Μαθηματικά (Γ Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μαθαίνω να βρίσκω το ομοιόθετο ενός σχήματος.
Γνωρίζω με ποιες σχέσεις συνδέονται τα ομοιόθετα σχήματα. .

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και στο εσωτερικό του να πάρετε ένα σημείο Ο.

2. Πάνω στις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ να πάρετε αντιστοίχως τμήματα ΟΑ΄, ΟΒ΄, ΟΓ΄, ΟΔ΄ διπλάσια των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ. Να σχηματίσετε το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ και να συγκρίνετε τις πλευρές και τις γωνίες του με τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες του αρχικού τετραπλεύρου.

3. Πάνω στις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ να πάρετε αντιστοίχως τμήματα ΟΑ΄΄, ΟΒ΄΄, ΟΓ΄΄, ΟΔ΄΄, μισά των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ. Να σχηματίσετε το τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ και να συγκρίνετε τις πλευρές και τις γωνίες τους με τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες του αρχικού τετραπλεύρου. Τι παρατηρείτε;

Το ομοιόθετο σημείου

Αν πάρουμε δύο σημεία Ο, Α και στην ημιευθεία ΟΑ πάρουμε ένα σημείο Α΄, τέτοιο ώστε ΟΑ΄ = 2·ΟΑ, τότε λέμε ότι το σημείο Α΄ είναι ομοιόθετο του Α με κέντρο Ο και λόγο λ = 2. Αν Α΄΄ σημείο της ημιευθείας ΟΑ, τέτοιο ώστε ΟΑ΄΄ =  ΟΑ, τότε το Α΄΄ είναι ομοιόθετο του Α με κέντρο Ο και λόγο λ = .

Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε το ομοιόθετο ενός σημείου με κέντρο Ο και λόγο λ ονομάζεται ομοιοθεσία. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο ομοιοθεσίας, ενώ ο αριθμός λ ονομάζεται λόγος ομοιοθεσίας. Είναι φανερό ότι το κέντρο Ο έχει ομοιόθετο τον εαυτό του.

Το ομοιόθετο ευθυγράμμου τμήματος

Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ = 2 το ομοιό-θετο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι το ευθύγραμ-μο τμήμα Α΄Β΄, όπου Α΄, Β΄ τα ομοιόθετα των άκρων του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Επειδή ΟΑ΄ = 2·ΟΑ και ΟΒ΄ = 2·ΟΒ, θα έχουμε εικονα , οπότε ΑΒ // Α΄Β΄.

Επομένως

Τα ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλα.

Αν συγκρίνουμε τα τμήματα Α΄Β΄ και ΑΒ, διαπιστώνου με ότι Α΄Β΄ = 2 ΑΒ ή εικονα
Αν Α΄΄Β΄΄ είναι ομοιόθετο του ΑΒ με κέντρο Ο και λόγο
λ = τότε: Α΄΄Β΄΄ = · ΑΒ ή

Το ομοιόθετο γωνίας

Για να βρούμε το ομοιόθετο μιας γωνίας xÂy με κέντρο Ο και λόγο ένα θετικό αριθμό λ (π.χ. λ = 2), παίρνουμε ένα σημείο Β στην πλευρά Αx, ένα σημείο Γ στην πλευρά Αy και βρίσκουμε τα σημεία Β΄, Α΄, Γ΄ που είναι αντιστοίχως τα ομοιόθετα των Β, Α, Γ. Ορίζεται έτσι η γωνία x΄Â΄y΄, που είναι ομοιόθετη της γωνίας xÂy. Αν συγκρίνουμε τις δύο γωνίες διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες, δηλαδή xÂy = x΄Â΄y΄. Επομένως

Οι ομοιόθετες γωνίες είναι ίσες.

Το ομοιόθετο πολυγώνου

Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ = 2, το ομοιόθετο ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄, όπου Α΄, Β΄, Γ΄, Δ΄ είναι αντιστοίχως τα ομοιόθετα των κορυφών του Α, Β, Γ, Δ. Οι πλευρές και οι γωνίες του τετραπλεύρου Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι ομοιό θετες με τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες του ΑΒΓΔ, οπότε ισχύουν:

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με λόγο λ = 2 είναι μεγέθυνση του ΑΒΓΔ.

Αν Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ είναι το ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και λόγο λ = ομοίως ισχύουν:

Το τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με λόγο λ = είναι σμίκρυνση του ΑΒΓΔ.

Γενικά

Δύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
Οι αντίστοιχες πλευρές δύο ομοιόθετων πολυγώνων που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες.
Αν το πολύγωνο Π΄ είναι ομοιόθετο του Π με λόγο λ, τότε το Π΄ είναι
- μεγέθυνση του Π, όταν λ > 1
- σμίκρυνση του Π, όταν 0 < λ < 1 και
- ίσο με το Π, όταν λ = 1.

Το ομοιόθετο κύκλου

Για να βρούμε το ομοιόθετο ενός κύκλου (Κ, ρ) με κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο ένα θετικό αριθμό λ (π.χ. λ = 2), βρί- σκουμε το ομοιόθετο του κέντρου Κ και το ομοιόθετο ενός σημείου Α του κύκλου, που είναι τα σημεία Κ΄ και Α΄ αντιστοίχως. Ορίζεται έτσι ένας κύκλος (Κ΄, ρ΄), όπου ρ΄ = Κ΄Α΄, που είναι ομοιόθετος του κύκλου (Κ, ρ). Το ευθύγραμμο τμήμα Κ΄Α΄ είναι ομοιόθετο του ΚΑ με κέντρο Ο και λόγο λ = 2, οπότε Κ΄Α΄ = 2·ΚΑ, δηλαδή ρ΄ = 2ρ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Με κέντρο ομοιοθεσίας ένα εσωτερικό σημείο Ο τετραγώνου ΑΒΓΔ, πλευράς 1,5 cm και λόγο λ = 3, να σχεδιαστεί το ομοιόθετο του και να αποδειχτεί ότι είναι τετράγωνο.

Λύση

Στις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ παίρνουμε αντιστοίχως τα τμήματα ΟΑ΄ = 3 ΟΑ, ΟΒ΄ = 3·ΟΒ, ΟΓ΄ = 3·ΟΓ, ΟΔ΄ = 3·ΟΔ. To τετρά- πλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και λόγο λ = 3, οπότε:

Άρα, Α΄Β΄ = 3·ΑΒ = 3·1,5 = 4,5 cm. Ομοίως έχουμε Β΄Γ΄ = Γ΄Δ΄ = Δ΄Α΄ = 4,5 cm Επειδή τα ομοιόθετα σχήματα έχουν τις αντίστοιχες γωνίες του ίσες, το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ θα έχει τις γωνίες του ορθές. Επομένως το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι τετράγωνο, αφού έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές. Άρα

Το ομοιόθετο ενός τετραγώνου είναι τετράγωνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο

α) λ = 5 το ομοιόθετο του Α είναι το ....

β) λ = 2 το ομοιόθετο του Β είναι το .....

γ) λ = το ομοιόθετο του Γ είναι το .....

δ) λ = το ομοιόθετο του Ε είναι το .....

Σε ποια από τα παρακάτω σχήματα τα πολύγωνα είναι ομοιόθετα;

εικονα

Να συμπληρώσετε τον πίνακα της επόμενης σελίδας:

εικονα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 3 cm.

α) Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Α και λόγο: i) λ = ii) λ = 2.

β) Να υπολογίσετε τις πλευρές των τετραγώνων που σχεδιάσατε.

Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με κάθετες πλευρές ΑΒ = 12 cm και ΑΓ = 9 cm. Με κέντρο την κορυφή Α και λόγο λ = να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ και να υπολογίσετε τις πλευρές του.

Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος με κέντρο ένα οποιοδήποτε σημείο Ο εκτός του τριγώνου και λόγο λ = 3. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του νέου τριγώνου.

Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο ενός κύκλου (Ο, ρ) με κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο λ = 3. Να αποδείξετε ότι ο νέος κύκλος θα έχει τριπλάσιο μήκος και εννεαπλάσιο εμβαδόν.

Να τοποθετήσετε στο σχήμα τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, Ρ αν γνωρίζετε ότι:

- Το Κ είναι ομοιόθετο του Α με κέντρο Γ και λόγο .

- Το Α είναι ομοιόθετο του Λ με κέντρο Κ και λόγο 2.

- Το ΛΜ είναι ομοιόθετο του ΑΒ με κέντρο Γ και λόγο .

- Το ΑΒ είναι ομοιόθετο του ΚΝ με κέντρο Γ και λόγο 3

Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ. Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με λόγο 2 και κέντρο ομοιοθεσίας:

α) το σημείο Κ

β) το σημείο Α

γ) ένα εξωτερικό σημείο του παραλληλογράμμου.

Να συγκρίνετε τα τρία ομοιόθετα σχήματα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

Σ΄ ένα τετραγωνισμένο χαρτί να χαράξετε ένα σύστημα αξόνων και να πάρετε τα σημεία Α(-1, 1), Β(2, 2) και Γ(0, -2).

α) Να σχεδιάσετε τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ ομοιόθετο του ΑΒΓ με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο λ = 2. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Με ποια σχέση συνδέονται οι συντεταγμένες των κορυφών των δύο τριγώνων;

β) Να σχεδιάσετε τρίγωνο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄ ομοιόθετο του ΑΒΓ με κέντρο το σημείο Κ(1, 1), λόγο λ = 2 και να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Ισχύει η ανάλογη σχέση για τις συντεταγμένες των κορυφών αυτών των τριγώνων;

Στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ να ορίσετε τα σημεία Δ, Ε αντιστοίχως, ώστε ΑΔ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ // ΒΓ και ΔΕ = ΒΓ.

Να κατασκευάσετε το ομοιόθετο του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ στην ομοιοθεσία κατά την οποία τα σημεία Α΄, Β΄ είναι ομοιόθετα των κορυφών Α, Β αντιστοίχως.