Α.6.3. Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες ανάλογων ποσών |
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η |
 |
Σε μια παρέα κάποιος υποστήριζε ότι το βάρος του ανθρώπου είναι ανάλογο του ύψους του. Μετρήθηκαν, λοιπόν, όλοι και έβαλαν στον παρακάτω πίνακα τα αποτελέσματα.
- Μπορείς να επιβεβαιώσεις ή να
απορρίψεις τον ισχυρισμό αυτό;
- Πώς δικαιολογείς το συμπέρασμά σου;
| Βάρος σε Κg |
58 |
71 |
56 |
68 |
| Ύψος σε m |
1,60 |
1,65 |
1,62 |
1,72 |
|
|
|
| ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η |
Ο μανάβης πουλάει τα καρπούζια προς 0,4 € το κιλό. Μέσα σε μια ημέρα πούλησε 11 καρπούζια που ζύγιζαν 100 κιλά συνολικά. Ο μανάβης έγραφε, σ' ένα χαρτί, τα λεφτά που εισέπραττε κάθε φορά. Ξέχασε, όμως, μία φορά να το σημειώσει
- Μπορείς να τον βοηθήσεις συμπληρώνοντας τα κενά του παρακάτω πίνακα:
| Τιμή |
6 € |
2,8 € |
5,2 € |
3,2 € |
|
3,6 € |
| Κιλά |
|
|
|
|
|
|
- Δικαιολόγησε τα αποτελέσματα των πράξεων που έκανες και προσπάθησε να διατυπώσεις ένα γενικό κανόνα.
|
 |
|
|
| |
|
 |
- Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, εάν μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο, που όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου να πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.
- Δύο ποσά x και y είναι ανάλογα, όταν οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν πάντα ίδιο πηλίκο:
 . Το πηλίκο α λέγεται συντελεστής αναλογίας.
- Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με τη σχέση:
 όπου α ο συντελεστής αναλογίας.
- Όταν το ποσό y είναι ποσοστό του ποσού x, τα δύο ποσά συνδέονται με τη σχέση
 και είναι ανάλογα, με συντελεστή αναλογίας το  ή α%.
- Η σχέση y = α · x εκφράζει μια αλληλεπίδραση των ποσών x και y.
Συγκεκριμένα, ο διπλασιασμός, τριπλασιασμός κ.ο.κ. του ενός ποσού επιφέρει διπλασιασμό, τριπλασιασμό κ.ο.κ. του άλλου ποσού.
|
|
|
| |
| ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ |
|
Να συμπληρωθεί ο πίνακας, αν γνωρίζουμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα, με συντελεστή αναλογίας  |
 |
|
|
| |
| |
| x |
0 |
1 |
0,3 |
|
|
| y |
|
|
|
 |
3 |
|
| y = α · x |
Τα ποσά x και y συνδέονται με τη σχέση: 
Άρα για x = 0, η τιμή του y θα είναι: 
για x = 1 είναι 
και για x = 0,3 είναι 
|
 |
Για  , θα είναι 
Για y = 3, θα έχουμε, αντίστοιχα: 
|
|
 |
 |
Σε ένα διάλυμα ζάχαρης η περιεκτικότητα σε ζάχαρη είναι 23%. Πόσα γραμμάρια ζάχαρης υπάρχουν σε 300 gr διαλύματος; |
|
|
| |
Περιεκτικότητα 23% σε ζάχαρη σημαίνει ότι σε 100 gr διαλύματος υπάρχουν 23 gr ζάχαρη. Άρα, τα  κάθε ποσότητας, από το διάλυμα, είναι ζάχαρη.
Δηλαδή θα ισχύει: 
Επομένως:  . H σχέση αυτή κάνει φανερό ότι τα ποσά y και x είναι ανάλογα.
Έτσι θα έχουμε:  .
|
 |
Ένα πλοίο έχει σταθερή ταχύτητα και καλύπτει απόσταση 80 Κm σε 2 ώρες. Σε πόσο χρόνο θα καλύψει απόσταση 2.000 Κm; |
|
|
 |
| |
| Χρόνος (ώρες) |
2 |
x |
| Απόσταση (Km) |
80 |
2.000 |
Επομένως, έχουμε  Άρα: 80 · x = 2 · 2.000
Επομένως: 80 · x = 4.000 Οπότε ώρες.
|
|
| |
| ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ |
|
|
Ποια από τα παρακάτω ποσά είναι ανάλογα: |
|
|
(Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση) |
ΣΩΣΤΟ |
ΛΑΘΟΣ |
| (α) |
Ο αριθμός αναψυκτικών και τα χρήματα που κοστίζουν |
|
|
| (β) |
Το εμβαδόν του πατώματος και ο αριθμός των πλακών που είναι στρωμένο |
|
|
| (γ) |
Ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρώσουν ένα έργο. |
|
|
| (δ) |
Το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου δεδομένου εμβαδού |
|
|
| (ε) |
Η ταχύτητα και ο χρόνος που απαιτείται για την κάλυψη μιας απόστασης. |
|
|
| (στ) |
Η πλευρά ενός τετραγώνου και το εμβαδόν του. |
|
|
| (ζ) |
Η ηλικία ενός ανθρώπου και η περιουσία του. |
|
|
| (η) |
Το ποσό που ξοδεύει κάποιος για να αγοράσει λαχεία και το ποσό που κερδίζει. |
|
|
|
 |
| Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά: |
| (α) |
Δύο μεγέθη των οποίων οι αντίστοιχες τιμές δίνουν πάντα το ίδιο πηλίκο λέγονται ………….…… |
| (β) |
Αν τετραπλασιάσουμε την τιμή ενός από δύο ανάλογα ποσά και η αντίστοιχη τιμή του άλλου ποσού …………………………………. |
| (γ) |
Τα ανάλογα ποσά συνδέονται με τη σχέση ………….. |
|
 |
| Εξέτασε αν τα ποσά που δίνονται στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα: |
|
| (β) |
|
x |
3 |
4 |
6 |
11 |
| |
|
y |
0,9 |
1,2 |
1,8 |
3,3 |
|
|
 |
Στον πίνακα που ακολουθεί, τα ποσά x και y είναι ανάλογα. Υπολόγισε το συντελεστή αναλογίας τους και συμπλήρωσε τον πίνακα.
| |
|
x |
5 |
0 |
1 |
|
|
3,7 |
0,61 |
|
| |
|
y |
10,05 |
|
|
2 |
0,125 |
|
|
0,55 |
|
 |
| Μια συνταγή για κέικ αναφέρει:
«4 αυγά, 1 πακέτο φαρίνα, του μισού
κιλού, 250 gr βουτύρου, 2 φλιτζάνια
ζάχαρη, 1 βανίλια, 1 φλιτζάνι γάλα».
Βρες πώς θα γίνει η συνταγή αν θέλεις
να φτιάξεις μεγαλύτερη δόση και έχεις
7 αυγά;
|
 |
|
 |
Δίνεται η αναλογία  . Υπολόγισε το x και το λόγο  . Τι παρατηρείς; |
 |
Κεφάλαιο 150.000 € κατατέθηκε στην τράπεζα με επιτόκιο 9,5%. Πόσο θα έχει γίνει το κεφάλαιο, μετά από 1 χρόνο; |
|
|
