Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο - Βασικές γεωμετικές έννοιες

Β.1.5. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος γωνίας

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Ένας πατέρας και ο γιος του γυμνάζονται και κάνουν τις ίδιες ασκήσεις.
	Μπορείς να βρεις εάν οι γωνίες, που σχηματίζουν τα πόδια τους στην ίδια ακριβώς στάση που έχουν στο διπλανό σχήμα είναι ίσες; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου σχετικά με τη σύγκριση του ανοίγματος των ποδιών τους.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Η μέτρηση των γωνιών γίνεται με το μοιρογνωμόνιο.
Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση ονομάζεται μέτρο της γωνίας.
Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η μοίρα, που γράφεται: 1^ο.
Είναι: 1^ο = 60΄ (πρώτα λεπτά) και 1΄ = 60΄΄ (δεύτερα λεπτά).

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι:

Κάθε γωνία έχει μοναδικό μέτρο που εξαρτάται μόνο από το "άνοιγμα" των πλευρών της.
Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο είναι ίσες.
Στο εξής με ή θα συμβολίζουμε τη γωνία και το μέτρο της.

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Να γίνει σύγκριση δύο γωνιών με ένα διαφανές χαρτί.

Αποτυπώνουμε τη γωνία στο διαφανές χαρτί.
Τοποθετούμε το αποτύπωμα πάνω στη γωνία έτσι, ώστε το Ο να ταυτιστεί με το Κ και η πλευρά ΟΑ με τη ΚΛ. Τότε μία μόνο από τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις μπορεί να εμφανιστεί.

1η περίπτωση	2η περίπτωση	3η περίπτωση

Να συγκριθούν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές ίσες, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ. Με το διαφανές χαρτί συγκρίνουμε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες και .

	Διαπιστώνουμε ότι: Οι προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες είναι ίσες.
	Όπως κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα σημείο, το μέσο του, που το διαιρεί σε δύο ίσα μέρη, έτσι και κάθε γωνία έχει μία ημιευθεία στο εσωτερικό της, που τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

Δίνεται μια γωνία Εικόνα

. Να κατασκευαστεί η διχοτόμος της.

1ος τρόπος: Με το μοιρογνωμόνιο

Μετράμε τη γωνία Εικόνα και βρίσκουμε το μέτρο της . Σχεδιάζουμε μια ημιευθεία Οz, μέσα στη γωνία, ώστε να προκύψει η γωνία , που έχει την ίδια κορυφή Ο, κοινή πλευρά Οx και μέτρο .

Τότε και η γωνία Εικόνα θα έχει μέτρο:

Άρα η ημιευθεία Οz είναι η διχοτόμος της γωνίας, διότι τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

2ος τρόπος: Με δίπλωση χαρτιού

Σχεδιάζουμε τη γωνία σε ένα φύλλο χαρτιού σχεδίασης. Το διπλώνουμε με τέτοιο τρόπο, ώστε η ευθεία της τσάκισης να περάσει από την κορυφή της γωνίας και ταυτόχρονα η μία πλευρά της γωνίας να συμπέσει με την άλλη πλευρά της. Τότε η ευθεία της τσάκισης σχηματίζει με τις πλευρές της γωνίας δύο ίσες γωνίες, αφού με τη δίπλωση συνέπεσαν.

Άρα η ευθεία αυτή είναι η διχοτόμος της γωνίας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Από τι εξαρτάται το μέγεθος μιας γωνίας; (Τοποθέτησε ένα "x" στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση).

Από το "άνοιγμα" των πλευρών της	Από το μήκος των πλευρών
Και από τα δύο παραπάνω.

Σχεδίασε μια γωνία Εικόνα = 76^ο. Να γράψεις μια ημιευθεία Οz που να χωρίζει τη γωνία σε δύο γωνίες, από τις οποίες η μία να είναι 56^ο.

Σχεδίασε τις γωνίες Εικόνα

= 48^ο,

= 72^ο,

= 17^ο,

= 6^ο,

= 90^ο,

= 170^ο,

= 215^ο και Εικόνα

= 318^ο.

Να βρεις το μέτρο των παρακάτω γωνιών:

Εικόνα

Να συγκρίνεις τις γωνίες και να τις γράψεις κατά σειρά από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη.

Εικόνα

Με το διαφανές χαρτί να συγκρίνεις τις γωνίες:

Σχημάτισε γωνίες (α) 48^ο, (β) 72^ο και (γ) 144^ο και σχεδίασε τις διχοτόμους αυτών. Εικόνα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

	Σχεδίασε την πορεία μιας ακτίνας φωτός, η οποία προσπίπτει σε καθρέπτη και αντανακλάται.
	Σχεδίασε τη κίνηση μιας μπάλας μπιλιάρδου που κάνει μέχρι και τέσσερις ανακλάσεις στις πλευρές του μπιλιάρδου.