3.5 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ο υπολογισμός ενός ολοκληρώματος |
ΘΕΩΡΗΜΑ
Για παράδειγμα
ΣΧΟΛΙA
● Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι :
με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. Για παράδειγμα,
ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)
|
ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση
Από την (1), για x = α , έχουμε Επομένως,
οπότε, για x = β , έχουμε
και άρα
Πολλές φορές, για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφορά G(β) − G(α) με
Για παράδειγμα ,
ΕΦΑΡΜΟΓH 1. Δίνεται η συνάρτηση
i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F. ii) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η F. ΛΥΣΗ |
i) Η συνάρτηση
Για να ορίζεται η F, πρέπει τα άκρα 2, x του ολοκληρώματος να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f. Άρα, πρέπει x ϵ [1, +∞) , οπότε το πεδίο ορισμού της F είναι το σύνολο [1, +∞). ii) Για x ϵ [1, +∞) έχουμε :
Επειδή η F είναι συνεχής στο [1, +∞) και ισχύει Fʹ(x) > 0 για κάθε x ϵ (1, +∞) , η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο [1, +∞) , οπότε παρουσιάζει ελάχιστο το F(1) = 0.
Μέθοδοι ολοκλήρωσης ● Ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα
|
● Ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα Έχουμε :
Αν θέσουμε u = lnx , τότε du = (lnx)'dx , u1 = ln1 = 0 και u2 = lne = 1. Επομένως ,
ΕΦΑΡΜΟΓH Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα ΛΥΣΗ |
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Nα υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : 2. Nα αποδείξετε ότι
3. Nα αποδείξετε ότι
4. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία Α(0,0) και Β(1,1), να βρείτε την τιμή του ολοκληρώματος 5. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων |
6. i) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ii) Να αποδείξετε ότι
1. Αν 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3. Αν 4. Aν 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 6. Να βρείτε το 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 8. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 9. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα |
10. Αν
11. Έστω μια συνάρτηση f με f ʹʹ συνεχή και για την οποία ισχύει
Αν f(π) = 1, με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, να υπολογίσετε το f(0). 12. Έστω οι συναρτήσεις f, g , με fʹʹ , gʹʹ συνεχείς στο [α,β]. Αν f(α) = g(α) = 0 και f ʹ(β) = gʹ(β), να αποδείξετε ότι |