Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο - Βασικές γεωμετικές έννοιες

Β.1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Στο παρακάτω σχήμα, μεταξύ των διαδρομών ΑΒΓΔ και ΑΕΔ, να βρεθεί ποια διαδρομή από τις δύο είναι ο συντομότερος δρόμος, για να πάει κανείς από την πόλη Α στην πόλη Δ και στη συνέχεια να βρεθεί η διαφορά των διαδρομών αυτών;

Σκεφτόμαστε

(α)

Θεωρούμε τις ευθείες ε₁, και ε₂. Στην ευθεία ε₁ παίρνουμε, με τη βοήθεια του διαβήτη, διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ίσα με τις πλευρές της τεθλασμένης γραμμής ΑΒΓΔ, δηλαδή τα ΑΒ, ΒΓ και ΓΔ. Στην ευθεία ε₂ παίρνουμε με τον ίδιο τρόπο τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ και ΕΔ ίσα με τις πλευρές της τεθλασμένης γραμμής ΑΕΔ. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος, που προκύπτει από τη συνένωση των τμημάτων της ΑΒΓΔ αποτελεί το άθροισμα των τμημάτων της και επομένως το μήκος της γραμμής αυτής. Όμοια και για την ΑΕΔ. Συνεπώς, συγκρίνοντας τα παραπάνω μήκη, συμπεραίνουμε ότι η διαδρομή ΑΒΓΔ είναι μικρότερη από την ΑΕΔ.

(β)

Για να υπολογίσουμε τη διαφορά των δύο διαδρομών τοποθετούμε σε μια άλλη ευθεία ε₃ τμήμα ΚΛ, ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ, που ανήκει στην ευθεία ε₁ και τμήμα ΚΜ, ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ, που ανήκει στην ευθεία ε₂. Το ευθύγραμμο τμήμα ΛΜ είναι η διαφορά των δύο διαδρομών ΑΒΓΔ και ΑΕΔ.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

	Για να προσθέσουμε ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μια ευθεία. Το τμήμα που έχει άκρα την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου είναι το άθροισμά τους. Για να αφαιρέσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα, τα τοποθετούμε με κοινή αρχή στην ίδια ημιευθεία. Το τμήμα που αρχίζει από το τέλος του μικρότερου και καταλήγει στο τέλος του μεγαλύτερου αποτελεί τη διαφορά τους.
	Η τεθλασμένη γραμμή έχει μήκος το άθροισμα των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων, από τα οποία αποτελείται. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, είναι μικρότερο από το μήκος κάθε τεθλασμένης γραμμής με τα ίδια άκρα Α και Β. Το άθροισμα των πλευρών ενός ευθύγραμμου σχήματος, θα το λέμε περίμετρο του σχήματος.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να συγκρίνεις το μήκος της γραμμής ΑΒΓΔΕ με το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΖΗ, όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με όλες τις πλευρές ίσες, με 2,5 cm. Βρες στην ημιευθεία ΒΓ, με αρχή το σημείο Β, ένα σημείο Ε έτσι, ώστε το μήκος ΒΕ να ισούται με την περίμετρο του τριγώνου.

Μια τεθλασμένη γραμμή αποτελείται από πέντε διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα. Τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΖ είναι αντίστοιχα 16 mm, 9 mm, 12 mm,14 mm και 2 cm. Να βρεις το μήκος της τεθλασμένης ΑΖ.

Να βρεις το μήκος μιας τεθλασμένης γραμμής ΑΒΓΔΕ με πλευρές ΑΒ = 0,4 m, ΒΓ = 3 dm, ΓΔ = 50 cm και ΔΕ = 380 mm.

Να πάρεις σε μια ευθεία με τη σειρά τα σημεία Κ, Λ, Μ και Ν έτσι, ώστε: ΚΛ = 6 cm, ΚΜ = 16 cm και ΚΝ = 20 cm. Να βρεις τα μήκη των τμημάτων ΛΜ, ΛΝ και ΜΝ.

Σε μία ημιευθεία με αρχή το σημείο Ο παίρνουμε τα σημεία Α, Β, Γ και Δ έτσι ώστε να είναι: ΑΒ = 3 cm, ΒΔ =5,5 cm και ΑΓ = 4,6 cm. Να βρεθούν τα μήκη των τμημάτων: (α) ΑΔ, (β) ΒΓ, (γ) ΑΓ + ΓΔ και (δ) ΑΔ – ΔΒ.

Να πάρεις σε μια ευθεία με τη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ έτσι, ώστε: ΑΔ = 6 cm, ΑΒ = ΑΔ/6 και ΒΓ = ΑΔ/3. Να βρεις το μήκος του ΓΔ.

Να πάρεις σε μια ευθεία με τη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ έτσι, ώστε το ΒΓ να είναι κατά 4 cm μεγαλύτερο από το ΑΒ και κατά 3 cm μικρότερο από το ΓΔ. Αν είναι ΑΔ = 14 cm , να βρεις τα μήκη των ΒΓ και ΓΔ.

Να πάρεις σε μια ευθεία με σειρά τα σημεία Α, Β, Γ και Δ έτσι, ώστε να είναι: ΑΒ=2 cm, BΓ=1 cm και ΑΔ=5 cm. Να βρεις τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΒΔ και ΑΓ.

Πάρε σε μια ευθεία τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε έτσι, ώστε να είναι: ΑΒ = 2 cm, ΑΓ = 3 cm, ΓΔ = 1,5 cm και ΑΕ = 6,2 cm. Να βρεθούν τα μήκη των ΑΔ και ΓΕ.

Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 4,5 cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σημείο Κ, τέτοιο ώστε ΑΚ = 3 cm και ένα άλλο σημείο Λ, τέτοιο, ώστε να είναι ΒΛ = 3,5 cm. (α) Να βρεις το μήκος του ΚΛ, (β) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει να είναι ΚΛ = 11 cm; (γ) Να διερευνήσεις, σε ποιες περιπτώσεις το ΚΛ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 11 cm.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΠΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

Εικόνα

Γιατί το αεροπλάνο μπορεί να διανύσει μικρότερη απόσταση από το πλοίο, για να πάει από την Αθήνα στη Σάμο;