Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο - Βασικές γεωμετικές έννοιες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Δύο γωνίες xy και yz είναι εφεξής.

Οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Μπορείς να βρεις το άθροισμά τους;

Δύο γωνίες xy και yz είναι εφεξής. Οι μη κοινές πλευρές τους είναι κάθετες ημιευθείες.

Μπορείς να βρεις το άθροισμά τους;

Μικροπείραμα

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Εικόνα

Παραπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180^ο. Η κάθε μία από αυτές λέγεται παραπληρωματική της άλλης.

Συμπληρωματικές γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90^ο.
Η κάθε μία από αυτές λέγεται συμπληρωματική της άλλης.

Κατακορυφήν γωνίες ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες.

Μικροπείραμα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Δίνεται η γωνία x Εικόνα

y με μέτρο Εικόνα

= 72^ο. Να βρεθεί και να σχεδιαστεί η παραπληρωματική της.

Έστω ότι η παραπληρωματική της Εικόνα έχει μέτρο . Θα είναι τότε: , δηλαδή θα είναι: .

Για να σχεδιάσουμε την παραπληρωματική μιας γωνίας xy, προεκτείνουμε την πλευρά αυτής Οx προς το μέρος του Ο, οπότε έχουμε την ημιευθεία Οx΄, αντικείμενη της Οx. Έτσι σχηματίζεται η γωνία yx΄, που είναι παραπληρωματική της xy και έχει μέτρο το Εικόνα , ώστε να είναι: .

Μικροπείραμα

Δίνεται η γωνία x Εικόνα

y με μέτρο Εικόνα

= 33^ο. Να βρεθεί και να σχεδιαστεί η συμπληρωματική της.

Έστω ότι η συμπληρωματική της Εικόνα έχει μέτρο .

Θα είναι τότε Εικόνα ,

δηλαδή θα είναι: Εικόνα .

Για να σχεδιάσουμε τη συμπληρωματική μιας γωνίας xy φέρνουμε την ημιευθεία Οx΄Οx προς το μέρος του ημιεπιπέδου που βρίσκεται η Οy.

Έτσι σχηματίζεται η γωνία yx΄, που είναι συμπληρωματική της xy και έχει μέτρο το Εικόνα , ώστε να είναι: .

Μικροπείραμα

Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις οι γωνίες είναι κατακορυφήν και γιατί;

Εικόνα

Είναι κατακορυφήν

Διότι έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Δεν είναι κατακορυφήν

Διότι ή δεν έχουν κοινή κορυφή ή οι πλευρές τους δεν είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Να εξεταστεί με διαφανές χαρτί η σχέση δύο κατακορυφήν γωνιών.

Διαπιστώνουμε, λοιπόν ότι:

Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

Να δικαιολογηθεί γιατί δύο κάθετες ευθείες σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες.

Σχεδιάζουμε μια ορθή γωνία xy (με μέτρο = 90^ο) και προεκτείνουμε τις πλευρές της προς το μέρος της κορυφής της, οπότε έχουμε δύο κάθετες ευθείες x΄x και y΄y.

Επειδή οι γωνίες xy και x΄y΄ είναι κατακορυφήν, θα είναι ίσες, δηλαδή Εικόνα .

Oι γωνίες, όμως, x΄y και xy είναι παραπληρωματικές, άρα θα είναι: Εικόνα

Αλλά οι γωνίες x΄y και xy΄ είναι κατακορυφήν, οπότε: Εικόνα

Επομένως βλέπουμε ότι: Εικόνα .

Να υπολογιστούν οι γωνίες του σχήματος, εάν είναι Εικόνα

= 40^ο.

Επειδή οι γωνίες με μέτρα και είναι κατακορυφήν, επομένως θα είναι ίσες, δηλαδή Εικόνα . Οι γωνίες, όμως, με μέτρα και είναι παραπληρωματικές, άρα θα είναι: .

Αλλά οι γωνίες με μέτρα Εικόνα και είναι κατακορυφήν, οπότε: .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Τοποθέτησε ένα "x" στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Αν δύο γωνίες έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, τότε λέγονται:

Εικόνα Εφεξής γωνίες Διαδοχικές γωνίες Παραπληρωματικές γωνίες

Εικόνα Συμπληρωματικές γωνίες Κατακορυφήν γωνίες.

Να σχεδιάσεις μία γωνία 125^ο και μετά να βρεις και να σχηματίσεις την παραπληρωματική της.

Να βρεις τι είδους γωνία είναι η παραπληρωματική (α) μιας αμβλείας, (β) μιας ορθής και (γ) μιας οξείας γωνίας.

Να σχεδιάσεις μια γωνία 35^ο και μετά να βρεις και να σχηματίσεις τη συμπληρωματική της.

ΣΤΟ διπλανό σχήμα είναι Εικόνα

. Να συγκρίνεις τις γωνίες Εικόνα

και να δικαιολογήσεις το αποτέλεσμα της σύγκρισης.

Οι γωνίες Εικόνα και ‚ είναι παραπληρωματικές. Η είναι γνωστή και το μέτρο της δίνεται στον παρακάτω πίνακα. (α) Να σχεδιάσεις την , (β) να σχεδιάσεις και να μετρήσεις τη Εικόνα ‚ με το μοιρογνωμόνιο, (γ) να υπολογίσεις τη . Μετά να αντιγράψεις στο τετράδιο σου τον πίνακα και να τον συμπληρώσεις.