Μαθηματικά Γ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή
2.2 Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
2.3
Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας
Εικόνα
Εικόνα
  • Γνωρίζω ποιες είναι οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και πως αποδεικνύονται.
  • Τις χρησιμοποιώ τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες για την απόδειξη απλών τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Σε ορθοκανονικό σύστημα να πάρετε ένα σημείο Μ στο 1ο ή στο 2ο τεταρτημόριο με όποιες συντεταγμένες θέλετε.

1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = xÔM.

2. Να υπολογίσετε την παράσταση (ημω)2 + (συνω)2 και να συγκρίνετε το αποτέλεσμα που βρήκατε με τα αποτελέσματα που βρήκαν οι συμμαθητές σας.

3. Να υπολογίσετε το λόγοεικόνα και να τον συγκρίνετε με την εφω.

εικόνα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = εικόνα , τότε να υπολογιστούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

 

Λύση

Από την ταυτότητα ημ2ω + συν2ω = 1 έχουμε

συν2ω = 1 - ημ2ω ή συν2ω = 1 - εικόνα

εικόνα

Επειδή η γωνία ω είναι αμβλεία έχουμε συνω < 0, οπότε συνω = εικόνα

Από την ταυτότητα εικόνα

2

Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει εφω = 2, τότε να υπολογιστούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω.

 

Λύση

εικόνα

3

Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:

α) (ημx - συνx)2 + 2ημxσυνx = 1 εικόνα

 

Λύση

α) Εχουμε

(ημx- συνx)2 + 2ημxσυνx = ημ2x - 2ημxσυνx + συν2x + 2ημxσυνx = ημ2x + συν2x = 1

β) Εχουμε

εικόνα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α)εικόνα Εικόνα
β) Αν συνω = 0, τότε δεν ορίζεται η εφω. Εικόνα
γ) Για κάθε γωνία ω ισχύει ημ2ω = συν2ω - 1. Εικόνα
δ) εικόνα Εικόνα
2

O Στέφανος ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε ημω = 0 και συνω = 0. Έχει δίκιο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

3

Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

α) Αν ημω = 1, τότε συνω = .............

β) Αν ημω = 0, τότε συνω = .............

4

εικόνα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ημω =εικόνα , τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

 

2

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει συνω =εικόνα , τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθ-μούς της γωνίας ω.

3

Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει εφω =εικόνα , τότε να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

4

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω =εικόνα , τότε να υπολογίσετε την παράσταση:

εικόνα

5

Να αποδείξετε ότι:

α) ημ3ω + ημωσυν2ω = ημω

β) συν3ω - συν4ω = ημ2ωσυν2ω ;

6

Αν είναι x = 3συνω και y = 3ημω, τότε να αποδείξετε ότι:

α) xσυνω + yημω = 3

β) x2 + y2 = 9

7

Να αποδείξετε ότι:

α) συν2α - ημ2α = 2συν2α - 1

β) ημ2ασυν2β + ημ2αημ2β + συν2α = 1

8

Να αποδείξετε ότι:

α) (ημω + συνω)2 + (ημω - συνω)2 = 2

β) (αημω + βσυνω)2 + (βημω - ασυνω)2 = α2 + β2

9

Να αποδείξετε ότι:

εικόνα
10

Να αποδείξετε ότι:

εικόνα
11

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

α) ημ50ºημ130º - συν50ºσυν130º

β) ημ214º + ημ2114º + συν2166º + συν266º

12

Να αποδείξετε ότι:

α) εφ70º συν70º - εφ110º συν110º = 0

β) εφ240º συν240º + συν2140º = 1

13

Αν είναι α = 30º και β = 60º, τότε να αποδείξετε ότι:

εικόνα

 

εικόνα

14
εικόνα

Είναι γωνία, όχι οξεία, ημίτονο έχει τον αριθμό εικόνακαι συνημίτονο έχει τον αριθμόεικόνα

Ποια γωνία είναι;