Μαθηματικά (B Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

1.1.	Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

Εικόνα

Δίνονται δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με κάθετες πλευρές 5 cm και ένα τετράγωνο πλευράς 5 cm.

α) Μπορείτε χρησιμοποιώντας τα τρία αυτά σχήματα να κατασκευάσετε:

i) Ένα ορθογώνιο πλάτους 10 cm και ύψους 5 cm;

ii) Ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου οι κάθετες πλευρές είναι 10 cm;

iii) Ένα ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις 5 cm και 15 cm;

β) Τι έκταση καταλαμβάνουν τα παραπάνω σχήματα στο επίπεδο, αν θεωρήσουμε ως μονάδα μέτρησης το τετραγωνάκι πλευράς 1 cm;

Λύση

α) Έχουμε τα παρακάτω σχήματα:

β) Μετρώντας τα τετραγωνάκια πλευράς 1 cm βρίσκουμε ότι το ορθογώνιο καταλαμβάνει έκταση 50, το τραπέζιο 50 και το ορθογώνιο τρίγωνο πάλι 50. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι τα τρία νέα σχήματα που προκύπτουν, παρόλο που είναι διαφορετικά μεταξύ τους, καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στο επίπεδο, γιατί αποτελούνται ακριβώς από τα ίδια στοιχεία: το τετράγωνο και τα δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.

Για να δηλώσουμε ότι τα τρία αυτά σχήματα που κατασκευάσαμε, καταλαμβάνουν την ίδια έκταση στο επίπεδο, λέμε ότι έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Για να μετρήσουμε το εμβαδόν, πρέπει πρώτα να επιλέξουμε μία μονάδα μέτρησης. Αν, αρχικά, επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης το ένα από τα δύο ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα, τότε τα τρία νέα σχήματα έχουν εμβαδόν 4.

Αν επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης το τετραγωνάκι πλευράς 1 cm, τότε, όπως είδαμε, θα έχουν εμβαδόν 50.

Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρησης επιφανειών που χρησιμοποιούμε.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδού:

Λύση:

α) Μετρώντας τα τετραγωνάκια που υπάρχουν μέσα σε

κάθε σχήμα παρατηρούμε ότι είναι 71. Άρα Ε = 71.

Εικόνα

β) Αφού κάθε τριγωνάκι έχει το μισό εμβαδόν από κάθε

τετραγωνάκι , τα δύο εμβαδά με μονάδα μέτρησης το

θα είναι 2 • 71 = 142. Άρα Ε = 142.

γ) Αφού κάθε έχει το διπλάσιο εμβαδόν από κάθε

τετραγωνάκι , τα δύο εμβαδά με μονάδα μέτρησης το

θα είναι . Άρα Ε = 35,5.

Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων Α, Β, Γ χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το .

Τι παρατηρείτε;

Λύση:

Βρίσκουμε ότι τα εμβαδά των Α, Β, Γ είναι Α: 25, Β: 12,5, Γ: 37,5.

Επομένως, παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του Γ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών Α και Β, κάτι που γίνεται φανερό αν «ενώσουμε» κατάλληλα τα σχήματα Α και Β.

Εικόνα

Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

Εικόνα

Να υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα παρακάτω σχήματα χρησιμοποιώντας ως μονάδα εμβαδού το .

Τι παρατηρείτε;

Εικόνα

3.	Δίνονται τέσσερα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με ίσες κάθετες πλευρές: α) Χρησιμοποιώντας μόνο τα δύο τρίγωνα να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο και ένα τετράγωνο. β) Χρησιμοποιώντας και τα 4 τρίγωνα, (μια φορά το καθένα) να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο και ένα τραπέζιο.

Στο παρακάτω σχήμα χρησιμοποιήσαμε 12 σπίρτα για να σχηματίσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με 9 τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου!

Aν τοποθετήσουμε, όμως, με διαφορετικό τρόπο τα 12 αυτά σπίρτα, μπορούμε να σχηματίσουμε σχήματα με άλλο εμβαδόν. Για παράδειγμα, το παρακάτω σχήμα (σταυρός) έχει εμβαδόν ίσο με 5 τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου.

Μπορείτε να τοποθετήσετε με άλλο τρόπο τα 12 αυτά σπίρτα, ώστε να προκύψουν σχήματα με εμβαδά 8, 7, 6, 4, 3 τετράγωνα πλευράς ενός σπίρτου;