Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 2ο - Τα Κλάσματα

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν μια πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια από αυτά που περίσσεψαν.

Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας;
Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε;

Σκεφτόμαστε

Αφού γνωρίζουμε ότι π.χ. ο πρώτος έφαγε το ένα κομμάτι από τα οκτώ της πίτσας, λέμε ότι έφαγε το Εικόνα της πίτσας. Τότε ο δεύτερος έφαγε τα και ο τρίτος τα αυτής, Επομένως, και οι τρεις μαζί έφαγαν 1+3+2=6 από τα οκτώ κομμάτια, δηλαδή τα της πίτσας. Άρα, περίσσεψαν τα υπόλοιπα δύο κομμάτια από τα οκτώ, δηλαδή τα Εικόνα της πίτσας.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Παρατηρώντας το παρακάτω σχήμα, μπορείς να βρεις ποιο μέρος του μήκους του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ;

Να υπολογίσεις το μήκος του ΑΚ, αν γνωρίζουμε ότι το ΑΒ είναι 32 cm;
Να βρεις ζεύγη τμημάτων που το ένα να είναι: του άλλου.

Σκεφτόμαστε

(α)

Το τμήμα ΑΒ είναι χωρισμένο σε 8 ίσα μέρη, συνεπώς ένα από αυτά είναι το Εικόνα

του ΑΒ και το ΑΚ θα είναι ίσο με τα Εικόνα

του ΑΒ.

(β)

Επειδή το ΑΒ είναι 32 cm, το Εικόνα αυτού θα είναι:

Άρα το ΑΚ θα έχει μήκος: 3 · 4 cm = 12 cm.

(γ)

Το μήκος του ΑΓ είναι το Εικόνα

του ΑΚ και το Εικόνα

του ΑΔ. Το ΑΔ είναι τα Εικόνα

του ΑΚ και το ΑΚ τα Εικόνα

του ΑΔ. Το ΑΕ είναι τα Εικόνα

του ΑΚ και το ΑΚ τα Εικόνα

του ΑΕ.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η

Στο διπλανό σχήμα ένα τετράγωνο έχει χωριστεί, ανάλογα με το χρώμα, σε τριών ειδών μέρη.

Μπορείς να βρεις τι κλάσμα του τετραγώνου είναι το καθένα μέρος του;

Η λέξη "κλάσμα" προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη "κλαίω" ή "κλω" που σημαίνει κόβω, τεμαχίζω κάτι Το κλάσμα λοιπόν δηλώνει ότι έχουμε ένα κομμάτι, δηλαδή ένα μέρος κάποιου πράγματος. Στα Μαθηματικά θεωρούμε ότι αυτό που μοιράζεται, μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Έτσι, στα Μαθηματικά το "κλάσμα" πρέπει να δηλώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο (τον "όλον") και πόσα από αυτά πήραμε.

Εικόνα

Στη συνέχεια θα θυμηθούμε όσα ήδη έχουμε μάθει για τα κλάσματα και θα επεκτείνουμε τις γνώσεις μας στις πράξεις των κλασμάτων.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται νιοστό και συμβολίζεται με το .
Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων, που αποτελείται από κ τέτοια ίσα μέρη, συμβολίζεται με το κλάσμα και διαβάζεται «κάπα νιοστά».

Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1.
Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Μια σοκολάτα ζυγίζει 120 gr και έχει 6 ίσα κομμάτια.

(α) Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το κάθε κομμάτι;
(β) Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 40 gr;

Εικόνα

(α)

Το κάθε κομμάτι είναι το Εικόνα

της σοκολάτας.

(β)

Το βάρος κάθε κομματιού θα είναι το Εικόνα του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή

Άρα τα Εικόνα είναι τα της σοκολάτας. Δηλαδή, πρέπει να κόψουμε 2 κομμάτια για να πάρουμε .

Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20 m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα Εικόνα

του ύψους του καμπαναριού. Ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας;

Το Εικόνα του ύψους του καμπαναριού είναι , επομένως το αυτού θα είναι . Τότε τα θα είναι . Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι .

Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα Εικόνα . Πόσα λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή;

Η δεξαμενή ολόκληρη είναι τα Εικόνα και χωράει 2000 lt.
Το της δεξαμενής θα χωράει

Εικόνα

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι τα Εικόνα θα περιέχουν 3 · 500 lt = 1.500 lt.

Για να βρούμε την τιμή του μέρους ξεκινάμε από την τιμή του όλου που είναι η τιμή της μονάδας.

Τα του κιλού τυρί κοστίζουν 27 €. Πόσο κοστίζουν τα του κιλού;

Τα Εικόνα κοστίζουν 27 €. Άρα το κοστίζει 27 €: 3 = 9 €.
Τα κοστίζουν 5 · 9€ = 45 €.

Για να βρούμε την τιμή του όλου ξεκινάμε από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμε την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα).

Τα κοστίζουν 45€. Άρα το Εικόνα κοστίζει.

Έτσι τα Εικόνα κοστίζουν 8 · 5€ = 40 €.

Διότι είναι: Εικόνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α)	Στο κλάσμα οι αριθμοί κ και λ ονομάζονται ...................................................
(β)	Ισχύει ότι: (α) = .................. (β) = .................. (γ) = ..................
(γ)	Η φράση "το μέρος ενός μεγέθους Α" εκφράζει τον χωρισμό του μεγέθους Α σε ............................... ..............................................................................

Τα κλάσματα Εικόνα

είναι όλα μικρότερα της μονάδας;

Τι κλάσμα των μαθητών της τάξης 28 μαθητών είναι οι 4 απόντες;

Αν το

ενός κιλού καρύδια είναι 14 καρύδια, το κιλό περιέχει 70 καρύδια;

Τα παρακάτω σχήματα έχουν χωριστεί σε ίσα μέρη. Γράψε για το καθένα από αυτά, το κλάσμα που εκφράζει το χρωματισμένο μέρος του.

Εικόνα

Από μία τούρτα περίσσεψαν τα κομμάτια που βλέπεις στο σχήμα τα οποία αποτελούν
τα Εικόνα της τούρτας.

Βρες ποιο μέρος του κιλού είναι τα: (α) 100, (β) 250, (γ) 500, (δ) 600 γραμμάρια.

Ποιο μέρος: (α) του μήνα, (β) του εξαμήνου, (γ) του έτους είναι οι 15 ημέρες;

Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση στα είδη του ίση με τα Εικόνα της αρχικής τιμής τους. Ένα φόρεμα κόστιζε 90 € πριν την έκπτωση. Υπολόγισε πόσα ευρώ έκπτωση έγινε στο φόρεμα και πόσο θα πληρώσουμε για να το αγοράσουμε.

Σε μία τάξη τα Εικόνα

των μαθητών μαθαίνουν αγγλικά. Να βρεις πόσους μαθητές έχει η τάξη, αν γνωρίζεις ότι αυτοί που μαθαίνουν αγγλικά είναι 12 μαθητές.

Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο η μια πλευρά του είναι 33 εκατοστά και η άλλη τα Εικόνα

της πρώτης. Να βρεις την περίμετρο του ορθογωνίου.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος 5 εκατοστά. Να σχεδιάσεις:

(α) ένα ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με μήκος τα Εικόνα του ΑΒ και (β) ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ με μήκος τα του ΑΒ.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

Εικόνα

Χρωμάτισε σε καθένα από τα σχήματα που ακολουθούν τα μέρη που αντιστοιχούν στα κλάσματα που είναι γραμμένα κάτω από κάθε σχήμα.

Εικόνα

Να βρεις ποιο μέρος του μεγάλου τετραγώνου είναι κάθε χρωματισμένο μέρος του διπλανού σχήματος.