- Μαθαίνω να σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
y = αx2 + βx + γ με α ≠ 0
Οι συναρτήσεις y = x2 και y = -x2, που γνωρίσαμε στην προηγούμενη παράγραφο, όπως και οι συναρτήσεις y = 3x2 - 1,
y = -2x2 + 8x, y = x2 - 4x + 3 κ.τ.λ., ονομάζονται τετραγωνικές συναρτήσεις.
Γενικά
Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής
y = αx2 + βx + γ με α ≠ 0.
Αν έχουμε μία τετραγωνική συνάρτηση, όπως την y = x2 - 4x + 3 και θέλουμε να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση, κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της για διάφορες τιμές του x.
 
Σ´ένα σύστημα αξόνων
παριστάνουμε με
σημεία τα ζεύγη του
προηγούμενου πίνακα
και σχεδιάζουμε μια
καμπύλη που διέρχεται
από τα σημεία αυτά.
Στο ίδιο σύστημα αξόνων σχεδιάζουμε την
παραβολή y = x2, την
αποτυπώνουμε σ´ένα
διαφανές χαρτί και τη
μετακινούμε οριζόντια
προς τα δεξιά κατά 2
μονάδες και κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 1 μονάδα. Διαπιστώνουμε ότι η παραβολή αυτή συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2 - 4x + 3.
Άρα η γραφική παράστασης της y = x2 - 4x + 3 είναι επίσης παραβολή, με κορυφή το σημείο Κ(2, -1) και άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία x = 2.
Γενικά
H γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx2 + βx + γ με α ≠ 0 είναι παραβολή με:
-
Κορυφή το σημείο
 , όπου Δ = β2 - 4αγ και
-
Άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που
διέρχεται από την κορυφή Κ και έχει εξίσωση
Στο προηγούμενο παράδειγμα από τον πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση διαπιστώσαμε ότι η παραβολή y = x2 - 4x + 3 έχει κορυφή το σημείο Κ(2, -1) και άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 2.
Στο ίδιο συμπέρασμα
καταλήγουμε και από
την
προηγούμενη πρόταση,
 Ομοίως, η γραφική παρά-
σταση της συνάρτησης
y = -x2 - 2x + 3 είναι η
παραβολή y = -x2 μετατοπισμένη παράλληλα προς
τους άξονες, έχει κορυφή το σημείο Κ(-1, 4) και άξονα συμμετρίας την ευθεία
x = -1, αφού
Από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
y = x2 - 4x + 3 και y = -x2 -2x + 3, που σχεδιάσαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, παρατηρούμε ακόμη ότι:
− Η συνάρτηση y = x2 - 4x + 3 που έχει α > 0 και γραφική παράσταση παραβολή με κορυφή το σημείο Κ(2, -1) παίρνει ελάχιστη τιμή y = -1, όταν x = 2.
− Η συνάρτηση y = -x2 - 2x + 3 που έχει α < 0 και γραφική παράσταση παραβολή με κορυφή το σημείο Κ(-1, 4) παίρνει μέγιστη τιμή y = 4, όταν x = -1.
Γενικά
- Αν α > 0, η συνάρτηση y = αx2 + βx + γ παίρνει ελάχιστη τιμή ,
- Αν α < 0, η συνάρτηση y = αx2 + βx + γ παίρνει
μέγιστη τιμή ,
|
1
Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2 - 2 και να βρεθούν τα κοινά της σημεία με τον άξονα x΄x.
Λύση
H συνάρτηση y = x2 - 2 είναι της μορφής y = αx2 + βx + γ με α = 1, β = 0 και γ = -2, οπότε έχουμε
 Άρα η γραφική της παρά-
σταση είναι παραβολή με
κορυφή το σημείο Κ(0, -2)
και άξονα συμμετρίας την
ευθεία x = 0, δηλαδή τον
άξονα y΄y. Για τον ακριβέστερο σχεδιασμό της παρα-
βολής προσδιορίζουμε
μερικά ακόμη σημεία της.
Για να βρούμε τα κοινά σημεία της παραβολής
y = x2 - 2 με τον άξονα x΄x θέτουμε y = 0 (τα σημεία του άξονα x΄x έχουν τεταγμένη 0) και έχουμε x2 - 2 = 0 ή
x2 = 2, οπότε x =√2 ή x = -√2 . Άρα, τα κοινά σημεία της
παραβολής και του άξονα x΄x είναι τα
A( -√2 , 0) και B( √2, 0).
Παρατήρηση
 Η παραβολή y = x2 - 2,
που έχει κορυφή το
σημείοΚ(0, -2), μπορεί
να προκύψει και με
κατακόρυφη μετατόπιση
της παραβολής y = x2
προς τα κάτω κατά 2
μονάδες (δεν υπάρχει
οριζόντια μετατόπιση,
γιατί η τετμημένη της
κορυφής είναι 0).
Ομοίως, η παραβολή
y = x2 + 2, που έχει
κορυφή το σημείο Κ(0, 2) μπορεί να προκύψει και με κατακόρυφη μετατόπιση της παραβολής y = x2 προς τα πάνω κατά 2 μονάδες (δεν υπάρχει οριζόντια μετατόπιση, γιατί η τετμημένη της κορυφής είναι 0).
2
Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = (x - 2)2 και να βρεθεί το κοινό της σημείο με τον άξονα y΄y.
Λύση
H συνάρτηση y = (x - 2)2 γράφεται y = x2 - 4x + 4 και είναι της μορφής y = αx2+ βx+ γ με α = 1, β = -4 και γ = 4, οπότε έχουμε:
 Άρα, η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή το σημείο Κ(2, 0) και άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 2.
Για τον ακριβέστερο σχεδιασμό της παραβολής προσδιορίζουμε μερικά ακόμη σημεία της.
Για να βρούμε το κοινό σημείο της παραβολής
y = (x - 2)2 με τον άξονα y΄y, θέτουμε x = 0 (τα σημεία του άξονα y΄y έχουν τετμημένη 0), οπότε έχουμε
y = (0 - 2)2 = 4. Άρα, το κοινό σημείο της παραβολής με τον άξονα y΄y είναι Α(0, 4).
 Παρατήρηση:
Η παραβολή y = (x - 2)2, που έχει κορυφή το σημείο
Κ(2, 0), μπορεί να προκύψει και με οριζόντια μετατόπιση της παραβολής y = x2 προς τα δεξιά κατά 2 μονάδες (δεν υπάρχει κατακόρυφη μετατόπιση, γιατί η τεταγμένη της κορυφής είναι 0).
Ομοίως, η παραβολή y = (x + 1)2, που έχει κορυφή το σημείο Κ(-1, 0), μπορεί να προκύψει και με οριζόντια μετατόπιση της παραβολής y = x2 προς τα αριστερά κατά 1 μονάδα (δεν υπάρχει κατακόρυφη μετατόπιση, γιατί η τεταγμένη της κορυφής είναι 0).
3
Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2 - 4x και να προσδιοριστούν οι τιμές του x για τις οποίες είναι y < 0.
Λύση
H συνάρτηση y = x2 - 4x είναι της μορφής
y = αx2 + βx + γ με α = 1, β = -4 και γ = 0, οπότε έχουμε
Άρα, η γραφική της παρά-
σταση είναι παραβολή με
κορυφή το σημείο Κ(2, -4)
και άξονα συμμετρίας την
ευθεία x = 2.
Για τον ακριβέστερο σχεδιασμό της παραβολής
προσδιορίζουμε μερικά
ακόμη σημεία της.
 
Σχεδιάζουμε την παραβολή και παρατηρούμε ότι
τα σημεία της που έχουν
τεταγμένη y αρνητική
είναι εκείνα που έχουν τετμημένη x μεταξύ των αριθμών 0 και 4. Άρα, είναι y < 0, όταν 0 < x < 4.
|
1
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2 - 2x - 3. Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις.
 α) Η γραφική παράσταση
είναι ………………… με
κορυφή το σημείο …………
και άξονα συμμετρίας την
ευθεία ………………
β) Η συνάρτηση αυτή
παίρνει …………… τιμή
y =…………… , όταν
x = ………………
γ) Η γραφική παράσταση
τέμνει τον άξονα x΄x στα
σημεία ……………… ,
………………… και τον
άξονα y΄y στο
σημείο………………. .
2
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Η παραβολή
y = 4x2 + 2 έχει:
i) Κορυφή το σημείο
α) (4, 2)
β) (0, 4)
γ) (0, 2)
δ) (2, 0)
ii) Άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση
α) x = 2
β) y = 0
γ) x = 0
δ) y = 2
4
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή την εξίσωσή της.
5
Ορισμένες τιμές της συνάρτησης y = αx2 + βx + γ με α < 0 φαίνονται στον πίνακα.
Να συμπληρώσετε τα κενά σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις:
α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία …………………… και κορυφή το σημείο …………
β) Η συνάρτηση αυτή παίρνει μέγιστη τιμή y = ……, όταν x = …………
γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα x΄x στα σημεία ……………… , ……………… και τον άξονα y΄y στο σημείο …………………
|
1
Να σχεδιάσετε τις παραβολές:
α) y = x2 + 2x - 3 β) y = -2x2 + 4x + 6
2
Να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή κάθε συνάρτησης:
α) y = 3x2 - 12x + 11 β) y = -4x2 -8x + 1
γ) y = -2(x - 6)2 + 7
3
Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = xx2 + 2x για -4 ≤ x ≤2 και με τη βοήθεια αυτής να βρεθούν οι τιμές του x, για τις οποίες ισχύει x2 + 2x = 3.
4
Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x2 - 2x + 2 και με τη βοήθεια αυτής να αποδείξετε ότι x2 + 2 > 2x για κάθε πραγματικό αριθμό x.
5
Δίνεται η συνάρτηση y = x2 + 3x + λ.
α) Για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού λ το σημείο Α(1, 6) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης;
β) Αν λ = 2, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για -4 ≤ x ≤ 1 και να βρείτε τα κοινά της σημεία με τους άξονες.
6
Να σχεδιάσετε την παραβολή y = x2 - 6x + 5. Αν Α, Β, Γ είναι τα κοινά της σημεία με τους άξονες, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
7
Να βρείτε τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση y = x2 + βx + γ για x = 4 να παίρνει ελάχιστη τιμή την y = -7.
8
 Ένας ποδοσφαιριστής έδιωξε την μπάλα από το σημείο Ο, η οποία αφού διέγραψε μια παραβολική τροχιά με μέγιστο ύψος 10 m έφτασε σε απόσταση 40 m.
α) Να αποδείξετε ότι η παραβολή έχει εξίσωση
 , με 0 ≤ x≤ 40.
β) Ποια ήταν η απόσταση της μπάλας από το έδαφος, όταν αυτή βρισκόταν στο σημείο Μ, που έχει τετμημένη 30 και σε ποιο άλλο σημείο της τροχιάς η μπάλα απείχε από το έδαφος την ίδια απόσταση;
|
1
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 9y2 = 4x4 παριστάνει δύο παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα x΄x, τις οποίες και να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων.
2
Να βρείτε την τιμή του α, ώστε οι εξισώσεις
y = (2α - 1)x2 και y = (1 - 4α2)x2 να παριστάνουν παραβολές συμμετρικές ως προς τον άξονα x΄x.
3
Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = -x2, y = 2x - 3 και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων.
4
Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής, που έχει κορυφή το σημείο Κ(2, -3) και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Α(0, 5).
5
Το άθροισμα των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ( Â = 90º) είναι 10 cm.
α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν y του ορθογωνίου τριγώνου ως συνάρτηση της πλευράς του ΑΒ = x είναι 
β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
γ) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν γίνεται μέγιστο, όταν το ορθογώνιο τρίγωνο είναι και ισοσκελές.
6
 Ένα κατάστημα σχήματος ορθογωνίου αρχικά
σχεδιάστηκε, να κατασκευαστεί με
μήκος 6 m και πλάτος 3 m. Η αρχιτέκτων όμως, προκειμένου να
μεγαλώσει τη βιτρίνα του
καταστήματος σκέφτηκε να
μειώσει το μήκος του και ταυτόχρονα να αυξήσει το πλάτος του
6 m κατά τα ίδια μέτρα.
Ποια πρέπει να είναι η μεταβολή
κάθε διάστασης, ώστε το εμβαδόν
να γίνει μέγιστο;
7
Σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 10 cm παίρνουμε σημείο Μ και κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΜΓΔ και ΒΜΕΖ. Πού πρέπει να βρίσκεται το σημείο Μ, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων να γίνει ελάχιστο;
8
 Από το μπαλκόνι ενός σπιτιού
και από ύψος 6 m από το έδαφος
πετάμε μία μπάλα, η οποία διαγράφει παραβολική τροχιά με
μέγιστο ύψος από το έδαφος 8 m,
όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η
μπάλα προσκρούσει στο έδαφος
σ´ένα σημείο που απέχει 6 m
από το πεζοδρόμιο, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς της μπάλας στο σύστημα αξόνων που φαίνεται στο
σχήμα είναι 
β) Ποια ήταν η απόσταση της μπάλας από το σημείο ρίψης όταν κατά την κάθοδο της βρισκόταν και πάλι σε ύψος 6 m από το έδαφος;
9
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται
η κάθετη τομή μιας σήραγ-
γας που κατασκευάστηκε
σε σχήμα παραβολής με
μέγιστο πλάτος ΑΒ = 16 m
και μέγιστο ύψος ΟΓ = 6 m.
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της παραβολής στο σύστημα αξόνων του σχήματος είναι
β) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος ενός φορτηγού που μπορεί να διασχίσει τη σήραγγα, όταν το πλάτος του φορτηγού είναι 3,2 m και ο δρόμος είναι μιας κατεύθυνσης.
|
|
α) Η συνάρτηση y = αx2 με α ≠ 0
β) Η συνάρτηση y = αx2 + βx + γ με α ≠ 0
|
|
