Φυσική (Γ Λυκείου Θετικών Σπουδών) - Βιβλίο Μαθητή
|
6-7 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ
Στις προηγούμενες δυο παραγράφους δείξαμε ότι η μέτρηση του μήκους και του χρόνου δε δίνει τα ίδια αποτελέσματα για δυο παρατηρητές που είναι ακίνητοι ως προς τα συστήματα αναφοράς τους, αν το σύστημα αναφοράς του ενός (Σ') κινείται με ταχύτητα u ως προς το σύστημα αναφοράς του άλλου (Σ). Χρειαζόμαστε κάποιους "κανόνες" που να μετασχηματίζουν την εικόνα της πραγματικότητας του ενός παρατηρητή σε αυτήν κάποιου άλλου. Πιο συγκεκριμένα χρειαζόμαστε κάποιες σχέσεις μετασχηματισμού, ούτως ώστε οι μετρήσεις που κάνει ο παρατηρητής στο Σ να είναι αποδεκτές στο Σ' και αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι το Σ' κινείται ως προς το Σ παράλληλα προς τον άξονα των x και ότι τη χρονική στιγμή t=0 τα δύο συστήματα ταυτίζονται (σχ.6.8). Ένα σημείο Κ θα έχει ως προς το Σ συντεταγμένες (x, y, z) και ως προς το Σ' συντεταγμένες (x′, y′, z′). Για το x θα ισχύει x = ut + x′. Όμως μιλάμε για ένα x ' όπως το βλέπει ο παρατηρητής του Σ και όχι όπως το βλέπει ο παρατηρητής του Σ' δηλαδή, συνεσταλμένο. |
Εικ. 6.5 Η. Α. Lorentz (1853- 1928), Ολλανδός κορυφαίος θεωρητικός φυσικός. 0 Lorentz εισήγαγε τους μετασχηματισμούς του το 1890, προκειμένου να διασώσει την Ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell που δεν υπάκουε στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. 0 Einstein ήταν ο πρώτος που κατανόησε τη φυσική τους σημασία το 1905.
|
Σχ. 6.8
Για να το ξεχωρίζουμε θα το συμβολίζουμε x'Σ . Πιο σωστά λοιπόν x=ut +
xΣ'. Μεταξύ του x'Σ και του x' ισχύει η σχέση (6.6) δηλαδή x'Σ = x' x=ut + x' Λύνοντας ως προς x' προκύπτει x' = Για τα y', z' θα ισχύει y' = y (6.9) και z'=z (6.10) Έτσι αν ο παρατηρητής του Σ διαβιβάσει σ' αυτόν του Σ' όλες του τις μετρήσεις (χ, y, z, u, t) τότε ο παρατηρητής του Σ' μπορεί να βρει τη θέση του Κ χωρίς να κάνει δικές του μετρήσεις. Κανένα αδρανειακό σύστημα δε μπορεί να θεωρηθεί απολύτως ακίνητο. Όπως θεωρήσαμε το Σ ακίνητο και το Σ' κινούμενο με u μπορούμε θεωρήσουμε το Σ' ακίνητο και το Σ κινούμενο με -u. Θα πρέπει λοιπόν να ισχύει και πάλι μια σχέση απολύτως συμμετρική με την (6.7). Αντικαθιστώντας στην (6.7) τους τονούμενους χαρακτήρες με μη τονούμενους και αντίστροφα και την ταχύτητα u με -u , προκύπτει x'= -ut' + x Αντικαθιστώντας το x' με το ίσον του από την (6.8) και λύνοντας ως προς t' καταλήγουμε t' = Οι εξισώσεις (6.8), (6.9), (6.10) και (6.11) ονομάζονται μετασχηματισμοί Lorentz από το Σ στο Σ'. Τους παραθέτουμε συγκεντρωτικά, μαζί με τους αντίστροφους μετασχηματισμούς (από το Σ' στο Σ). |
Βλέπουμε ότι όταν u<<c οι μετασχηματισμοί Lorentz δίνουν x'=x -ut, y' = y, z' = z δηλαδή συμπίπτουν με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Επίσης βλέπουμε ότι το x' εξαρτάται και από το t και το t' από το x. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ο χώρος και ο χρόνος είναι αλληλένδετοι. Μιλάμε πια για χωροχρόνο.
ΤΟ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΟ ΚΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
Σύμφωνα με τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Lorentz (από το Σ' στο Σ) η χρονική στιγμή που θα συμβεί το γεγονός 1 για τον παρατηρητή του Σ θα είναι t1 = Ο χρόνος που μεσολάβησε ανάμεσα στα δυο γεγονότα για τον παρατηρητή του Σ θα είναι Δt = t2 - t1 = (6.12).
Αν τα γεγονότα είναι ταυτόχρονα για τον παρατηρητή του Σ' τότε Δt' = 0 οπότε Δt = Αυτό σημαίνει ότι για τον παρατηρητή που βρίσκεται στο Σ τα γεγονότα δεν είναι ταυτόχρονα. Βέβαια αν τα γεγονότα συμβαίνουν σε μικρή απόσταση μεταξύ |
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6-3
Ένα μαχητικό αεροπλάνο κινείται με ταχύτητα 680 m/s (διπλάσια της ταχύτητας του ήχου). Το αεροπλάνο έχει μήκος 20 m. Ο πιλότος αντιλαμβάνεται ταυτόχρονα δυο εκρήξεις, μια από το ρύγχος του αεροπλάνου και μια από την ουρά. Με ποια διαφορά χρόνου αντιλαμβάνεται τις εκρήξεις ένας παρατηρητής ακίνητος στη Γη; Απάντηση Ένας παρατηρητής θα «δει» τις λάμψεις με χρονική διαφορά Δt = Η διαφορά αυτή είναι πάρα πολύ μικρή και δε γίνεται αντιληπτή. |
. 
και η χρονική στιγμή που θα συμβεί το γεγονός 2 θα είναι t2 = 
.
0
= 0,00000000000015s