Μαθηματικά (Α Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 1ο - Οι φυσικοί αριθμοί

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Το τοπικό γραφείο της UNICEF θα μοιράσει 150 τετράδια, 90 στυλό και 60 γόμες σε πακέτα δώρων, ώστε τα πακέτα να είναι τα ίδια και να περιέχουν και τα τρία είδη.

Μπορεί να γίνουν 10 πακέτα δώρων; Αν ναι, πόσα από κάθε είδος θα έχει κάθε πακέτο;
Πόσα πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με όλα τα διαθέσιμα είδη;
Πόσα πακέτα δώρων μπορεί να γίνουν με τα λιγότερα δυνατά από κάθε είδος;

Εικόνα

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του 0, α, 2α, 3α, 4α ... με όλους τους φυσικούς αριθμούς.
- Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
- Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.
- Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλον θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών που δεν είναι μηδέν το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των αριθμών αυτών.
Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
- Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες του αριθμούς 1 και α.
Ένας αριθμός που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος.
Δύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος από αυτούς ονομάζεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β).
Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν είναι ΜΚΔ(α, β) = 1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Δύο πλοία επισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά 3 ημέρες, το δεύτερο ανά 4 ήμερες. Αν ξεκίνησαν απο το νησάκι ταυτόχρονα, σε πόσες ημέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού

Εικόνα

Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4.

Πολλαπλάσια του 3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	...
Πολλαπλάσια του 4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	...

Οι αριθμοί 12, 24, 36, ... είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3 και 4. Επειδή, το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 12, γράφουμε: ΕΚΠ(3, 4) = 12. Δηλαδή, ακριβώς μετά από 12 ημέρες θα ξαναβρεθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα επαναλαμβάνεται κάθε 12 ημέρες.

Κριτήρια Διαιρετότητας

Κριτήρια Διαιρετότητας με 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με τους αριθμούς αυτούς.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με 10 αν λήγει σε ένα μηδενικό.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.
- Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται συγχρόνως με το 4 ή και το 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι μηδέν.

Να αναλυθούν οι αριθμοί 2520, 2940, 3780 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Με τη βοήθεια αυτής της ανάλυσης να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών.

Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και παίρνουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη για το ΜΚΔ και τους κοινούς και μη f κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη για το ΕΚΠ.

Εικόνα

Να βρεθεί αν διαιρούνται οι αριθμοί 12510, 772, 225, 13600 με 2, 3, 4, 5, 8, 9. 10. 25. 100.

Εικόνα

	2	3	4	5	8	9	10	25	100
12510			-		-			-	-
772		-		-		-	-	-	-
225	-		-		-		-		-
13.600		-				-

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ του 1 και του 100.

Εικόνα

Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι δεν υπάρχει μέγιστος πρώτος αριθμός, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος. Γνώριζαν ακόμη ότι δεν υπάρχει ένας απλός κανόνας που να δίνει τους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς. Με την απλή μέθοδο του Ερατοσθένη, γνωστή ως "Κόσκινο του Ερατοσθένη", που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα, βρίσκουμε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από δοσμένο αριθμό.

Στον διπλανό πίνακα διαγράφουμε τον αριθμό 1 που δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

Μετά σημαδεύουμε το 2 και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του. Το ίδιο κάνουμε και με τους αριθμούς 3, 5 κ.λπ. Μ' αυτόν τον τρόπο διαγράφονται όλοι οι σύνθετοι αριθμοί και μένουν μόνο οι πρώτοι, από το 1 έως το 100:

2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 και 97.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά
(α)	Ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 5 και 8 είναι ο αριθμός ........ και το ΕΚΠ(5, 8) = ........
(β)	Αν το ΕΚΠ(α, β) = β, ο β είναι .................................................................. του α.
(γ)	Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που .................................................................. και σύνθετοι λέγονται οι αριθμοί που ..................................................................
(δ)	Δύο αριθμοί ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ..................................................................

Συμπλήρωσε το κενό με το κατάλληλο ψηφίο ώστε, ο αριθμός που θα σχηματιστεί να διαιρείται με το 9:

(α) 6 Εικόνα 4, (β) 95 4, (γ) 601 .

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση
(α)	ΕΚΠ (3, 5) =	8	9	15	30
(β)	ΕΚΠ (11, 6) =	17	36	66	132
(γ)	ΕΚΠ (5, 10) =	10	15	45	50
(δ)	ΕΚΠ (3, 2, 5) =	15	20	30	60
(ε)	ΕΚΠ (3, 6, 9) =	9	18	36	27
(στ)	ΕΚΠ (8, 12, 15) =	15	30	30	120

Η εταιρεία Α βγάζει νέο μοντέλο αυτοκινήτου κάθε 2 χρόνια ενώ η εταιρεία Β κάθε 3 χρόνια και η εταιρεία Γ κάθε 5 χρόνια. Αν το 2001 έβγαλαν και οι τρεις εταιρείες νέα μοντέλα, πότε θα ξαναβγάλουν και οι τρεις μαζί νέο μοντέλο;

Ένας γυμναστής παρατήρησε ότι όταν τοποθετεί τους μαθητές της α' γυμνασίου ανά 3, ανά 5 και ανά 7 δεν περισσεύει κανένας. Πόσοι ήταν οι μαθητές της α' γυμνασίου στο σχολείο αυτό, αν γνωρίζουμε ότι το πλήθος τους είναι μεταξύ 100 και 200;

Ο Γιάννης πηγαίνει στον κινηματογράφο κάθε 10 ημέρες και ο Νίκος κάθε 12 ημέρες. Αν συναντήθηκαν στις 10 Μαρτίου στον κινηματογράφο, πότε θα ξανασυναντηθούν; Στο διάστημα μεταξύ των δύο συναντήσεών τους πόσες φορές έχει πάει ο καθένας τους χωριστά στον κινηματογράφο;

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση
(α)	ΜΚΔ (5, 8) =	1	5	8	40
(β)	ΜΚΔ (16, 24) =	4	8	16	24
(γ)	ΜΚΔ (30, 15) =	3	5	15	30
(δ)	ΜΚΔ (10, 30, 60) =	5	10	30	60
(ε)	ΜΚΔ (22, 32, 50) =	2	11	72	82

Δύο αριθμοί έχουν ΜΚΔ το 24. Να δικαιολογήσεις γιατί έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες διαφορετικούς από τη μονάδα.

Βρες τους διαιρέτες των αριθμών: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20. Ποιοι από τους αριθμούς αυτούς είναι πρώτοι; Ποιοι είναι σύνθετοι;

Το διπλάσιο ενός πρώτου αριθμού είναι πρώτος αριθμός ή σύνθετος και γιατί;

Να βρεις όλους τους διαιρέτες των παρακάτω αριθμών χρησιμοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας: (α) 28, (β) 82, (γ) 95, (δ) 105, (ε) 124, (στ) 345, (ζ) 1.232, (η) 3.999.

Να αναλυθούν οι ακόλουθοι αριθμοί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:

(α) 78, (β) 348, (γ) 1.210, (δ) 2.344

Ανακεφαλαίωση

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 0, 1, 2, 3, 4,...

Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί που διαιρούνται με το 2
Περιττοί αριθμοί είναι οι φυσικοί που δεν διαιρούνται με το 2

Πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών

Πρόσθεση: α + β = γ

α και β λέγονται προσθετέοι και
το γ λέγεται άθροισμα των α και β.

Ιδιότητες της πρόσθεσης:

α+β = β+α (Αντιμεταθετική)
α+(β+γ)=(α+β)+γ (Προσεταιριστική)
α+0=0+α=α (το 0 δεν τον μεταβάλλει)

Αφαίρεση: a - β = γ, α > β

Το α λέγεται μειωτέος, το β λέγεται
αφαιρετέος και το γ λέγεται διαφορά.

Αν α-β=γ τότε α=β+γ ή α-γ=β

α-0=α

Πολλαπλασιασμός: α . β = γ

α και β λέγονται παράγοντες και
το γ λέγεται γινόμενο των α και β.

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού:

α· β = β· α (Αντιμεταθετική)
α·(β ·γ) = (α ·β) ·γ (Προσεταιριστική)
α · 1=1 · α=α (το 1 δεν τον μεταβάλλει)

Τέλεια Διαίρεση α : β = γ, β0

Το α λέγεται διαιρετέος, το β λέγεται διαιρέτης και
το γ λέγεται πηλίκο.

Αν α : β=γ τότε α=β · γ ή α : γ=β

α : 1 =α και α : α=1 και 0 : α=0

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

Του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: α · (β + γ) = α · β + α · γ

Του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α · (β-γ) = α · β-α · γ

Δύναμη: α^ν = α · α · α · ... ·α (ν φορές) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης

Ευκλείδεια Διαίρεση: Δ= δ · π + υ, 0 υ <δ

Το Δ λέγεται διαιρετέος, το δ διαιρέτης, το π πηλίκο και το υ υπόλοιπο

Προτεραιότητα Πράξεων

Εικόνα

Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά

ΟΡΙΣΜΟΙ

Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δύο αριθμοί λέγεται ΕΚΠ αυτών.
Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες που έχουν δύο αριθμοί λέγεται ΜΚΔ αυτών.
Ένας αριθμός α που έχει διαιρέτες μόνο τον α και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, αλλιώς λέγεται σύνθετος.
Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ΜΚΔ(α, β) = 1

Κριτήρια Διαιρετότητας: Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται:

με το 10, 100, 1000, ... αν λήγει σε 1, 2, 3,... μηδενικά
με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2, 4, 6, 8.
με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5
με το 3 ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9
με το 4 ή 25, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι αριθμός που διαιρείται με το 4 ή 25.

Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης

Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση		ΣΩΣΤΟ	ΛΑΘΟΣ
1.	Ισχύει ότι: (100 - 30) - 10 = 100 - (30 - 10)
2.	Για να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με το 11 τον πολλαπλασιάζουμε με το 10 και προσθέτουμε 1.
3.	To γινόμενο 3 · 3 · 3 γράφεται 3³.
4.	Το 2⁵ ισούται με 10.
5.	α + α + α + α = 4 · α.
6.	α · α · α · α · α · α = α⁵.
7.	2³ + 3 = 11.
8.	3 · 10² + 2 · 10¹ + 2 · 10⁰ = 322.
9.	20 - 12 : 4 = 2.
10.	9 · 3 - 2 + 5 = 30.
11.	(3 · 1 - 3) : 3 = 0.
12.	Στη σειρά των πράξεων: 7 + (6 ·5) + 4, οι παρενθέσεις δεν χρειάζονται.
13.	Η διαφορά δύο περιττών αριθμών είναι πάντα περιττός αριθμός.
14.	Αν ο αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του αριθμού β, τότε ο α διαιρείται με το β.
15.	Το 38 είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 3.
16.	Ο αριθμός 450 διαιρείται με το 3 και το 9.
17.	Ο 35 και ο 210 έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη τον αριθμό 5.
18.	Το ΕΚΠ των 2 και 24 είναι ο αριθμός 48.
19.	Η διαίρεση 420 : 15 δίνει υπόλοιπο 18.
20.	Η σχέση 177 = 5 · 35 + 2 είναι μια ευκλείδια διαίρεση.
21.	Ο αριθμός 3 · α + 9 διαιρείται με το 3.
22.	Ο αριθμός 300 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως 3 · 10².
23.	Ο αριθμός 224 διαιρείται με το 4 και το 8.

Εικόνα