Μαθηματικά (Γ Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Γνωρίζω τους νόμους ημιτόνων και συνημιτόνων και μαθαίνω να τους εφαρμόζω στη λύση προβλημάτων.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Ένας τοπογράφος δεν μπορεί να μετρήσει την απόσταση ΓΒ δύο πυλώνων της ΔΕΗ, γιατί ανάμεσα τους παρεμβάλλεται μια λίμνη. Γι´αυτό επιλέγει μια θέση Α που απέχει 100 m από τον πυλώνα Γ και από την οποία φαίνονται και οι δύο πυλώνες. Με ένα γωνιόμετρο μετράει τις γωνίες

1. Μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση ΓΒ, αφού προηγουμένως υπολογίσετε το ύψος ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ; Ο τοπογράφος όμως υπολόγισε την απόσταση ΓΒ πιο γρήγορα, γιατί γνώριζε ότι οι λόγοι και είναι ίσοι.

2. Με τους υπολογισμούς που εσείς κάνατε, μπορείτε να διαπιστώσετε αν πράγματι οι λόγοι αυτοί είναι ίσοι;

Νόμος των ημιτόνων

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε να υπολογίζουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν γνωρίζουμε δύο πλευρές του ή μια πλευρά και μια οξεία γωνία του. Πώς όμως μπορούμε να υπολογίσου-με τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου όταν δεν είναι ορθογώνιο;

Σχεδιάζουμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και φέρουμε το ύψος ΓΔ. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΓ και ΓΔΒ έχουμε:

εικόνα

Η προηγούμενη σχέση αποδεικνύεται ότι ισχύει και όταν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο και ονομάζεται νόμος των ημιτόνων.

Γενικά

Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του.

Με το νόμο των ημιτόνων, αν γνωρίζουμε μια πλευρά ενός τριγώνου, την απέναντι γωνία της και μια άλλη πλευρά ή γωνία του, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του (πλευρές - γωνίες).

Για παράδειγμα, στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος μπορούμε με το νόμο των ημιτόνων να υπολογίσουμε τη γωνία , αφού

εικόνα

Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες διαπιστώνουμε ότι = 45º.

Νόμος των συνημιτόνων

Σ´ένα τρίγωνο ΑΒΓ, αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε με το νόμο των ημιτόνων δεν μπορούμε να υπολογίσου-με τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου, αφού δε γνωρίζουμε μια πλευρά και την απέναντι γωνία της.

Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και φέρουμε το ύψος ΓΔ, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε: α² = ΔΓ² + ΔΒ² (1).

Επειδή ΔΒ = γ - ΑΔ, η ισότητα (1) γράφεται:

α² = ΔΓ² + (γ - ΑΔ)² ή α² = ΔΓ² + γ² + ΑΔ² - 2γ·ΑΔ (2).

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε: ΔΓ² + ΑΔ² = β² και συνΑ = ή ΑΔ = βσυνΑ.

Άρα η ισότητα (2) γράφεται: α² = β² + γ² - 2βγσυνΑ

Η προηγούμενη σχέση αποδεικνύεται ότι ισχύει και όταν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο ή ορθογώνιο και ονομάζεται νόμος των συνημιτόνων. Ομοίως αποδεικνύεται ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν

β² = γ² + α² - 2γασυνΒ

γ² = α² + β² - 2αβσυνΓ

Με το νόμο των συνημιτόνων, αν σ´ένα τρίγωνο γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του ή δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους, τότε μπορούμε να υπολογί-σουμε τα υπόλοιπα πρωτεύοντα στοιχεία του.

Για παράδειγμα, αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 9 cm, β = 7 cm και γ = 6 cm, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις γωνίες του.

Π.χ. για να υπολογίσουμε τη γωνία Β έχουμε:

β² = γ² + α² - 2γασυνΒ ή

7² = 6² + 9² - 2·6·9·συνΒ ή

49 = 36 + 81 - 108·συνΒ ή 108 συνΒ = 68 ή

συνΒ = = 0,629. Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες διαπιστώνουμε ότι = 51º.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι = 120º, = 45º και α = 30 cm. Να υπολογιστεί η γωνία και η πλευρά β.

Λύση

Δύο φάροι Φ1, Φ2 απέχουν μεταξύ τους 10 μίλια. Ένα πλοίο Π βρίσκεται σε μια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν οι αποστάσεις x,y του πλοίου από κάθε φάρο.

Λύση

εικόνα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι = 60º, β = 4 cm και γ = 2 cm. Να υπολογιστεί η πλευρά α και οι γωνίες και .

Λύση

Από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

α² = β² + γ² - 2βγσυνΑ ή α² = 4² + 2² - 2·4·2·συν60º

ή α² = 16 + 4 - 16· ή α² = 12.

Άρα α = √12 δηλαδή α = 2 √3 cm.

Ομοίως έχουμε:

β² = γ² + α² - 2γασυνΒ ή 4² = 2² + ( 2 √3 )² - 2· 2 √3 ·2·συνΒ ή

16 = 4 + 12 - 8√3 ·συνΒ ή 8√3 ·συνΒ = 0 ή συνΒ = 0, οπότε Β = 90º.

Αφού + + = 180º και = 60º, = 90º, έχουμε = 30º.

Δύο δυνάμεις F1 = 4 Ν και F2 = 3 Ν εφαρμόζονται σ´ένα υλικό σημείο Ο και σχηματίζουν γωνία ω = 60º. Να υπολογιστεί η συνισταμένη τους F.

Λύση

H συνισταμένη F των δυνάμεων F1, F2, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου ΟΑΣΒ. Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΣ και επειδή ΒΣ = F1, έχουμε:

Οι γωνίες όμως ω και 60º είναι παραπληρωματικές, οπότε συνω = -συν60º και ο τύπος (1) γράφεται:

εικόνα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος ____ = ____ =____

Να γράψετε τον νόμο των ημιτόνων:

α) στο τρίγωνο ΑΒΔ

____ = ____ = ____

β) στο τρίγωνο ΑΔΓ

____ = ____ = ____

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

εικονα

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων:

x2 = ……………………

y2 = ……………………

ω2 = ……………………

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις

α) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των …………………… από την ισότητα ……………………

β) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των …………………… από την ισότητα ……………………

γ) Η γωνία x υπολογίζεται με το νόμο των …………………… από την ισότητα ……………………

δ) Η πλευρά x υπολογίζεται με το νόμο των …………………… από την ισότητα ……………………

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

εικόνα

Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

εικόνα

Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, όταν:

α) α = 2, β = √2 και Β = 30º

β) β = √2 , γ = √3 και Γ = 60º.

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές.

Να υπολογίσετε το μήκος της διαδρομής x του εναέριου σιδηροδρόμου στο διπλανό σχήμα. (Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες).

Ένας μαθητής απευθυνόμενος στον καθηγητή του των Μαθηματικών είπε:

- Κύριε, σε ένα βιβλίο βρήκα μια άσκηση στην οποία έδινε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με α = 12, β = 6, και ζητούσε να βρεθούν τα υπόλοιπα στοιχεία του.

Πώς λύνεται;

Ο καθηγητής αφού είδε την άσκηση τού είπε:

- Κάποιο λάθος έχεις κάνει, γιατί δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.

Πώς το κατάλαβε ο καθηγητής;

Οι δυνάμεις F1, F2 έχουν συνισταμένη F = 10 N που σχηματίζει με την F1 γωνία 28º και με την F2 γωνία 35º. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις F1, F2. (Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες).

Ένας τοπογράφος για να μετρήσει το ύψος ενός ψηλού κτιρίου τοποθέτησε το γωνιόμετρό του στο σημείο Α και βρήκε τη γωνία . Στη συνέχεια μετακινήθηκε κατά 30 m, τοποθέτησε το γωνιόμετρο στη θέση Β και βρήκε τη γωνία. Ποιο ήταν το ύψος του κτιρίου, αν το γωνιόμετρο έχει ύψος 1,4 m. (Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες).

Να υπολογίσετε το x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

εικόνα

Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές β, γ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, αν και α =√3 .

Σε κύκλο με ακτίνα R = 10 cm, η χορδή ΑΒ αντιστοιχεί σε τόξο 120º. Να υπολογίσετε το μήκος της χορδής.

Να υπολογίσετε τις διαγωνίους παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4, ΒΓ = 3 και

Μια τεχνική εταιρεία θέλει να καταθέσει μια προσφορά για την κατασκευή μιας σήραγγας ΑΒ. Ένας μηχανικός της εταιρείας με τους συνεργάτες του έστησε ένα γωνιόμετρο στη θέση Μ που η απόστασή του από το Α ήταν 100 m και από το Β ήταν 154 m. Αφού μέτρησε τη γωνία , ισχυρίστηκε ότι με αυτά τα στοιχεία μπορούσε να υπολογίσει το μήκος της σήραγγας. Είχε δίκιο ή άδικο; Πόσο ήταν τελικά το μήκος της σήραγγας; (Να χρησι-μοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες).

Ένας πυροσβεστήρας αυτόματης κατάσβεσης πρόκειται να στηριχτεί πάνω από τον καυστήρα ενός καλοριφέρ. Ένας τεχνικός θέλει να κατα¬σκευάσει τη βάση στήριξης του και διαθέτει τρεις μεταλλικές βέργες ΑΒ = 0,70 m, ΑΓ = 1,30 m και ΒΓ = 1,80 m. Για να κολλήσει όμως κατάλληλα τις βέργες ΑΒ, ΑΓ, όπως φαί-νεται στο σχήμα, πρέπει να γνωρίζει τη γωνία ω. Μπορείτε εσείς να την υπολογίσετε, ώστε να βοηθήσε-τε τον τεχνικό; (Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες).

εικόνα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Να αποδείξετε ότι:

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οχγ δίνεται το σημείο Α(4, 0) και το σημείο Μ που έχει τετμημένη −5 και η απόστασή του από το Ο είναι 13. Αν ω είναι η γωνία ΑÔΜ, να υπολογίσετε το συνω και την απόσταση ΑΜ.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΓ = 30 cm, . Να χαράξετε τη διχοτόμο ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ, να εξηγήσετε γιατί το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε το μήκος της διχοτόμου ΑΔ.

Αν ΑΔ διχοτόμος τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

εικόνα

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι

β) Να υπολογίσετε την γωνία και το εμβαδόν του κήπου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος.

α) Αν σ´ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ²Α = ημ²Β + ημ²Γ, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

β) Αν σ´ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ(Β + Γ) + συν(Β - Γ) = 2, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι:

εικόνα

Να βρείτε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, αν τα μήκη τους είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, η γ είναι η μικρότερη πλευρά και

Δύο φίλοι τοποθέτησαν τα γωνιόμετρά τους στις θέσεις Α, Β μιας ακτής και παρατή¬ρησαν δύο βράχους που προεξείχαν από την επιφάνεια της θάλασσας. Αν η από¬σταση ΑΒ ήταν 30 m και τα αποτελέσματα των μετρήσεων τους φαίνονται στο παρακάτω σχήμα, τότε να υπολογίσετε την απόσταση των δύο βράχων. (Να χρησιμοποιήσετε τριγωνομετρικούς πίνακες).

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ − ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy, αν είναι ω = xÔz, και M(x, y) είναι ένα οποιοδήποτε σημείο της πλευράς Oz, διαφορετικό από το O, τότε:

εικόνα

Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω με 0º < ω < 180ο φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:
Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθε-τους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Δηλαδή,
ημ(180º - ω) = ημω συνω(180º - ω) = −συνω εφ(180º - ω) = −εφω
Π.χ. ημ160º = ημ20º συν160º = −συν20º εφ160º = −εφ20º
Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι:
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν