Μαθηματικά (B' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή
A4.1: Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα A4.3: Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
4.2. Γραφικές παραστάσεις

 

Εικόνα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Μια δισκογραφική εταιρεία προσπαθεί να επεκτείνει τις πωλήσεις της σε εφήβους. Προτού να επενδύσει σε είδη μουσικής που προτιμούν οι μαθητές, αποφασίζει να κάνει μία έρευνα ανάμεσα σε 200 μαθητές που επέλεξε τυχαία απ' όλη την Ελλάδα. Ο υπεύθυνος, που έκανε την έρευνα, παρουσίασε στο διευθυντή της εταιρείας τις παρακάτω τρεις γραφικές παραστάσεις (διαγράμματα).

α) Πόσοι μαθητές προτίμησαν κάθε είδος μουσικής;

β) Σε ποια είδη μουσικής προτείνετε να επενδύσει η εταιρεία;

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι 60 μαθητές στους 200 προτιμούν λαϊκό τραγούδι, δηλαδή ποσοστό 30%. 40 μαθητές στους

200 προτιμούν το ροκ, δηλαδή ποσοστό 20%. 50 μαθητές στους 200 προτιμούν το δημοτικό τραγούδι, δηλαδή

ποσοστό 25%. 30 μαθητές στους 200 προτιμούν το ελαφρύ, δηλαδή ποσοστό 15%, ενώ 20 μαθητές στους 200

προτιμούν το Metal, δηλαδή ποσοστό 10%.

 

β) Η εταιρεία πρέπει να επενδύσει κατά σειρά προτεραιότητας στο λαϊκό, δημοτικό, ροκ, ελαφρύ και metal.

 

Εικόνα

Τέτοια διαγράμματα βλέπουμε καθημερινά στις εφημερίδες και τα περιοδικά, που παρουσιάζουν τα αποτελέσματα μιας έρευνας με τρόπο πιο παραστατικό και κατανοητό.

Ας δούμε μερικά διαγράμματα που χρησιμοποιούμε πιο συχνά:

 

Εικονογράμματα

Στα εικονογράμματα χρησιμοποιούμε την εικόνα ενός αντικειμένου για να δείξουμε πόσες φορές αυτό παρουσιάζεται στην έρευνά μας.

Σ' ένα τέτοιο διάγραμμα, βέβαια, πρέπει να υπάρχει ο τίτλος που μας κατατοπίζει για το είδος και τη μεταβλητή της έρευνας, η κλίμακα που δείχνει τον αριθμό των αντικειμένων που παριστάνει η εικόνα (π.χ. στο διπλανό εικονόγραμμα, κάθε CD παριστάνει 10 μαθητές) καθώς και ο τίτλος κάθε στήλης (π.χ. λαϊκό - ροκ - δημοτικό κ.τ.λ.)

 Εικόνα

Ραβδογράμματα

Στα ραβδογράμματα χρησιμοποιούμε ορθογώνια για να δείξουμε το πλήθος των μαθητών που δήλωσαν ότι προτιμούν ένα συγκεκριμένο είδος μουσικής.

Σ' ένα τέτοιο ραβδόγραμμα πρέπει, βέβαια, να υπάρχουν ο τίτλος του που μας κατατοπίζει για το είδος της έρευνας και οι τίτλοι των αξόνων.

Αυτοί οι τίτλοι αξόνων μας δείχνουν ότι ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τα είδη της μουσικής και ο κάθετος άξονας τον αριθμό των μαθητών.

Τα ραβδογράμματα, γενικά, σχεδιάζονται εύκολα και είναι πιο ακριβή από τα εικονογράμματα.

Τα ορθογώνια ενός ραβδογράμματος μπορεί να είναι τοποθετημένα οριζόντια, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πολλές φορές αντί για ορθογώνια, σχεδιάζουμε κάθετες γραμμές.

 

Εικόνα

Εικόνα

Κυκλικά διαγράμματα

Στα κυκλικά διαγράμματα μπορούμε να δούμε τι μέρος του δείγματος προτιμά κάθε είδος μουσικής.

Συγκεκριμένα, το δείγμα παριστάνεται με έναν κυκλικό δίσκο και οι τιμές της μεταβλητής με κυκλικούς τομείς διαφορετικού χρώματος.

Εικόνα

 

Πώς, όμως, υπολογίζουμε τη γωνία κάθε κυκλικού τομέα;

Επειδή έλαβαν μέρος στην έρευνα 200 άτομα και ο κύκλος έχει 360°, θα πρέπει τα 200 άτομα να αντιστοιχούν στις 360°.

Επομένως, τα 60 άτομα που δήλωσαν ότι προτιμούν το λαϊκό τραγούδι, θα πρέπει να αντιστοιχούν σε μία γωνία θ,

τέτοια ώστε :

Εικόνα

Επομένως έχουμε:

Εικόνα

 

Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε και τις υπόλοιπες γωνίες του κυκλικού διαγράμματος:

Εικόνα 

 

Για το ροκ: 

 Εικόνα

Εικόνα 

 

Για το δημοτικό: 

 Εικόνα

Εικόνα 

 

Για το ελαφρύ:  

 Εικόνα

Εικόνα 

 

Για το metal:

 		 Εικόνα

 

Χρονογράμματα

Τα χρονογράμματα είναι διαγράμματα, τα οποία χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε τη χρονική εξέλιξη ενός φαινομένου.

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να παραστήσουμε τα κέρδη μιας εταιρείας (σε χιλιάδες €) κατά τα έτη 1998 - 2004 (πίνακας 1), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω χρονόγραμμα.

Εικόνα
Εικόνα

 
1

Σε μια έρευνα που έγινε σε δείγμα 300 μαθητών σχετικά με το πλήθος των εξωσχολικών βιβλίων

που διάβασαν τον τελευταίο μήνα, προέκυψαν τα αποτελέσματα του διπλανού πίνακα.

Για τα δεδομένα αυτά να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα και εικονόγραμμα (με εικόνα Εικόνα=10 μαθητές).

Εικόνα

 

Λύση:
Εικόνα

Για το ραβδόγραμμα:

Στον οριζόντιο άξονα x'x τοποθετούμε τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4 της πρώτης στήλης του πίνακα και στον κατακόρυφο άξονα y'y τους αριθμούς 0 έως 110 (ανά 10).

Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε ορθογώνια με ίσες βάσεις και αντίστοιχα ύψη, ίσα με τους αριθμούς της δεύτερης στήλης του πίνακα.

Εικόνα

 

Εικόνα

Για το κυκλικό διάγραμμα:

Για να κατασκευάσουμε το κυκλικό διάγραμμα, πρέπει να υπολογίσουμε τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες. Το πλήθος των ατόμων του δείγματος (300 άτομα) αντιστοιχεί στις 360° του κύκλου.

Άρα:

- Για τους 50 μαθητές που δε διάβασαν κανένα βιβλίο έχουμε:

Εικόνα

οπότε:

Εικόνα

 

- Ομοίως, για τους 110 μαθητές που διάβασαν ένα βιβλίο έχουμε:

Εικόνα

 

- Για τους 80 μαθητές που διάβασαν 2 βιβλία:

Εικόνα

 

- Για τους 40 μαθητές που διάβασαν 3 βιβλία:

Εικόνα

 

- Για τους 20 μαθητές που διάβασαν 4 βιβλία:

Εικόνα

 

Με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμόνιου χωρίζουμε τον κύκλο σε κυκλικούς τομείς με επίκεντρες γωνίες 60°, 132°, 96°, 48° και 24° και συμπληρώνουμε τους τίτλους σε κάθε κυκλικό τομέα.
Εικόνα

 

Εικόνα

Για το εικονόγραμμα:

Αφού η εικόνα Εικόνα αντιστοιχεί σε 10 μαθητές :

 

– Για 50 μαθητές που δε διάβασαν κανένα βιβλίο,

θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 5 φορές την εικόνα 

Εικόνα

 

–Ομοίως, για τους 110 μαθητές που διάβασαν ένα βιβλίο, θα χρησιμοποιήσουμε Εικόνα φορές την εικόνα.

 

– Ομοίως, βρίσκουμε για 80 μαθητές, 8 φορές την εικόνα.

 

– Για 40 μαθητές, 4 φορές την εικόνα.

 

– Για 20 μαθητές, 2 φορές την εικόνα.

 

 

Εικόνα

 

 

 

 1.

Ρωτήσαμε μερικούς μαθητές ενός Γυμνασίου πόσες φορές πήγαν στον κινηματογράφο τον τελευταίο μήνα. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα.

Εικόνα

 

Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

 

 

Εικόνα
 
Α
Β
Γ
Δ
1. Το πλήθος των μαθητών που ρωτήθηκαν ήταν:
8
5
25
100
2. Πόσοι μαθητές πήγαν 3 φορές σε κινηματογράφο τον τελευταίο μήνα;
6
5
8
0
3. Πόσοι μαθητές πήγαν 5 φορές σε κινηματογράφο τον τελευταίο μήνα;
3
0
8
5
4. Πόσοι μαθητές πήγαν τουλάχιστον 2 φορές σε κινηματογράφο τον τελευταίο μήνα;
10
8
18
15
5. Πόσοι μαθητές πήγαν το πολύ 2 φορές σε κινηματογράφο τον τελευταίο μήνα;
10
8
18
15
6. Οι μαθητές που δεν πήγαν ούτε μία φορά σε κινηματογράφο τον τελευταίο μήνα αποτελούν ποσοστό:
3%
12%
10%
30%

 

 

 2.

Σε μία έρευνα ρωτήθηκαν 400 φίλαθλοι μιας πόλης ποια από τις τρεις ομάδες ποδοσφαίρου

της πόλης τους είναι η καλύτερη. Οι απαντήσεις τους φαίνονται στο διπλανό κυκλικό διάγραμμα.

Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Εικόνα
 
Α
Β
Γ
Δ
1. Τι ποσοστό αποτελούν οι οπαδοί της «κίτρινης καταιγίδας»; 25% 90% 30% 50%
2. Τι ποσοστό αποτελούν οι οπαδοί της «πράσινης λαίλαπας»; 35% 40% 90% 30%
3. Τι ποσοστό αποτελούν οι οπαδοί της «κόκκινης θύελλας»; 160% 35% 80% 25%
4. Πόσα άτομα υποστηρίζουν την «κίτρινη καταιγίδα»; 90 200 100 25
5. Η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στην «κόκκινη θύελλα» είναι: 126° 150° 160° 144°

 

 

 

 1.

Το παρακάτω εικονόγραμμα μας πληροφορεί για τον αριθμό των βιβλίων που πούλησε ένας εκδοτικός οίκος τα έτη 2000, 2001, 2002 και 2003.

Εικόνα

 

α) Να βρείτε πόσα βιβλία πουλήθηκαν κάθε έτος και πόσα συνολικά και τα τέσσερα έτη.

β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των συνολικών πωλήσεων που αντιπροσωπεύουν οι πωλήσεις που πραγματοποιήθηκαν το έτος 2002.

γ) Να μετατρέψετε το παραπάνω εικονόγραμμα σε χρονόγραμμα.

 2.

Με τη βοήθεια του παρακάτω εικονογράμματος (Εικόνα=12 μαθητές):

α) Να βρείτε πόσους μαθητές έχει συνολικά το Γυμνάσιο αυτό.

β) Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που προτιμούν το λεωφορείο.

γ) Να παραστήσετε τα δεδομένα με ραβδόγραμμα.

 

Εικόνα

 3.

Σε μία αποθήκη υπάρχουν τέσσερις τύποι κινητών τηλεφώνων Α, Β, Γ, Δ

σε ποσοστό 10%, 30%, 40%, 20% αντίστοιχα.

α) Να παραστήσετε τα δεδομένα με κυκλικό διάγραμμα.

β) Να βρείτε πόσα κινητά τηλέφωνα υπάρχουν από κάθε τύπο, αν ο συνολικός τους αριθμός είναι 400.

 4.

Ρωτήσαμε τους μαθητές ενός Γυμνασίου πόσες ημέρες απουσίασαν

από το σχολείο τον τελευταίο μήνα.

Οι απαντήσεις φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Εικόνα

α) Πόσοι μαθητές απουσίασαν 4 ημέρες;

Τι ποσοστό αποτελούν αυτοί οι μαθητές;

β) Να παραστήσετε τα δεδομένα του πίνακα με ραβδόγραμμα

και με κυκλικό διάγραμμα.

 5.

Δίνεται το διπλανό κυκλικό διάγραμμα:

α) Να βρείτε τη γωνία ω.

β) Να το μετατρέψετε σε εικονόγραμμα

Εικόνα

 6.

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τον αριθμό των λεπτών που μελετούν

κατά μέσο όρο ημερησίως, οι μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου ενός σχολείου.

Εικόνα

α) Να παραστήσετε τα δεδομένα του πίνακα με ένα ραβδόγραμμα.

β) Να βρείτε το ποσοστό (%) των μαθητών που μελετούν τουλάχιστον

90΄, καθώς και το ποσοστό των μαθητών που μελετούν το πολύ 120΄.