Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 3ο - Δεκαδικοί αριθμοί

Α.3.1. Δεκαδικά κλάσματα - Δεκαδικοί αριθμοί - Διάταξη δεκαδικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Αν χωρίσουμε μια μονάδα σε 10 ίσα μέρη, τότε μπορούμε να πάρουμε κλάσματα της μονάδας όπως: Εικόνα

κλπ. Τα κλάσματα αυτά είναι ομώνυμα, συγκρίνονται εύκολα και εξυπηρετούν στις πράξεις και στις μετρήσεις. Ας τα προσεγγίσουμε με μερικές δραστηριότητες.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Αν βάλουμε στη ζυγαριά 2 σταθμά, θεωρώντας το ένα από αυτά ως μονάδα μέτρησης, διαπιστώ- νουμε ότι η μπάλα είναι βαρύτερη και αν βάλουμε 3 από τα ίδια, ότι είναι ελαφρότερη.

Τι είδους σταθμά χρειαζόμαστε, εκτός από αυτά που διαθέτουμε, για να έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στη μέτρησή μας;
Τι μορφή θα έχει ο αριθμός, που εκφράζει το αποτέλεσμα της μέτρησης του βάρους της μπάλας;

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Προσπάθησε να μετρήσεις το μήκος του θρανίου σου με μονάδα μέτρησης: (α) το μολύβι σου, (β) ένα σχοινί μήκους ενός μέτρου και (γ) με ένα μέτρο.

Στην προσπάθειά σου, στις τρεις διαφορετικές μετρήσεις, για να δώσεις ένα αποτέλεσμα όσο γίνεται πιο ακριβές, τι είδους προβλήματα αντιμετωπίζεις;

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η

Αν σου ζητηθεί να χωρίσεις το τμήμα ΑΒ που έχει μήκος 5 εκατοστά σε οκτώ ίσα μέρη, πόσο θα είναι το μήκος του κάθε μέρους από αυτά;

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Από τις προηγούμενες δραστηριότητες, γίνεται φανερό, ότι σε πολλές περιπτώσεις μετρήσεων οι φυσικοί αριθμοί δεν επαρκούν να εκφράσουν τα αποτελέσματα αυτών των μετρήσεων με ακρίβεια. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς.

Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρονομαστή μια δύναμη του 10.

Τα κλάσματα Εικόνα

και

έχουν παρονομαστές τους φυσικούς αριθμούς 10,100,1000 και 10000, που είναι δυνάμεις του 10: 10¹, 10², 10³ και 10⁴

Γραφή, ανάγνωση και στρογγυλοποίηση δεκαδικών αριθμών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η

Στον πίνακα της επόμενης σελίδας υπάρχουν διάφοροι δεκαδικοί αριθμοί.

Προσπάθησε να τους διαβάσεις και να τους γράψεις ολογράφως.
Ποιος από αυτούς είναι ο μεγαλύτερος και ποιος ο μικρότερος;
Προσπάθησε να τους τοποθετήσεις σε αύξουσα σειρά.
Στρογγυλοποίησε τους αριθμούς (α) στη μονάδα και (β) στο εκατοστό.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η

Στον δεκαδικό αριθμό Εικόνα 0, 9 λείπουν δύο ψηφία του.

Συμπλήρωσε τα κενά έτσι, ώστε κανένα ψηφίο του αριθμού να μην είναι ίδιο με άλλο.
Βρες ποιος είναι ο μεγαλύτερος ή ο μικρότερος δεκαδικός που μπορείς να γράψεις;

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Στο δεκαδικό μέρος οι τάξεις είναι τα δέκατα, τα εκατοστά, τα χιλιοστά, τα δεκάκις χιλιοστά, τα εκατοντάκις χιλιοστά, τα εκατομμυριοστά κ.λπ.
Στο ακέραιο μέρος οι τάξεις είναι σε μονάδες, δεκάδες κ.λπ.
Δέκα μονάδες μίας τάξης είναι μια μονάδα μεγαλύτερης τάξης.
Σε κάθε δεκαδικό αριθμό διακρίνουμε το ακέραιο μέρος και το δεκαδικό μέρος του. Αυτά διαχωρίζονται από την υποδιαστολή.

Αν δύο δεκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει το μεγαλύτερο ψηφίο στην αρχική τάξη.	8,97453 < 9,432
Αν δύο δεκαδικοί αριθμοί αρχίζουν από ψηφίο της ίδιας τάξης, μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει το αμέσως επόμενο ψηφίο μεγαλύτερο.	105,3842 > 105,37896
Για να στρογγυλοποιήσουμε ένα δεκαδικό αριθμό: – Προσδιορίζουμε τη δεκαδική τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. – Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης. – Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται. – Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1.	957,3842 957,384 957,3842 957,38 957,3842 957,4 957,3842 957 957,3842 960 957,3842 1000

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Εικόνα

Να γραφούν τα κλάσματα που ακολουθούν, ως δεκαδικοί αριθμοί με την εκτέλεση των αντίστοιχων διαιρέσεων: (α) , (β) Εικόνα , (γ)

Εικόνα

(α)	= 20 : 4 = 5
(β)	= 50 : 8 = 6,25
(γ)	= 520 : 67 = 7,76119…

Στην περίπτωση αυτή το πηλίκο δεν είναι ακριβές και συνήθως γράφεται με προσέγγιση δέκατου 7,8 ή εκατοστού 7,77 ή χιλιοστού 7,761 κλπ.

Να γραφούν, ως κλάσματα, οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 2,35 και (β) 0,348.

(α) 2,35 = 235 : 100 = Εικόνα (β) 0,348 = 348 : 1000 =

Να γραφούν, ως δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα: (α) Εικόνα και (β)

α)

= 314 : 100 = 3,14 (β) Εικόνα

= 769 : 1000 = 0,769

Να μετατραπεί το κλάσμα Εικόνα σε δεκαδικό κλάσμα.

Αρχικά, μετατρέπουμε το κλάσμα Εικόνα σε δεκαδικό αριθμό, εκτελώντας τη διαίρεση και έχουμε: = 10 : 8 = 1,25. Ο δεκαδικός 1,25 μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα 1,25 = 125 : 100 = . Άρα = .

Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 0,8 και (β) 1,35.

(α)

Ισχύει, ότι: 0 < 0,8 < 1. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε 10 ίσα μέρη (δέκατα).

(β)

Επίσης, ισχύει: 1 < 1,35 < 2. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 1 και 2 πρέπει να χωριστεί σε 100 ίσα μέρη (εκατοστά).

Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Γράψε ως κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων: (α) 4 : 5, (β) 9 : 16, (γ) 25 : 79.

Ποια διαίρεση παριστάνει καθένα από τα κλάσματα: Εικόνα

Γράψε καθένα από τα παρακάτω κλάσματα, ως δεκαδικό αριθμό: (i) με προσέγγιση εκατοστού και (ii) με προσέγγιση χιλιοστού: Εικόνα

Γράψε ως δεκαδικό αριθμό, καθένα από τα παρακάτω δεκαδικά κλάσματα: Εικόνα

Γράψε ως δεκαδικό κλάσμα, καθέναν από τους δεκαδικούς αριθμούς που ακολουθούν: (α) 3,5, (β) 45,25, (γ) 3,004.

Να βρεις το ψηφίο των χιλιοστών και των δεκάκις χιλιοστών στους παρακάτω αριθμούς: (α) 5,8909, (β) 98,0005, (γ) 456,8756.

Τοποθέτησε το κατάλληλο σύμβολο <, = ή >, μεταξύ των αριθμών: (α) 45,345 … 45,413, (β) 980,19 … 899,01, (γ) 7,534 … 7,5340.

Να στρογγυλοποιήσεις τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς στο δέκατο, εκατοστό και χιλιοστό: (α) 9876,008, (β) 67,8956, (γ) 0,001, (δ) 8,239, (ε) 23,7048.

Τοποθέτησε τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς στην ευθεία των αριθμών: (α) 3,4, (β) 4,5, (γ) 2,3, (δ) 2,8, (ε) 4,7, (στ) 4,3, (ζ) 2,5, (η) 1,9, (θ) 5,1.

Στον αριθμό 34, Εικόνα

λείπουν τα τρία δεκαδικά ψηφία του. Να συμπληρώσεις τον αριθμό με τα ψηφία 9, 5 και 2, έτσι ώστε κάθε ψηφίο να γράφεται μία μόνο φορά. Να γράψεις όλους τους δεκαδικούς που μπορείς να βρεις και να τους διατάξεις σε φθίνουσα σειρά.

Να συμπληρώσεις το ψηφίο που λείπει στον αριθμό 25, Εικόνα

7, αν γνωρίζεις ότι, όταν ο αριθμός στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο δέκατο, γίνεται ίσος με 25,5.

Αντιστοίχισε κάθε δεκαδικό αριθμό από τον πρώτο πίνακα με το δεκαδικό κλάσμα, του οποίου είναι το πηλίκο, στο δεύτερο πίνακα.

Αντιστοίχισε κάθε κλάσμα της πρώτης στήλης με το ισοδύναμο του της δεύτερης στήλης και αυτό με τον αντίστοιχο δεκαδικό της τρίτης στήλης.