Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί

Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Ένας πατέρας γυρνώντας στο σπίτι από τη δουλειά του έφερε πέντε σοκολάτες για τα δύο παιδιά του. Όταν έφτασε στο σπίτι, διαπίστωσε ότι μαζί με τα δύο παιδιά του, ήταν και ένας φίλος τους.

Γιατί δεν μπορούν να μοιραστούν εξίσου οι δύο σοκολάτες στα τρία παιδιά;

Σκεφτόμαστε

Αν δεν υπήρχε ο φίλος των παιδιών, θα έτρωγε καθένα από τα δύο παιδιά 5:2=2,5 σοκολάτες.

Τώρα, όμως, πρέπει να δούμε ποιο είναι το ακριβές αποτέλεσμα της διαίρεσης 5 : 3.

Παρατηρούμε, ότι η διαίρεση δεν είναι τέλεια.

Δίνει πηλίκο 1 και αφήνει υπόλοιπο 2.

Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση, θα πάρουμε πηλίκο το δεκαδικό αριθμό: 1,666...

Επειδή, όμως, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το ίδιο πάντα, τα δεκαδικά ψηφία επαναλαμβάνονται και είναι όλα ίσα με 6.

Άρα, δεν μπορούν να μοιραστούν εξίσου δύο σοκολάτες σε τρία παιδιά.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Επτά ποδοσφαιρικές ομάδες πρέπει να μοιραστούν εξίσου μια επιχορήγηση 1.000.000 €.

Βρες, με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια μπορείς, το ποσό που αντιστοιχεί σε κάθε ομάδα.

Σκεφτόμαστε

Επίσης, και στο δεύτερο παράδειγμα βλέπουμε ότι η διαίρεση 1.000.000 : 7 δεν είναι τέλεια. Δίνει πηλίκο 142.857 και υπόλοιπο 1. Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση θα βρούμε το δεκαδικό αριθμό 142.857, 142857 142857... με άπειρα δεκαδικά ψηφία, τέτοια ώστε, να επαναλαμβάνονται συνεχώς τα ίδια έξι ψηφία 142857

Μαθαίνουμε

Μετά από τα παραπάνω συμφωνούμε ότι:

Τους αριθμούς που βρήκαμε παραπάνω τους ονομάζουμε περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς.
Το πλήθος των επαναλαμβανομένων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού ονομάζεται περίοδος.

Γενικότερα, λοιπόν, μπορούμε να πούμε ότι:

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού αριθμού και συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα.

Προηγουμένως, είδαμε με ποιον τρόπο ένας ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί με τη μορφή περιοδικού δεκαδικού αριθμού.
Γεννιέται, όμως, το ερώτημα αν μπορούμε να κάνουμε και το αντίστροφο. Δηλαδή, αν μπορούμε ένα περιοδικό δεκαδικό αριθμό να τον γράψουμε με μορφή ρητού.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Να γραφούν με κλασματική μορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί:

Εικόνα

Συμπεραίνουμε ότι:

Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλασματικού ρητού.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

	Βρες τη δεκαδική μορφή των ρητών:
	Βρες την κλασματική μορφή των αριθμών:
	Βρες μία άλλη δεκαδική μορφή των αριθμών:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

'Ο αρχαίος φιλόσοφος Ζήνωνας, που έζησε στη Μεγάλη Ελλάδα το 490 - 430 π.Χ. διατύπωσε, μεταξύ άλλων, και το παρακάτω παράδοξο του Αχιλλέα με τη χελώνα: "Ο Αχιλλέας βαδίζει 10 φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα. Δε θα μπορέσει ποτέ να τη φτάσει, αν η χελώνα προηγείται ένα στάδιο (192 μέτρα περίπου) απ' αυτόν". Ερεύνησε και προσπάθησε να επιβεβαιώσεις ή να απορρίψεις το λόγο για τον οποίο ο Ζήνωνας ισχυρίζεται κάτι τέτοιο.