Μαθηματικά (Γ Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Θυμάμαι τι ονομάζεται συνάρτηση και τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
Μαθαίνω να σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx² με α ≠ 0.
Μαθαίνω να βρίσκω τον τύπο της συνάρτησης y = αx² από τη γραφική της παράσταση.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:
− Ο αριθμός y που είναι ίσος με το τετράγωνο ενός αριθμού x είναι y = …………………
− To εμβαδόν y ενός ορθογωνίου με πλάτος x και διπλάσιο μήκος είναι y = …………………
− To εμβαδόν y ενός κυκλικού δίσκου με ακτίνα x είναι y = …………………

2. Στην πρώτη πρόταση, όταν ο x πάρει τις τιμές -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ποιες είναι οι αντίστοιχες τιμές του y;

3. Σε τετραγωνισμένο χαρτί να παραστήσετε με σημεία τα ζεύγη (x, y) που προσδιορίσατε και να σχεδιάσετε την καμπύλη που διέρχεται από τα σημεία αυτά.

Η συνάρτηση y = αx² με α > 0

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε ότι μια ισότητα που συνδέει δύο μεταβλητές x, y καθορίζει μια διαδικασία, η οποία είναι συνάρτηση, όταν σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μια μόνο τιμή του y. Για παράδειγμα,η ισότητα y = x2 καθορίζει μια συνάρτηση, αφού σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή του y.

Π.χ. Για x = 1 έχουμε y = 1² = 1,

για x = 2 έχουμε y = 2² = 4 κ.τ.λ.

Σ´ ένα σύστημα αξόνων, αν παραστήσουμε με σημεία τα ζεύγη (x, y), όπου y είναι η αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης για μια τιμή του x, τότε το σύνολο αυτών των σημείων αποτελεί τη γραφική παράστασή της.

Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x² κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της για διάφορες τιμές του x

. εικόνα

Σ´ ένα σύστημα αξόνων παριστάνουμε με σημεία τα ζεύγη του προηγούμενου πίνακα και σχεδιάζουμε την καμπύλη που διέρχεται από τα σημεία αυτά. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται παραβολή και είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x².

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι:

− Η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) και βρίσκεται από τον άξονα x΄x και πάνω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y > 0.
− H συνάρτηση y = x² παίρνει ελάχιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.
− Για x = -3 ή x = 3 έχουμε y = 9 και τα σημεία (-3, 9) και (3, 9) της παραβολής είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y.Γενικά σε αντίθετες τιμές του x αντιστοιχεί η ίδια τιμή του y, που σημαίνει ότι η παραβολή y = x² έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

Η συνάρτηση y = αx² με α > 0

Με τον ίδιο τρόπο σχεδιάζουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
y = -x², η οποία είναι επίσης μια παραβολή.

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι:

− Η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) και βρίσκεται από τον άξονα x΄x και κάτω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y

− H συνάρτηση y = -x² παίρνει μέγιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.

− Σε αντίθετες τιμές του x αντιστοιχεί η ίδια τιμή του y, που σημαίνει ότι η παραβολή y = -x² έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

Γενικά

Η συνάρτηση y = αx² με α≠ 0.

εικόνα

Στα παρακάτω σχήματα έχουμε σχεδιάσει την παραβολή y = αx² για διάφορες τιμές του αριθμού α. Παρατηρούμε ότι:

α) Ο συντελεστής α δεν καθορίζει μόνο τη θέση της παραβολής y = αx² ως προς τον άξονα x΄x, αλλά καθορίζει και το «άνοιγμα» της. Όταν η απόλυτη τιμή του α αυξάνεται, τότε η παραβολή «κλείνει».

Στο ίδιο σύστημα αξόνων παριστάνουμε τις εξισώσεις του συστήματος με δύο ευθείες ε1, ε2.

β) Αν σχεδιάσουμε τις παραβολές y = 2x² και y = -2x² στο ίδιο σύστημα αξόνων, τότε εικόνα παρατηρούμε ότι είναι συμμετρικές ως προς άξονα συμμετρίας τον x΄x.

Γενικά:

Οι παραβολές y = αx² και y = -αx² είναι συμμετρικές ως προς άξονα συμμετρίας τον x΄x.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η παραβολή y = αx² να διέρχεται από το σημείο Α (-1, 3).

Λύση

Για να διέρχεται η παραβολή y = αx² από το σημείο Α(-1, 3), πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου Α, να επαληθεύουν την εξίσωση y = αx². Άρα, για x = -1 και y = 3, έχουμε 3 = α (-1)², οπότε α = 3.

Να σχεδιαστεί η παραβολή y = -2x² όταν -2 ≤ x≤ 2 και να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή που παίρνει η μεταβλητή y. Ποια σημεία της παραβολής έχουν τεταγμένη

Λύση

Σχηματίζουμε πίνακα τιμών της συνάρτησης y = -2x².

εικόνα

Με τη βοήθεια των τιμών αυτών σχεδιάζουμε την παραβολή. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι, για όλες τις τιμές του x, από το -2 έως και το 2 (-2 ≤ x ≤2) οι αντίστοιχες τιμές του y είναι από το -8 έως και το 0 (-8 ≤ y ≤ 0). Άρα, η μέγιστη τιμή του y είναι το 0, όταν x = 0 και η ελάχιστη τιμή του y είναι το -8, όταν x = -2 ή x = 2.

εικόνα

Από τη Φυσική είναι γνωστό ότι αν ένα σώμα κάνει ελεύθερη πτώση, τότε σε χρόνο t διανύει διάστημα S, που δίνεται από τον τύπο . Να σχεδιαστεί το διάγραμμα διαστήματος - χρόνου. ;

Λύση

Το διάστημα S για g = 10 m/sec² δίνεται από τον

τύπο

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης S = 5t² είναι παραβολή με κορυφή το σημείο 0(0, 0) και διέρχεται από τα σημεία (1, 5), (2, 20) κ.τ.λ.

Ο χρόνος όμως δεν παίρνει αρνητικές τιμές, οπότε το διάγραμμα του διαστήματος - χρόνου είναι το τμήμα της προηγούμενης παραβολής που βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Ποια από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην παραβολή y = -2x²;

εικόνα

Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις παίρνουν μέγιστη και ποιες ελάχιστη τιμή;

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α) H παραβολή y = 6x² έχει κορυφή το σημείο 0(0, 0).
β) Ο άξονας x΄x είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής y = x².
γ) ) Οι παραβολές y = 8x² και y = -8x² είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y΄y.
δ) Η συνάρτηση y = 3x² παίρνει ελάχιστη τιμή την y = 0.
ε) Η συνάρτηση y = -2x² παίρνει μέγιστη τιμή την y = 0
στ) Αν η παραβολή y = αx² διέρχεται από το σημείο Μ(-1, 2), τότε θα διέρχεται και από το σημείο Λ(1, 2).

Στο παρακάτω σύστημα αξόνων έχουμε σχεδιάσει ένα τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

α) Να ολοκληρώσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

β) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

Αν η παραβολή y = αx2 διέρχεται από το σημείο Μ(2, -4), τότε:

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παραβολή την εξίσωσή της.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να σχεδιάσετε τις παραβολές:

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις παραβολές:

Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του παρακάτω σχήματος. Να σχεδιάσετε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα x΄x και να γράψετε την εξίσωσή της.

Να βρείτε τα σημεία της παραβολής y = -4x² που έχουν τεταγμένη -9.

Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η παραβολή y = (λ + 2)x2 να διέρχεται από το σημείο

Αν η συνάρτηση εικόνα παίρνει μέγιστη τιμή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(2, λ), να βρείτε την τιμή του αριθμού λ.

Από τη Φυσική είναι γνωστό ότι η κινητική ενέργεια ενός σώματος που κινείται με ταχύτητα υ και έχει μάζα m δίνεται από τον τύπο

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας - ενέργειας για τρία σώματα που έχουν μάζες 1, 2 και 4 αντιστοίχως.

β) Αν τα σώματα έχουν την ίδια κινητική ενέργεια Ε_κ = 2, τότε από το διάγραμμα να προσδιορίσετε ποιο από τα τρία σώματα έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα.

γ) Αν τα σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα τότε από το διάγραμμα να προσδιορίσετε, ποιο από τα τρία σώματα έχει τη μεγαλύτερη ενέργεια.