3.6 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Με τη βοήθεια του θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού μπορούμε, τώρα, να αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως Θ ε ώ ρ η μ α  Μ έ σ η ς  Τ ι μ ή ς  Ο λ ο κ λ η ρ ω τ ι κ ο ύ  Λ ο γ ι σ μ ο ύ.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] , τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α,β) τέτοιο, ώστε

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Θεωρούμε τη συνάρτηση . Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και ισχύει Fʹ(x) = f(x). Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού υπάρχει ξ ϵ (α,β) τέτοιο, ώστε

(1)

Είναι όμως,

ΣΧΟΛΙΟ

Γεωμετρικά, η μέση τιμή f μιας μη αρνητικής συνάρτησης στο διάστημα [α,β] παριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το [α,β] και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xʹx και τις ευθείες x = α και x = β (Σχ. 15).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Έστω η συνάρτηση f(x) = √x . Να βρεθεί ξ ϵ (0,9) έτσι ώστε f(ξ) = f.

ΛΥΣΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε τη μέση τιμή f της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημα [0,1] , αν δίνεται ότι .

2. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , κ σταθερά και , να αποδείξετε ότι η μέση τιμή της f στο [α,β] είναι κ.

3. Να βρεθεί η μέση τιμή της μεταβλητής x στο διάστημα [α,β].

1. Δίνονται οι συναρτήσεις , ορισμένες σ' ένα διάστημα [α,β] , α>0. Να υπολογίσετε τις f , g και να αποδείξετε ότι f · g > 1.

2. Η ταχύτητα υ του αίματος σ' ένα αγγείο ακτίνας R και μήκους ℓ, σε απόσταση r από τον κεντρικό άξονα του αγγείου είναι , όπου Ρ η διαφορά πιέσεως μεταξύ των άκρων Α,Β του αγγείου και n το ιξώδες του αίματος (σταθερά). α) Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του αίματος , όταν r ϵ [0,R] . β) Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα και να τη συγκρίνετε με τη μέση ταχύτητα

3. Έστω f μια παραγωγίσιμη στο [0,1] συνάρτηση, με . Να αποδείξετε ότι η C_f έχει μια, τουλάχιστον, οριζόντια εφαπτομένη.