| Β.1.10. Απόσταση σημείου από ευθεία - Απόσταση παραλλήλων |
|
Στη Γεωμετρία, χρησιμοποιούμε την έννοια της απόστασης στις εξής περιπτώσεις:
– Απόσταση σημείου από σημείο, που είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος το οποίο τα ενώνει.
– Απόσταση σημείου από ευθεία.
– Απόσταση παραλλήλων ευθειών.
Ας αναζητήσουμε αυτή την έννοια στις παρακάτω δραστηριότητες.
|
|
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η |
|
|
Να βρεις σε ποιο σημείο του δημόσιου αγωγού νερού, στο παρακάτω σχεδιάγραμμα, πρέπει να γίνει η σύνδεση με το σημείο Α του σπιτιού, ώστε ο σωλήνας να έχει το μικρότερο δυνατό μήκος.
|
|
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η |
| |
Σε ποια από τις δύο σιδηροτροχιές (α και β) μπορεί να κινηθεί το τραίνο, χωρίς να εκτροχιαστεί; Μπορείς να δικαιολογήσεις την απάντησή σου;
|
|
| |
|
 |
-
Απόσταση του σημείου Α από την
ευθεία ε ονομάζεται το μήκος του
κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ΑΑΟ από το σημείο Α προς την ευθεία ε.
|
 |
-
Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος που είναι κάθετο στις δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σ' αυτές, π.χ. το ΑΒ.
|
 |
|
| |
| ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ |
 |
Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε. |
|
 |
 |
|
| |
Με τη βοήθεια του γνώμονα σχεδιάζουμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ από το Α προς την ευθεία ε. Με το υποδεκάμετρο μετράμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το βρίσκουμε π.χ. 2,6 cm. Άρα, η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε είναι, στην περίπτωση αυτή, 2,6 cm.
|
 |
Να βρεθεί σημείο της ευθείας ε, η απόσταση του οποίου από ένα σημείο Α εκτός αυτής να είναι η ελάχιστη. |
|
|
|
|
| |
| Από το σημείο Α φέρνουμε το κάθετο τμήμα ΑΑο στην ευθεία ε και συνδέουμε το σημείο Α με διάφορα σημεία Α1, Α2, Α3, Α4, Α5, Α6, Α7, Α8 και Α9 της ε.
Μετράμε τις αποστάσεις του Α από αυτά και παρατηρούμε ότι αυτές μεγαλώνουν συνεχώς όσο απομακρυνόμαστε αριστερά και δεξιά από το Αο, άρα η ελάχιστη απόσταση είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑο.
Επομένως το Αο, είναι το ζητούμενο σημείο και ονομάζεται ίχνος της κάθετης από το Α. |
 |
|
 |
Να σχεδιαστούν και να συγκριθούν τα ευθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από τα σημεία Α, Β και Γ
και εκφράζουν τις αποστάσεις των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2.
|
|
|
| |
| Φέρνουμε τις κάθετες ΑΔ, ΕΒΖ και ΗΓ από τα σημεία Α, Β και Γ στις ευθείες ε1 και ε2. Μετράμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΕΖ και ΗΓ και βρίσκουμε ότι είναι όλα μεταξύ τους ίσα. Άρα η απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2 είναι σταθερή και ίση με 2,5 cm. |
 |
|
 |
Να σχεδιαστούν δύο ευθείες ε1 και ε2 παράλληλες προς μια ευθεία ε, που να απέχουν από αυτή 3 cm. |
|
|
| |
| Σε τυχαίο σημείο Μ της ε σχεδιάζουμε ευθεία δ κάθετη στην ε. Πάνω στην ευθεία δ βρίσκουμε με το υποδεκάμετρο δύο σημεία Α και Β έτσι, ώστε να είναι: ΜΑ = ΜΒ = 3 cm. Από τα Α και Β, με τον γνώμονα, σχεδιάζουμε ευθείες ε1 και ε2 κάθετες στην ε. Οι ευθείες αυτές είναι οι ζητούμενες, γιατί η απόσταση τους από την ε είναι 3 cm. |
 |
|
|
| |
| ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ |
 
|
|
Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
| (α) |
Το μήκος του καθέτου ευθυγράμμου τμήματος ΑΑο από το σημείο Α προς την ευθεία ε ονομάζεται ................................ του σημείου Α από την ευθεία. |
| (β) |
Το μήκος οποιουδήποτε ευθυγράμμου τμήματος, που είναι κάθετο σε δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σ' αυτές λέγεται ................................. των δύο παραλλήλων ευθειών.
|
|
|
 |
Σημείωσε, πάνω σε μια ευθεία ε, με τη σειρά, τα σημεία Γ, Β και Δ, έτσι ώστε να είναι ΓΒ = ΒΔ = 3 cm. Χάραξε μια ευθεία, που να διέρχεται από το Β κάθετη στην ε. Πάνω στην κάθετη αυτή να σημειώσεις ένα σημείο Α, που να απέχει από το Β απόσταση ΑΒ = 4 cm. Να συγκρίνεις μετρώντας με το υποδεκάμετρο τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΑΔ. |
 |
Να επαναλάβεις την προηγούμενη άσκηση, εάν είναι: ΓΒ = 6 cm, ΒΔ = 15 cm, ΑΒ = 8 cm. |
 |
Να σχεδιάσεις δύο μη αντικείμενες ημιευθείες Οx και Οy. Να πάρεις στην Οx, τα σημεία Α, Β και Γ, τέτοια ώστε να είναι: ΟΑ = ΑΒ = ΒΓ = 2 cm. Να ορίσεις στην Οy ένα σημείο Α΄, ώστε να είναι ΟΑ΄ = 1,6 cm και να σχεδιάσεις την ευθεία ΑΑ΄. Στη συνέχεια να φέρεις από τα Β και Γ παράλληλες προς την ΑΑ΄ και να ονομάσεις Β΄ και Γ τα σημεία στα οποία αυτές τέμνουν αντίστοιχα την Οy. Να μετρήσεις με το υποδεκάμετρο τα μήκη των τμημάτων Α΄ Β΄ και ´ô. Τι παρατηρείς; |
 |
Nα σχεδιάσεις μια ευθεία ε και τέσσερα σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία να βρίσκονται στο ένα από τα ημιεπίπεδα που χωρίζει η ε το επίπεδο, και το καθένα ν' απέχει απ' αυτή 3,2 cm. Να φέρεις από καθένα απ' αυτά τα σημεία ευθεία παράλληλη προς την ε. Πόσες παράλληλες ευθείες υπάρχουν στο σχήμα σου; |
 |
Nα σχεδιάσεις δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 των οποίων η απόσταση να είναι 35 mm. Να βρεις πέντε σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε, που να ισαπέχουν από τις ε1 και ε2. Να σχεδιάσεις μια ευθεία ε από το Α παράλληλη προς τις ε1 και ε2. Τα σημεία Β, Γ, Δ και Ε ανήκουν ή όχι στην ε;
|
 |
| Να αντιγράψεις σε τετραγωνισμένο
χαρτί το παρακάτω σχήμα και να βρεις
ένα σημείο Γ της ημιευθείας Αx, που
ν' απέχει 3 cm από την ευθεία ε.
|
 |
|
|
| |
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΠΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ |
 |
|
Ένα πλοίο ακολουθεί ευθεία πορεία ΑΒ, που είναι συνολικά 21Κm. Όταν βρίσκεται στη θέση Α απέχει 10 Κm από ένα φάρο Φ και όταν βρίσκεται στη θέση Β απέχει 17 Κm από τον ίδιο φάρο. Να σχεδιάσεις το σχήμα ΦΑΒ παίρνοντας 1 cm για απόσταση ίση με 1 Κm και να υπολογίσεις πόσο κοντά από το φάρο πέρασε το πλοίο |
|
|
