3.2 MEΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ο πίνακας των αόριστων ολοκληρωμάτων, που δώσαμε παραπάνω, δεν είναι αρκετός για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μίας οποιασδήποτε συνάρτησης, όπως π.χ. τα ολοκληρώματα Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο :
που είναι συνέπεια του κανόνα παραγώγισης του γινομένου δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε ένα διάστημα Δ. Πράγματι, για κάθε x ϵ Δ, έχουμε
|
οπότε
Επομένως
ή, ισοδύναμα,
Επειδή το ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους της (1) περιέχει μια σταθερά ολοκλήρωσης, το c μπορεί να παραλειφθεί, οπότε έχουμε τον παραπάνω τύπο. ■ Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα του β΄ μέλους υπολογίζεται ευκολότερα. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα
Αν, τώρα, δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα, αλλάζοντας τους ρόλους των x και ex, βρίσκουμε
Το τελευταίο, όμως, ολοκλήρωμα είναι πιο σύνθετο από το αρχικό. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Nα υπολογιστούν τα ολοκληρώματα ΛΥΣΗ i) Έχουμε
|
Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής
όπου P(x) πολυώνυμο του x και α ϵ R*. ii) Έχουμε Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής
όπου P(x) πολυώνυμο του x και α ϵ R*. iii) Έχουμε
Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής
όπου P(x) πολυώνυμο του x και α ϵ R*.
Επομένως ,
οπότε
Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής
όπου α,β ϵ R*. |
2. Ο πληθυσμός P(t), 0 ≤ t ≤ 20, μιας πόλης, που προέκυψε από συγχώνευση 10 κοινοτήτων, αυξάνεται με ρυθμό (σε άτομα ανά έτος) που δίνεται από τον τύπο Pʹ(t) = tet/10, 0 ≤ t ≤ 20, όπου t είναι ο αριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση. Να βρεθεί ο πληθυσμός P(t) της πόλης t χρόνια μετά τη συγχώνευση, αν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήταν 10000 κάτοικοι κατά τη στιγμή της συγχώνευσης. ΛΥΣΗ Έχουμε tet/10
οπότε
Όταν t = 0, ο πληθυσμός είναι 10000. Συνεπώς:
Άρα, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνια μετά τη συγχώνευση, είναι
Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα |
Η απόδειξη του τύπου αυτού στηρίζεται στο γνωστό κανόνα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης. Πράγματι, αν F είναι μια παράγουσα της f, τότε
οπότε
και άρα
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα
ΕΦΑΡΜΟΓEΣ 1. Nα υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
ΛΥΣΗ |
2. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
ΛΥΣΗ 3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα
ΛΥΣΗ |
i) Η συνάρτηση
Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς Α, Β έτσι, ώστε να ισχύει
Με απαλοιφή παρονομαστών έχουμε τελικά :
Η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε x ϵ R−{2,3} , αν και μόνο αν
Επομένως ,
Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής
ii) Αν εκτελέσουμε τη διαίρεση του πολυωνύμου x2 − 3x + 7 με το πολυώνυμο x2 − 5x + 6 , βρίσκουμε ότι
Επομένως ,
Mε τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώματα της μορφής
όπου Ρ (x) πολυώνυμο του x βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 και β2 − 4αγ > 0. |
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 2. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 3. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα
1. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα |
2. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 3. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα 4. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα
να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα :
6. Με τη βοήθεια των τύπων
να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : 7. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα |