ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) Να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση u = π − x για να αποδείξετε ότι

ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .

2. i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .

3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα :

4. Αν , ν ϵ N,

i) Να υπολογίσετε το άθροισμα Ι_ν + Ι_ν+1 , ν ϵ N

ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα Ι₀ , Ι₁ , Ι₂ .

5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R , να αποδείξετε ότι

6. Δίνεται η συνάρτηση , όπου .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f και F.

ii) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή.

7. Δίνονται τα ολοκληρώματα και

i) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα F(x) και G(x) .

ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

8. Το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x² + 1 και την ευθεία y = 5 χωρίζεται από την ευθεία y = α² + 1,  α > 0, σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Να βρείτε την τιμή του α.

9. i) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τον άξονα των x και τις ευθείες x = 1 , x = λ , λ > 0.
ii) Να βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε Ε(λ) = 1/2.

iii) Nα βρεθούν τα .

10. Έστω f , g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β]. Να αποδείξετε ότι :

iv) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,+∞) και στη συνέχεια, με τη βοήθεια της ανισότητας e^x ≥ 1 + x για κάθε x ϵ R , να αποδείξετε ότι :