1.5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Όριο και διάταξη

Για το όριο και τη διάταξη αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο

● Αν > 0, τότε   f(x) > 0    κοντά στο x0  (Σχ. 48α)

● Αν < 0, τότε   f(x) < 0   κοντά στο x0    (Σχ. 48β)

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο

Αν οι συναρτήσεις  f, g  έχουν όριο στο x0 και ισχύει  f(x) ≤ g(x)  κοντά στο x0, τότε

Όρια και πράξεις

Τα δύο βασικά όρια , και το θεώρημα που ακολουθεί διευκολύνουν τον υπολογισμό των ορίων.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο x0, τότε:

Οι ιδιότητες 1 και 3 του θεωρήματος ισχύουν και για περισσότερες από δυο συναρτήσεις. Άμεση συνέπεια αυτού είναι:

Για παράδειγμα,

— Έστω τώρα το πολυώνυμο

Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:

Επομένως,

Για παράδειγμα,

— Έστω η ρητή συνάρτηση , όπου P(x),  Q(x) πολυώνυμα του x και x₀ϵ R με Q(x₀) ≠0. Τότε,

Επομένως,

Για παράδειγμα,

ΣΧΟΛΙΟ

Όταν Q(x₀) = 0, τότε δεν εφαρμόζεται η ιδιότητα 4 του παραπάνω θεωρήματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε όπως στην εφαρμογή 1 ii), που ακολουθεί.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Nα βρεθούν τα παρακάτω όρια:

ΛΥΣΗ

i) Έχουμε

ii) Επειδή , δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου (ιδιότητα 4). Παρατηρούμε όμως ότι για x = 2 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος. Οπότε η συνάρτηση , για x≠2, γράφεται:

Επομένως,

iii) Για x =1 μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:

Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με    και έτσι έχουμε:

Επομένως,

2. Nα βρεθεί, αν υπάρχει, το όριο στο x₀ = 1 της συνάρτησης

ΛΥΣΗ

Αν x < 1, τότε f(x) = 3x² − 4, οπότε

Αν x > 1, τότε f(x) = −1/x, οπότε

Επομένως

Κριτήριο παρεμβολής

Υποθέτουμε ότι "κοντά στο x0" μια συνάρτηση f "εγκλωβίζεται" (Σχ. 50) ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις h και g. Αν, καθώς το x τείνει στο x0, οι g και h έχουν κοινό όριο ℓ, τότε, όπως φαίνεται και στο σχήμα, η f θα έχει το ίδιο όριο ℓ. Αυτό δίνει την ιδέα του παρακάτω θεωρήματος που είναι γνωστό ως κριτήριο παρεμβολής.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν
	●  h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και
	●
τότε

Για παράδειγμα, . Πράγματι, για x ≠ 0 έχουμε

οπότε

Επειδή , σύμφωνα με το παραπάνω κριτήριο, έχουμε:

.

Tριγωνομετρικά όρια

Το κριτήριο παρεμβολής είναι πολύ χρήσιμο για τον υπολογισμό ορισμένων τριγωνομετρικών ορίων. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ _^*

— Για x= 0 προφανώς ισχύει η ισότητα.
— Για x ϵ (0, π/2) από το διπλανό σχήμα έχουμε
Άρα
|ημx| < |x| , για κάθε  x ϵ (0, π/2)    (1)
— Για x ϵ (−π/2,0) είναι −x ϵ (0, π/2), οπότε λόγω της (1) έχουμε |ημ(−x)| < |−x| , ή, ισοδύναμα, |ημx| < |x| .
— Για  x∉(−π/2, π/2) είναι |x| ≥ π/2 > 1 ≥ |ημx|, οπότε |ημx| < |x|.

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει |ημx| ≤ x, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x =0. ■

Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας και του κριτηρίου παρεμβολής θα αποδείξουμε ότι:

1.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Αρχικά θα αποδείξουμε ότι

(1)

Πράγματι:

— Σύμφωνα με την προηγούμενη ανισότητα έχουμε |ημx| ≤ |x|, οπότε

Επειδή , σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα είναι

— Γνωρίζουμε ότι συν ² x = 1 − ημ ² x, οπότε

Επομένως

●  Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι . Πράγματι έχουμε

● Ανάλογα αποδεικνύεται και ότι . ■

2.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ _^*

— Αν 0 < x < π/2, τότε από το διπλανό σχήμα προκύπτει ότι
εμβ(τριγΟΑΜ) < εμβ(τομΟΑΜ) < εμβ(τριγΟΑΝ),
oπότε έχουμε διαδοχικά:

— Αν , τότε , οπότε έχουμε και άρα

Επομένως, για κάθε ισχύει

Επειδή , από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι

β) Έχουμε

Όριο σύνθετης συνάρτησης

Με τις ιδιότητες που αναφέρουμε μέχρι τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε τα όρια απλών συναρτήσεων. Αν, όμως, θέλουμε να υπολογίσουμε το , της σύνθετης συνάρτησης fog στο σημείο x₀, τότε εργαζόμαστε ως εξής:

1. Θέτουμε u = g(x).

2. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το και

3. Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το .

Αποδεικνύεται ότι, αν g(x) ≠ u₀ κοντά στο x₀, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με ℓ, δηλαδή ισχύει:

ΠΡΟΣΟΧΗ

Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη:  "g(x) ≠ u₀ κοντά στο x₀"  και γιαυτό δεν θα ελέγχεται.

Για παράδειγμα:

α) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο

Αν θέσουμε u = x² + π/4, τότε , οπότε

β) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο

Είναι

Έτσι, αν θέσουμε u = 3x, τότε , οπότε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Nα βρείτε τα όρια :

2. Έστω μια συνάρτηση f με . Να βρείτε το   αν:

3. Nα βρείτε τα όρια :

4. Nα βρείτε τα όρια :

5. Να βρείτε (αν υπάρχει), το όριο της f στο x₀ αν :

6. Nα βρείτε τα όρια :

7. Να βρείτε τα όρια:

8. Nα βρείτε το , αν:

9. Δίνεται η συνάρτηση . Να βρείτε τις τιμές των α,β ϵ R, για τις οποίες ισχύει .

1. Nα βρείτε τα όρια :

2. Nα βρείτε όσα από τα παρακάτω όρια υπάρχουν

3. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με γ =1. Να υπολογίσετε τα όρια:

4. Να βρείτε το , αν :