Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 4ο - Εξισώσεις και Προβλήματα

Α.4.3. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Εικόνα

Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα για να αγοράσει 2 τετράδια και μαρκαδόρους. Αν είναι γνωστό, ότι κάθε τετράδιο στοιχίζει 1 € και όλοι οι μαρκαδόροι 3 €, ποιο είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές;

Εικόνα

Το ζητούμενο του προβλήματος είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος.

Το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί απλούστερα με την εξίσωση:

«τα χρήματα που ξοδεύτηκαν» = «τα χρήματα που κόστιζαν οι αγορές»

ή «τα μισά χρήματα της Χριστίνας» = «το κόστος των τετραδίων» + «το κόστος μαρκαδόρων»

ή	x : 2	= 2 · 1 + 3
ή	x : 2	= 2 + 3
ή	x : 2	= 5
ή	x	= 5 · 2
ή	x	= 10

Επαλήθευση:

Τα μισά των 10 € είναι 5 € και τα έξοδα είναι 2 · 1 € + 3 € = 5 €.

Η δεξαμενή της κοινότητας χωράει 3.000 m³ νερό. Κάθε μέρα ξοδεύονται 300 m³ από τα νοικοκυριά και άλλα 200 m³ από τις βιοτεχνίες. Για τη συντήρηση του δικτύου, σταμάτησε η παροχή νερού προς τη δεξαμενή. Τέσσερις ημέρες μετά την έναρξη των εργασιών αποφασίζεται να ξοδεύονται μόνο 400 m³ συνολικά κάθε ημέρα. Πόσες ημέρες ακόμη πρέπει να κρατήσουν τα έργα συντήρησης, ώστε να μη μείνουν χωρίς νερό οι κάτοικοι της κοινότητας;

Το ζητούμενο του προβλήματος είναι το επιπλέον πλήθος των ημερών συντήρησης του δικτύου, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος.

Το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση:

"ποσό νερού που καταναλώνεται"= "ποσό νερού δεξαμενής" ή αναλυτικότερα

"ποσό νερού που καταναλώνεται στις τέσσερις ημέρες της συντήρησης" + "ποσό νερού που καταναλώνεται στις επιπλέον ημέρες συντήρησης" = "ποσό νερού δεξαμενής"

ή	(300 + 200)	· 4	+ 400 ·	x = 3.000
ή	500	· 4	+ 400 ·	x = 3.000
ή	2.000		+ 400 ·	x = 3.000
ή			400 ·	x = 3.000 – 2.000
ή			400 ·	x = 1.000
ή				x = 1.000 : 400
ή				x = 2,5 ημέρες

Επαλήθευση: 2,5 · 400 + 4 · (200 + 300) = 3.000 ή 1.000 + 2.000 = 3.000 ή 3.000 = 3.000

Τα οικόπεδα που διαθέτει ένα μεσιτικό γραφείο, έχουν την ίδια τιμή και είναι όλα ορθογώνια παραλληλόγραμμα, με σταθερή περίμετρο 160 m. Ποιο από αυτά συμφέρει να επιλέξουμε για αγορά;

Έστω το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαστάσεις α και β.

Τότε η περίμετρος θα είναι:

α + α + β + β ή 2α + 2β ή 2(α + β)

Γνωρίζουμε ότι: 2(α + β) = 160

Άρα θα είναι : α + β = 160 : 2

ή α + β = 80

Το πιο συμφέρον για αγορά είναι το οικόπεδο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν.

Το εμβαδόν του ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι Εικόνα

Φτιάχνουμε ένα πίνακα και δίνουμε διάφορες τιμές στα α και β:

α	10	20	30	40	50	60	70
β	70	60	50	40	30	20	10
α · β	700	1200	1500	1600	1500	1200	700

Παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο με διαστάσεις ίσες α = β = 40 m .

Μετά τη συνεδρίαση και τα 10 μέλη του διοικητικού συμβουλίου μιας εταιρείας ανταλλάσσουν μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες γίνονται συνολικά;

1ος τρόπος:	Αν υποθέσουμε ότι φεύγει ένας - ένας και χαιρετάει τους υπόλοιπους θα έχουμε ότι: Ο πρώτος θα ανταλλάξει, συνολικά, 9 χειραψίες. Ο δεύτερος 8, ο τρίτος 7, ο τέταρτος 6, ο πέμπτος 5, ο έκτος 4, ο έβδομος 3, ο όγδοος 2, ο ένατος 1 και δέκατος καμία. Επομένως, ο συνολικός αριθμός θα είναι:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 9) + (2 + 8) + (3 + 7) + (4 + 6) + 5 = = 10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45
	Άρα, η λύση είναι ότι θα γίνουν συνολικά 45 χειραψίες.
2ος τρόπος:	Γνωρίζουμε ότι ο καθένας κάνει χειραψία με τους υπόλοιπους. Επομένως, αφού όλοι είναι 10, ο καθένας θα κάνει 10 – 1 = 9 χειραψίες. Άρα συνολικά θα γίνουν 10 φορές επί 9, δηλαδή 10 · 9 = 90 χειραψίες. Όμως, μεταξύ δύο ανθρώπων η χειραψία είναι μία και εμείς τη μετρήσαμε διπλή (μία για καθένα από τους δύο). Επομένως, αυτές που έγιναν συνολικά θα είναι οι μισές, δηλαδή 90 : 2 = 45.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Να βρεις έναν αριθμό που έχει τέσσερα ίδια ψηφία και διαιρείται με το 9.

Πόσοι μαθητές είναι τα Εικόνα

των μαθητών ενός σχολείου, αν τα Εικόνα

των μαθητών, αυτού του σχολείου, είναι 60 μαθητές;

Να βρεις τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα 1533.

Βρες το ψηφίο που λείπει από τον αριθμό 75 Εικόνα

3, ώστε αυτός να διαιρείται με το 9.

Σε ένα διαγώνισμα, κάθε μαθητής πρέπει να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις. Θα πάρει 3 μονάδες, για κάθε σωστή απάντηση και μόνο 1 μονάδα, για κάθε λανθασμένη. Ένας μαθητής πήρε συνολικά 220 μονά-δες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά;

Η διαφορά της ηλικίας της κόρης από τη μητέρα της είναι 25 χρόνια. Αν η κόρη είναι 18 ετών, πόσων ετών είναι η μητέρα

Τρία αδέλφια μοιράζονται, εξίσου, μια κληρονομιά, που είναι ένα χωράφι και ένα διαμέρισμα. Ο πρώτος παίρνει το χωράφι. Ο δεύτερος παίρνει το διαμέρισμα, αλλά δίνει στον πρώτο 600 € και στον τρίτο 15.000 €. Ποια ήταν η αξία του χωραφιού και ποια του διαμερίσματος;

Σε κάθε μια από τις πράξεις (α) και (β) τα γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία. Αντικατέστησε τα γράμματα Α, Β, Γ και Δ με τα κατάλληλα ψηφία.

Αν από μία ποσότητα κρασιού, αφαιρέσουμε 18 Ιt χωράει σε δοχεία των 7 Ιt. Αν γνωρίζεις ότι η ποσότητα είναι μικρότερη από 100Ιt και μεγαλύτερη από 90 Ιt, πόσα Ιt είναι η αρχική ποσότητα του κρασιού; Πόσα δοχεία θα χρησιμοποιήσουμε;

Ένας παραγωγός έφτιαξε 100 lt ξύδι και θέλει να το συσκευάσει σε μπουκάλια που χωράνε 0,75 lt. Να βρεις: (α) Πόσα μπουκάλια θα χρειαστεί, (β) Πόσα lt θα του περισσέψουν.

Δύο συνεργεία καθαρισμού ακτών καθαρίζουν μία μεγάλη παραλία μήκους Εικόνα

Κm. Το πρώτο συνεργείο καθαρίζει Εικόνα

Κm και το δεύτερο συνεργείο Εικόνα

Κm, κάθε μέρα. Τα δύο συνεργεία εργάζονται, στα δύο άκρα της παραλίας, έως ότου συναντηθούν. Σε πόσες ημέρες θα έχουν ολοκληρώσει τον καθαρισμό της παραλίας;

Ένας υπάλληλος αποταμιεύει κάθε μήνα το Εικόνα

του μισθού του. Αν αυξηθεί κατά το Εικόνα

ο μισθός του, ποιο μέρος του νέου του μισθού πρέπει να αποταμιεύει, ώστε να μην αυξηθεί το ποσό που αποταμιεύει κάθε μήνα;

Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός ανθρώπου είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόμενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν γνωρίζουμε ότι δεν είναι αιωνόβιος, ποια είναι η ηλικία του;