώτο μέλος, β) Να χρησιμοποιήσετε το (α) 12 Πολλαπλασιάστε και τα δύο μέλη με ν(ν + 1)(ν + 2) > 0 13 α) Να χρησιμοποιήσετε την τριγωνική ανισότητα α + β > γ, β) Να χρησιμοποιήσετε τις τριγωνικές ανισότητες α <β + γ και α + γ > β, γ) Να χρησιμοποιήσετε κυκλικά το ερώτημα (β) 14 Παρατηρήστε ότι -,>1 και -γ>115 Η διακρίνουσα είναι Δ=5α(α-4)> 0 16 Παρατηρήστε ότι (α-1)2+(β-2)2 + (γ-3)2=0, οπότε α=1, β=2 και γ=3 17 Παρατηρήστε ότι Α=(α-5β)2+2(β-2)2 >0, η ελάχιστη της Α είναι 0 όταν α=10 και β=2 18 Η εξίσωση Γίνεται (x-2020)(1/2001+1/2003+1/2005+1/2007)=0, οπότε x = 2020.

Κεφάλαιο 3ο

3.1 H έννοια της γραμμικής εξίσωσης

1 ε // ε2 // ε3 2 α) λ = 4 3 α) Α(3, 0), Β(0, 4), β) Ε = 6 4 α) (-2, 2), β) ζ3 5 β) Σχηματίζεται ορθογώνιο με εμβαδόν 30 6 α) λ = 2, β) λ = 1 7 α)χ + 2y = 4, β) 15 λεπτά 8 2χ + 3y = 25, (2, 7), (5, 5), (8, 3) (11, 1).

3.2 H έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

11 α) (3, 2), β) (1, 3), γ) (0, 0), δ) (1, 1), ε) Αόριστο, στ) Αδύνατο 2 α) Καμμία, β) Άπειρες, γ) Μία 3 α) 0 m/sec, 10 m/sec, β) t = 10 sec, υ = 20 m/sec 4 α) 1η

περίπτωση: ε1, 2η περίπτωση: ε2, 3η περίπτωση: ε3, β) 24 αγώνες, γ) 2η, δ) 90 €, ε) 1η περίπτωση: αν παρακολουθήσει μέχρι και 6 αγώνες, 2η περίπτωση: αν παρακολουθήσει από 6 μέχρι και 24 αγώνες, 3η περίπτωση: αν παρακολουθήσει από 24 αγώνες και πάνω.

3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

1 α) x = 9, y = 4, β) x = -5, y = -5 γ) χ = 3, y = 2, δ) χ = -1, y = -1 2 α) χ = 11, y = 26, β) χ = 3, y = _± γ) x = y = 0, δ) αδύνατο 3 α) x = y = 4, β) x = -3, y = -2, γ) x = 5, y = 4 4 a) x = 0, y = -2, β) x = 3, y = -3 5 a) a = 1, β = -1, β) ω = 2, φ = -5, γ) x = -2, y = 1 6 a) x = 1, y = 2, β) Πολλαπλασιάοτε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης με το -2 και προσθέστε κατά μέλη, α = 2, β = -6, γ) Πολλαπλασιάστε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης με 3 και προσθέστε κατά μέλη, ω=φ=3 7 M(15/7, 8/7) 8 Κοινό σημείο των ε1 και ε2 είναι το (-4, 2), κοινό σημείο των ε2 και ε3 είναι το (3, -5) και κοινό σημείο των ε3 και ε1 είναι το (8, 10) 9 45 και 55 10 α=5, β=1 11α=-1, β=1 12 λ = 5, μ = 7 13 π = 20 cm, γ = 30 cm 14 500 των 2 κιλών και 300 των 5 κιλών 15 Φυσική 19 και Χημεία 13 16 35 cm και 23 cm 17 θ = 16, μ = 24 18 250 και 150 λίτρα 19 υ0 = 20 m/sec και α = 4 m/sec2 - Σε 5 sec 20 845 αυτοκίνητα και 100 μοτοσικλέτες 21 10 και 2.

Γενικές ασκήσεις 3ου κεφαλαίου

1 Αδύνατο αν κ + 1 και αόριστο αν κ = 1 2 λ = 5 και μ =-2 3 α=2 και β= 10 4 a) x = y = 1, β) x = y = -2 5 α) (x = 1, y = 2) ή (x = 4, y = -4), β) x = -2 και y = -1, γ) x = y = 7/2 6 83 και 17 7 λ = 2 και κ = 1

8 11 cm και 7 cm 9 9 και 4 10 Α' θέση: 50 εισιτήρια - Β' θέση: 300 εισιτήρια 11 64 12 75 13 32 m και 28 m 14 30 λεπτά και 15 λεπτά 15 75 km/h και 60 km/h 16 25 m/sec και 120 m 17 R1 = 4Ω, R2 = 6Ω.

Κεφάλαιο 4ο

4.1 Η συνάρτηση y = αx2 με α ≠ 0

1 και 2 Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 2

3 y = -1/4 x2 y = 1/4 x2 4 A(3/2, -9),B(-3/2,-9) 5 λ = 0 6 λ = -2 7 α) Να κάνετε τα διαγράμματα Ε = 1/2υ2, E= υ2, Ε = 2υ2, β) Εκείνο που έχει μάζα 1 (μικρότερη), γ) Εκείνο που έχει μάζα 4 (μεγαλύτερη).

4.2 Η συνάρτηση y = αx2 + βx + γ με α ≠ 0

1 α), β) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 3 2 α) Ελάχιστη τιμή -1, β) Μέγιστη τιμή 5, γ) Μέγιστη τιμή 7 3 x=1, x= -3 4 Παρατηρήστε ότι ισχύει y > 0 για κάθε τιμή του x 5 α) λ = 2, β) (-1, 0), (-2, 0), (0, 2) 610 7 Παρατηρήστε ότι -β/2 = 4 και -7 = 42 + 4β + γ, β = - 8 και γ = 9 8 α) Παρατηρήστε ότι -β/2α = 20 και τα σημεία (0, 0) και (20, 10) ανήκουν στην παραβολή, β) 7,5 m - Ν(10 , 7,5).

Γενικές ασκήσεις 4ου κεφαλαίου

1 y = ±2/3 x22 α = 0 3 Α(1, - 1), Β(-3, -9) 4 y = 2χ2 - 8χ + 5 5 α) Παρατηρήστε ότι ΑΓ=10-χ > 0, γ) Το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, όταν x=y=5 cm 6 E = (6 - χ)(3 + χ), χ = 1,5 m 7 Αν ΑΜ = χ, τότε Ε= 2χ2-20χ+100 - Στο μέσον του AB 8 α) Παρατηρήστε ότι -β/2α = 2 και τα σημεία (0, 6), (2, 8) ανήκουν στην παραβολή, β) 4 m 9 α) Παρατηρήστε ότι y = αχ2 + 6 και το σημείο (8, 0) ανήκει στην παραβολή, β) Προσδιορίστε την τεταγμένη του σημείου που έχει τετμημένη 1,6 και θα βρείτε 5,76 m.

Κεφάλαιο 5ο

5.1 Σύνολα

1 α) Α = {-5, 5}, β) Β = {5}, γ) Γ = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}, δ) Δ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 2 Α ∈ Κ, Γ ∋ Κ, Α = Λ, Β = Μ 3 Α={1, 2, 3}. Υποσύνολα του Α είναι: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, Α, Ø 4 Α = {(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)} 5α) Α = {περιττοί φυσικοί αριθμοί}, β) Β = {γράμματα της λέξης ιστορία}, γ) Γ = {ψηφία του αριθμού 20} 6 α) Α ∪ Β = {1, 2, 4, 5, 6}, β) Α ∩ Β = {2, 4}, γ) Α' = {3, 6}, δ) Β' = {1, 3, 5} 7 α) Α={α, λ, γ, ε, β, ρ}, Β = {φ, ρ, ε, γ, α, τ}, Γ = {ε, λ, α, φ, ι}, β) Β ∪ Γ = {φ, ρ, ε, γ, α, τ, λ, ι}, Α ∩ Β = {α, γ, ε, ρ}, Α n Γ = {α, λ, ε}, γ) Α ∩ (Β ∪ Γ) = {α, λ, γ, ε, ρ} 8 α) Α ∩ Β, β) Α ∪ Β,

γ) Α n Β', δ) Α' n Β'9 α) Είναι αθλητής του στίβου ή φοιτητής του Πανεπιστημίου, β) Είναι αθλητής του στίβου και φοιτητής του Πανεπιστημίου, γ) Δεν είναι αθλητής του στίβου, δ) Δεν είναι φοιτητής του Πανεπιστημίου, ε) Είναι αθλητής του στίβου και όχι φοιτητής του Πανεπιστημίου, στ) Δεν είναι αθλητής του στίβου αλλά είναι φοιτητής του Πανεπιστημίου, ζ) Δεν είναι ούτε αθλητής του στίβου ούτε φοιτητής του Πανεπιστημίου.

5.2 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα

1 Ω = {σπ, σλ, τπ, τλ, γπ, γλ} 2 Ω = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ} 3 ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ, ΓΑ, ΓΒ, ΓΔ, ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ 4 α) Ω = {Κ, Α, Μ}, β) Με τρεις το πολύ κινήσεις, γ) Με δύο κινήσεις 5 α) Ω = {ΔΕ, ΔΖ, ΔΣ, ΚΕ, ΚΖ, ΚΣ, ΜΕ, ΜΖ, ΜΣ, ΠΕ, ΠΖ, ΠΣ}, β) Α = {ΔΕ, ΔΖ, ΚΕ, ΚΖ, ΜΕ, ΜΖ, ΠΕ, ΠΖ}, Β = {ΔΕ, ΔΖ, ΔΣ, ΚΕ, ΚΖ, ΚΣ, ΠΕ, ΠΖ, ΠΣ} 6 α) Α ∪ Β = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9}, β) Α ∩ Β = {1, 3}, γ) Β' = {6, 7, 8, 9} 7 α) {2642, 2672, 2842, 2872, 2942, 2972}, β) Α = {2672, 2872, 2972}, Β = {2642, 2672, 2842, 2872}.

5.3 Έννοια πιθανότητας

1 α) 6/13 β) 3/13 2 0,5% 3 40/52 4 Ρ(Α) = 7/20, P(B) = 15/20, P(Γ) = 13/20 5 α) 3/25, β) 8/25, γ) 10/25, δ) 3/25 6 2/87 P(A)=1/36, P(B)= 6/36, P(Γ)= 11/36 8 13/25, 12/24 9 1/4 ή 25% 10 1/10 11 1/14 12 48% 13 12/24 ή 50%

Γενικές ασκήσεις 5ου κεφαλαίου

1 α) Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Α = {0, 2, 4, 6, 8}, Β={1, 2, 4, 8}, β) Α ∪ Β={0, 1, 2, 4, 6, 8}, Α ∩ Β = {2, 4, 8}, Α' = {1, 3, 5, 7}, Β' = {0, 3, 5, 6, 7}, γ) i) P(Α) = 5/9, ii) P(Β') =5/9, iii) P(Α ∩ Β) = 3/9, iv) P(Α ∪ Β) = 6/9 2 3/12, 6/8 3 α)1η γραμμή: 12, 36 - 2η γραμμή: 18, 14 β) i) 30/80 ii) 32/80 iii) 12/80 iv) 68/80 4 2/12 5 3/4 ή 75% 6 α) 4/12, β) 6/12, 7 2/(10 ) 8 Δεν είναι σωστός, αφού, P(8) = 5/36 ενώ P(7) = 6/36.

ΜΕΡΟΣ B' - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 1ο

1.1 Ισότητα τριγώνων

1 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΕ (Π - Γ - Π) 2 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΣ, ΟΒΣ, (Π - Γ - Π) 3 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΕ (Π - Γ - Π) 4 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΔ, ΟΒΓ (Π - Γ - Π) 5 Τα τρίγωνα ΑΖΕ, ΒΔΖ, ΓΔΕ είναι ίσα (Π - Γ - Π) 6 Τα τρίγωνα ΒΓΔ, ΒΓΕ είναι ίσα (Π - Γ - Π) 7 Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ είναι ίσα (Γ - Π - Γ) 8 Να φέρετε μια διαγώνιο και να συγκρίνετε τα τρίγωνα που σχηματίζονται 9 α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ, Α'Β'Δ' (Γ - Π - Γ), β) (Γ - Π - Γ) 10 (Π - Π - Π) 11 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ (Π - Π - Π) 12 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΔ (Π - Π - Π) 13 α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΜ, Α'Β'Μ' (Π - Π - Π), β) (Π - Γ - Π) 14 α) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΒΔΜ, ΓΕΜ (Π - Γ - Π), β) (Π - Π - Π) 15 Να συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΕ 16 Να συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ - Ιδιότητα της μεσοκαθέτου 17 Να συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΔ 18 Να φέρετε ΑΑ' 1 ε, ΒΒ' 1 ε και να συγκρίνετε τα τρίγωνα που σχηματίζονται 19 α) Να συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ, Α'Β'Δ', β) (Γ - Π - Γ) 20 Να συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΜ, ΟΓΝ 21 Να φέρετε τις χορδές ΒΓ, ΒΔ και να παρατηρήσετε ότι εικόνα. Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

 

1.4 Ομοιοθεσία

εικόνα1 β) i) 1,5 cm ii) 6 cm 2 6 cm, 8 cm, 10 cm 3 εικόνα και Α'Β' = Α'Γ' = 6 cm, Β'Γ' = 6√2 cm 4 Παρατηρήστε ότι ο ομοιόθετος κύκλος θα έχει τριπλάσια ακτίνα 6 Είναι ίσα 7 α) Α'(-2, 2), Β'(4, 4), Γ'(0, -4). Είναι διπλάσιες β) Α"(-3, 1), Β"(3, 3), Γ"(-1, -5). Όχι 8 Παρατηρήστε ότι το ΔΕ είναι ομοιόθετο του ΒΓ με κέντρο Α και λόγο 1/3 9 Παρατηρήστε ότι το κέντρο ομοιοθεσίας είναι το σημείο τομής των Α'Α, Β'Β και ο λόγος ομοιοθεσιας είναι 5/2

1.5 Ομοιότητα
Α. Όμοια πολύγωνα

1 Στη β' περίπτωση 2 α)χ = 4,2 cm, β) x = 50° 3 Όχι. Δεν είναι οι πλευρές ανάλογες 4 Είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ 1ε κέντρο Κ και λόγο 5 α) ΑΕΚΗ ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Α και λόγο β) ΚΘΓΖ ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Γ και λόγο , ΚΘΓΖ ≈ ΑΒΓΔ ≈ ΑΕΚΗ 6 120 m, 1: 4000.

Β. Όμοια τρίγωνα

1 α) x = 6cm, β) x = 6cm, γ) x = 3cm 2 ΑΔ = 6 cm 3 α) Ισχύει ΑΔ/ΑΒ = ΑΕ/ΑΓ β) Έχουν γωνίες ίσες 4 ΑΒ = 25 m 5 x = 4 6 21 m 7 x = 6cm 8 1,70 m.

1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

1 9/25 2 50 cm23 25 φορές 4 α) 1/4, β) 1/4 5 Παρατηρήστε ότι Ε1/Ε = (2/3)2 και Ε2/Ε = (1/3)26 α) 16/9 β) 16/25 7α) Το ΔΕΖ είναι ομοιόθετο του ΑΒΓ με κέντρο Ο και λόγο 1/2, β) Είναι ((ΔΕΖ))/((ΑΒΓ)) = (1/2)28 α) 57,6 cm2, β) 22,5 cm29 69% 10 36%.

Γενικές ασκήσεις 1ου κεφαλαίου

1 Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΑΔ και ΕΑΓ είναι ίσα 2α) Να συγκρίνετε τα ορθογώναι τρίγωνα ΑΔΖ και ΑΒΕ β) Παρατηρήστε ότι εικόνα3 Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΒΓΖ 4 Να συγκρίνετε κατ' αρχήν τα τρίγωνα ΒΓΜ Β΄Γ΄Μ΄ 5 α)ΟΔ=9,6m και ΟΕ=12,8m 6 6√2 7 36cm28 α)2 β)10cm 91cm 10α)Να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Θαλή β)Παρατηρήστε ότι (ΔΕΗΖ)=(ΑΒΓ)-(ΑΔΕ)-(ΒΔΖ)-(ΓΕΗ)

Κεφάλαιο 2ο

2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0° < ω < 180°

1 α) ημω = 4/5, συνω = 3/5, εφω = 4/3, β) ημω = 12/13, συνω = -5/13, εφω =-12/5 γ) ημω = 1, συνω = 0, εφω δεν ορίζεται 2 α) 2, β) ημω = (2√5)/5, συνω =-√5/5, εφω = -2 3 Π(5√3,5) 4 α) Μ(-1,√3), β) ημ120°= √3/2, συν120°= -1/2, εφ120°=-√3 5 α) Να φέρετε ΜΚ ⊥ χ'χ και παρατηρήστε ότι ΜΚ = 1, β) ημ150 = 1/2, συν150°= -√3/2, εφ150°= √3/3, 6 α) 3/4 β) ημω=3/5, συνω = -4/5 7 Παρατηρήστε ότι Σ1,(10, 7) και Σ2(20, 18), Σ1ÔΣ2 = 7°.

2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

1 α) ημ120°= √3/2, συν120° = -1/2, εφ120°=-√3, β) ημ135°= -√2/2, συν135° =-√2/2 εφ135°= -1, γ) ημ150°= 1/2, συν150°=-√3/2, εφ150°=-√3/3 2 α) Παρατηρήστε ότι 108°+72° = 180° και 77°+103° =180°, β) Παρατηρήστε ότι 122°+ 58° = 180° 3 α), β) Να αντικαταστήσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τις τιμές τους 4 Παρατηρήστε ότι σε κάθε περίπτωση οι γωνίες είναι παραπληρωματικές 5 α) 45° ή 135°, β) 30° ή 150°, γ) 30°, δ) 120°, ε) 120°, στ) 45° 6 Παρατηρήστε ότι οι δύο γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες ή παραπληρωματικές - όχι 7 α), β) Παρατηρήστε ότι A + Γ = 180° 8 ημω = 4/5, συνω = 3/5, εφω = 4/3 και ω, φ παραπληρωματικές γωνίες 9 Να φέρετε το ύψος ΑΚ, ημω =(3√21)/14, συνω = √7/14, εφω = 3√3 και ω, φ παραπληρωματικές γωνίες.

 

2.3 Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας

1 συνω = 12/13 , εφω = 5/12 ημω = (2√2)/3, εφω = -2√2 3 ημω = 3/5, συνω = 4/5 4 Α = 0 5 Να βγάλετε κοινό παράγοντα α) το ημω, β) το συν2ω 6 α), β) Να αντικαταστήσετε τα x, y 7 α) Να αντικαταστήσετε το ημ2α με 1 - συν2α, β) Από τους δύο πρώτους όρους να βγάλετε κοινό παράγοντα το ημ2α 8 α), β) Να αναπτύξετε τις ταυτότητες 9 α) Παρατηρήστε ότι εφ2 x = (ημ2 x)/(συν2 x), β) Να αντικαταστήσετε την εφx με ημx/συνx 10 α) Παρατηρήστε ότι συν2x = 1 - ημ2x = (1 - ημx)(1 + ημx), β) Να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα εφx = ημx/συνx 11 α) 1, β) 2 12 α) Παρατηρήστε ότι εφ70°= (ημ70°)/(συν70° ) και 70° + 110° = 180°, β) Παρατηρήστε ότι εφ40°= (ημ40°)/(συν40° ) και 40° + 140° = 180° 13 Να αντικαταστήσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών α = 30° και β = 60°. Μαθηματικό αίνιγμα: Παρατηρήστε ότι ((λ+1)/(λ+2))2+(λ/(λ+2))2 =1, ω = 180ο.

2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

1 α) 2√2, β) 5√6, γ) 4√6 2 α) 90°, β) 30°, γ) 90° 3 α) εικόναεικόνα4 Να χρησιμοποιήσετε το νόμο των ημιτόνων 5 Περίπου 448 m 6 Από το νόμο των ημιτόνων προκύπτει ημΑ = √3 που είναι αδύνατο 7 F1 ≈ 6,44 Ν και F2 ≈ 5,27 Ν 8 29,06 m 9 α) 5, β) 120°, γ) 2, δ) x = 90° 10 β = γ = 3 11 10√3 cm 12 ΑΓ =√13, ΒΔ = √37 13 Είχε δίκιο. Να χρησιμοποιήσετε το νόμο των συνημιτόνων. Το μήκος της σήραγγας ήταν 157,19 m 14 126°.

Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου

1 α) Να κάνετε τις πράξεις σε κάθε μέλος, β) Να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα στο 1ο μέλος 2 συνω = -5/13 και ΑΜ = 15 3 Είναι εικόνα. Είναι ΑΔ = 10√6 cm. 4 α) β) Να χρησιμοποιήσετε το νόμο των ημιτόνων, γ) Παρατηρήστε ότι ημφ = ημω 5 β) Â = 120°, (ΑΒΓ) = 60√3 m26 α) Να χρησιμοποιήσετε το νόμο των ημιτόνων, β) Είναι ημ(Β + Γ) = συν(Β - Γ) = 1 7 α) Να χρησιμοποιήσετε το νόμο των ημιτόνων, β), γ), δ) Να χρησιμοποιήσετε το νόμο των συνημιτόνων 8 Είναι α = 6, β = 5, γ = 4 ή α = 5, β = 6, γ = 4 9 Περίπου 65 m.

     
  Με απόφαση της Ελληνικής Κυβέρνησης τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισμό Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μπορεί να διατίθενται προς πώληση, όταν φέρουν βιβλιόσημο προς απόδειξη της γνησιότητάς τους. Κάθε αντίτυπο που διατίθεται προς πώληση και δε φέρει βιβλιόσημο, θεωρείται κλεψίτυπο και ο παραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 1129 της 15/21 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α').  
 
ΒΙΒΛΙΟΣΗΜΟ
  

Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τμήματος αυτού του βιβλίου, που καλύπτεται από δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οποιαδήποτε μορφή, χωρίς τη γραπτή άδεια του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου.