ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων  και  g(x) = x ² − 3x + 3,
x ϵ (0,+∞) έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο A(1,1).

ii) Να βρείτε τη σχετική θέση των  C_f  και  C_g  στο διάστημα (0,+∞) .

2. Αν είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R, με

να αποδείξετε ότι

3. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα 1. Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του είναι  Ε = (1 + συνθ)ημθ. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ ϵ (0,π) για την οποία εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται.

4. Ένα σύρμα μήκους 20m διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήματος κυκλικού τομέα. Να βρείτε την ακτίνα r του κύκλου, αν επιθυμούμε να έχουμε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου

5. Δύο διάδρομοι πλάτους 1m τέμνονται κάθετα (Σχήμα ). Να βρείτε το μεγαλύτερο δυνατό μήκος μιας σκάλας που μπορεί, αν μεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στη γωνία. Υπόδειξη: i) Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒ συναρτήσει της γωνίας θ, 0 < θ < π/2. ii) Να αποδείξετε ότι   iii) Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο.

6. i) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση .

ii) Να αποδείξετε ότι  α ^α+1 > (α + 1) ^α για κάθε α > e.

iii) Να αποδείξετε ότι για x > 0 ισχύει  2^x = x²  ⇔  f(x) = f(2)  και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 ^x  = x²  έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις   x₁ = 2,   x₂ = 4 .

7. i) Αν α,β > 0 και για κάθε  x ϵ R  ισχύει  α^x + β ^x ≥ 2, να αποδείξετε ότι αβ = 1.

ii) Αν α > 0 και για κάθε x ϵ R ισχύει  α^x≥ x + 1, να αποδείξετε ότι α = e.

8. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = e^x είναι κυρτή, ενώ η g(x) = lnx είναι κοίλη.

ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της  C_f  στο σημείο A(0,1) και της  C_g στο B(1,0).

iii) Να αποδείξετε ότι:

α) e^x ≥ x + 1,  x ϵ R                   β) lnx ≤ x − 1,   x ϵ (0, +∞)

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

iv) Η  C_f  βρίσκεται πάνω από την  C_g.

9. i) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

ii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του  λ > 0  για την οποία ισχύει

iii) Για την τιμή του λ που θα βρείτε παραπάνω να αποδείξετε ότι η ευθεία y = λx εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g(x) = e^x .

10. Δίνεται η συνάρτηση .

Να αποδείξετε ότι

i) Η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ = 0 και στη συνέχεια ότι η ευθεία y = 0 (ο άξονας xʹx) είναι η εφαπτομένη της C_f στο O(0,0).

ii) Ο άξονας  xʹx  έχει με την C_f άπειρα κοινά σημεία, παρόλο που εφάπτεται της C_f.

iii) Η ευθεία y = x είναι ασύμπτωτη της C_f στο +∞ και στο −∞.


11. A. Έστω μια συνάρτηση φ τέτοια, ώστε

Να αποδείξετε ότι :

i) Η συνάρτηση ψ(x) = [φʹ(x)]² + [φ(x)]² είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της.

ii) φ(x) = 0 και για κάθε  x ϵ R.

Β. Έστω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε:

Να αποδείξετε ότι :

i) Οι συναρτήσεις  φ(x) = f(x) − ημx  και  ψ(x) = g(x) − συνx ικανοποιούν τις υποθέσεις (1) του ερωτήματος Α.

ii) f(x) = ημx  και  g(x) = συνx  για κάθε  x ϵ R.

12. Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει ακτίνα 1cm και η ε εφάπτεται σε αυτόν στο σημείο Α. Το τόξο ΑΜ είναι θ rad και το ευθ. τμήμα ΑΝ είναι θ cm. Η ευθεία ΜΝ τέμνει τον άξονα xʹx στο σημείο P(x,0). Να δείξετε ότι :

13. Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει από ένα σημείο Α και βαδίζει γύρω από μια κυκλική λίμνη ακτίνας ρ = 2km με ταχύτητα υ = 4km/h. Aν S είναι το μήκος του τόξου ΑΠ και ℓ το μήκος της απόστασης ΑΠ του πεζοπόρου από το σημείο εκκίνησης τη χρονική στιμή t :
A) Να αποδείξετε ότι
Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ℓ. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης ℓ, όταν

14. Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να μαζέψουν 12500 κιλά ντομάτες. Κάθε εργάτης μαζεύει 125 κιλά την ώρα και πληρώνεται 1800 δρχ. την ώρα. Για το συντονισμό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και έναν επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει 3000 δρχ. την ώρα. Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει στο σωματείο των εργατών εισφορά 3000 δρχ. για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και ποιο θα είναι το ελάχιστο κόστος.