$1^Ο$ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

§ 1.1

Α' Ομάδας

1. (3, -1)     2. i) (21, 24)   ii) $\left(\frac{3}{4},\frac{5}{3}\right)$.

3. i) (3, -4)     ii) (5, 2).

4. i) Αδύνατο   ii) Άπειρες λύσεις της μορφής:
$\left(κ, \frac{κ + 2}{2}\right), κ \in \mathbb{R}.$

5. i) (3, 1)    ii) (2, -1).

6. i) Μοναδική     ii) άπειρες
    iii) αδύνατο.

7. i) $\left(-(\sqrt{3} + 1)(κ + 1), κ\right), κ \in \mathbb{R}.$
    ii) αδύνατο .

8. i) (4, 3, -5)   ii) αδύνατο
    iii) (10κ + 2, -16κ + 2, κ), κ $\in \mathbb{R}$.

B' Ομάδας

1. $ε_1 : y = -\dfrac{1}{2}x + 2 , \quad ε_2: y = x - 1$
    ii) 2, 1

2. 10 δίκλινα, 16 τρίκλινα

3. 1500 παιδιά, 700 ενήλικες.

4. R = $\dfrac{1}{600}\cdot T + \dfrac{11}{30}.$

5. 40ml, 60ml.

6. i) $λ_1 = -\dfrac{1}{2}, \quad λ_2 = -\dfrac{1}{2}$
    ii) δεν υπάρχουν    iii) $α \neq \dfrac{3}{2}$.

7. i) Αν $α \neq \pm 1$ , οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο το $\left(\dfrac{α^2 + α + 1}{α + 1}, \dfrac{-α}{α + 1}\right), $

αν α=1, οι ευθείες ταυτίζονται, αν α=-1, οι ευθείες είναι παράλληλες. ii)οι ευθείες έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε α $\in \mathbb{R}$.

8. i) Αν $λ \neq \pm 3$, μοναδική λύση, αν λ = 3, αδύνατο, αν λ = -3, αδύνατο, ii) Αν μ $\neq \pm$ 3, μοναδική λύση, αν μ = 3, άπειρες λύσεις, αν μ = -3, αδύνατο.

9. 2cm , 4cm , 3cm.

10. x = τ - α, y = τ - β, z = τ - γ.

11. 22,88 lt, 17,68 lt, 11,44 lt.

12. $f(x) = x^2 - 4x + 3$ ,
     $g(x) = -x^2 + 2x + 3$,
     $h(x) = 0,5x^2 - 3x +4$.

§ 1.2

Α' Ομάδας

1. (-1, 2), (2, -1).

2. i) $\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$
    ii) $\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$
         $\left(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$
     iii) (-1, -2), (1, 2), (-2, -1), (2, 1).

Β' Ομάδας

1. (4, 3), (-4, 3), (0, -5).

2. (1, 0), (3, 0), (2, -1), (4, 3).

3. 12cm, 10cm.

4. κ

$2^Ο$ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

§ 2.1

Α' Ομάδας

1. f ↣ (-∞,1], f ↣ [1, +∞), g ↣ (-∞, 0],

    g ↣ [0,2], g ↣ [2, +∞), h ↣ (-∞,-1],

    h ↣ [-1,0], h ↣ [0,1], h ↣ [1, +∞) .

2. f(1) = -1 ολικό ελάχιστο, η g δεν έχει ολικά ακρότατα, h(-1) = -2, h(1) = -2 ολικό ελάχιστο.

3. i) Αρκεί f(x) $\geq$ f(3)
    ii) Αρκεί g(x) $\le$ g(1)

4. i) Άρτια    ii) άρτια    iii) τίποτα
    iv) περιττή    v) τίποτα    vi)περιττή.

5. i) Άρτια    ii) τίποτα    iii) περιττή
    iv) περιττή    v) άρτια    vi)άρτια.

6. i) Περιττή    ii) άρτια    iii)τίποτα.

7. i) Άρτια    ii) περιττή    iii) τίποτα.

§ 2.2

Α' Ομάδας

4. i) $f(x) = 2 \cdot (x - 1)^2 + 3$
   ii) $f(x) = -2\cdot (x - 2)^2 - 1.$

6. i) $2(x - 2)^2$    ii)$2(x - 3)^2 - 3$
    iii) $2(x + 2)^2$   iv) $2(x + 3)^2 - 3$

$3^Ο$ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

§ 3.1

Α' Ομάδας

1. x = 3,  y = 3$\sqrt{2}$,  $\hat{ω} = 45^\circ$

2. AB = 1,  AΓ = $\sqrt{3}$.

3. i) 6 rad   ii) 3 rad   iii)2 rad.

4. i) $\dfrac{π}{6}$ rad     ii) $\dfrac{2π}{3}$ rad
    iii) 7π rad   iv) -$\dfrac{33π}{4} rad$

5. i) $18^\circ$    ii) $150^\circ$ iii) $5460^\circ$
    iv) $\dfrac{18000}{π}^\circ$.

6. i) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}$
    ii) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}, \sqrt{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
    iii) 0, -1, 0, δεν ορίζεται.
    iv) 0, 1, 0, δεν ορίζεται.

B' Ομάδας

1. i) $\simeq$ 478, $\simeq$733, $\simeq$1062    ii) $\simeq$58$^\circ$.

2. iii) 2 - $\sqrt{2}$    v) $\dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}.$

3. 12 + 8$\sqrt{3}$ ,   12$\sqrt{3}$.

4. $\simeq$ 573 mm.

§ 3.1

Α' Ομάδας

1. συνx = $-\dfrac{4}{5}$ , εφx = $-\dfrac{3}{4}$, σφx = $-\dfrac{4}{3}$.

2. ημx = $-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, εφx = $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, σφx = $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.

3. σφx = -$\sqrt{3}$, ημx = -$\dfrac{1}{2}$, συνx = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

4. εφx = $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$, ημx = $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, συνx = $\dfrac{2}{3}$.

5. $\dfrac{8\sqrt{5} - 20}{5}$.

6. i) Όχι   ii) όχι   iii) ναι

B' Ομάδας

1. i) $\dfrac{α^2 - 1}{2}$    ii) $\dfrac{2α}{α^2 - 1}$    iii) $\dfrac{2}{α^2 - 1}$
    iv) $\dfrac{α(3 - α^2)}{2}$.

§ 3.3

Α' Ομάδας

1. i) ημ1200$^\circ$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , συν1200$^\circ$ = -$\dfrac{1}{2}$,

    εφ1200$^\circ$ = -$\sqrt{3}$ , σφ1200$^\circ$ = -$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

    ii) ημ(-2850$^\circ$) = $\dfrac{1}{2}$ , συν(-2850$^\circ$) = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,

    εφ(-2850$^\circ$) = $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , σφ(-2850$^\circ$) = $\sqrt{3}$.

2. i) ημ$\dfrac{187π}{6}$ = -$\dfrac{1}{2}$ , συν$\dfrac{187π}{6}$ = -$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

    εφ$\dfrac{187π}{6}$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , σφ$\dfrac{187π}{6}$ = $\sqrt{3}$.

ii) ημ$\dfrac{21π}{4}$ = -$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , συν$\dfrac{21π}{4}$ = -$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ,

    εφ$\dfrac{21π}{4}$ = σφ $\dfrac{21π}{4}$ = 1.

3. $\hat{A} + (\hat{B} + \hat{Γ}) = 180^\circ$ ,

    $\dfrac{\hat{A}}{2} + \left(\dfrac{\hat{B}+\hat{Γ}}{2}\right) = 90^\circ$ .

4. σφα.            6. 1.

B' Ομάδας

1. 0.                 3. 23.

§ 3.4

Α' Ομάδας

5. Μέγιστο το 2 και ελάχιστο το -2. Η περίοδος ισούται με 4π.

6. Μέγιστο το 2 και ελάχιστο το -2. Η περίοδος ισούται με 4π.

B' Ομάδας

1. i) y = ημx , y = ημ$\dfrac{x}{2}$ , y = ημ3x
    ii) y = ημx , y = 3ημx , y = 0,5ημx ,
        y = -2,5ημx .

2. i) Υψηλότερη 3m, χαμηλότερη -3m, διαφορά 6m.

3. i) $\dfrac{2}{3}m$        ii) $\dfrac{2π}{3}$

4. i) 0,1 .

§ 3.5

Α' Ομάδας

1. i) x = λπ, λ $\in \mathbb{Z}$
    ii) x = 2κπ + $\dfrac{π}{4}$   ή   x = 2κπ + $\dfrac{3π}{4}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    iii) x = λπ + $\dfrac{π}{2}$ , λ $\in \mathbb{Z}$

    iv) x = 2κπ $\pm$ $\dfrac{π}{4}$ κ $\in \mathbb{Z}$ .

2. i) x = 2κπ - $\dfrac{π}{6}$   ή   x = 2κπ + $\dfrac{7π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = 2κπ - $\dfrac{π}{2}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    iii) x = 2κπ $\pm$ $\dfrac{3π}{4}$ κ $\in \mathbb{Z}$

    iv) x = 2κπ + π , κ $\in \mathbb{Z}$ .

3. i) x = κπ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = κπ + $\dfrac{π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    iii) x = κπ + $\dfrac{π}{4}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    iv) x = κπ + $\dfrac{π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$ .

4. i) x = κπ - $\dfrac{π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = κπ - $\dfrac{π}{3}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

5. i) x = 2κπ + $\dfrac{π}{2}$   ή   x = 2κπ + $\dfrac{π}{3}$

    ή   x = 2κπ + $\dfrac{2π}{2}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = 2κπ - $\dfrac{π}{4}$   ή   x = 2κπ + $\dfrac{5π}{4}$

    ή   x = 2κπ , κ $\in \mathbb{Z}$

6. i) x = κπ - $\dfrac{π}{3}$   ή   x = κπ + $\dfrac{π}{4}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = 2κπ $\pm$ $\dfrac{2π}{3}$   ή   x = κπ $\pm$ $\dfrac{π}{3}$

    ή   x = κπ + $\dfrac{π}{2}$ , κ $\in \mathbb{Z}$ .

7. i) x = 2κπ + $\dfrac{2π}{5}$

    ή  x = 2κπ + $\dfrac{3π}{5}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = 2κπ $\pm$ $\dfrac{4π}{5}$, κ $\in \mathbb{Z}$

iii) x = κπ + $\dfrac{22π}{45}$, κ $\in \mathbb{Z}$

8. i) $x = \dfrac{6κπ + π}{9}$

    ή   $x = \dfrac{6κπ + 2π}{9}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = 10κπ + 5π , κ $\in \mathbb{Z}$

    iii) $x = \dfrac{42κπ + 7π}{12}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

9. i) x = 2κπ - $\dfrac{5π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) $x = \dfrac{24κπ + 7π}{36}$

    ή   $x = \dfrac{24κπ - π}{36}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    iii) $x = \dfrac{-12κπ - π}{60}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

10. i) ω = 2κπ - $\dfrac{π}{2}$

    ή   ω = 2κπ + $\dfrac{π}{6}$

    ή   ω = 2κπ - $\dfrac{5π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) x = 2κπ $\pm \dfrac{π}{3}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

    iii) t = κπ - $\dfrac{π}{6}$ , κ $\in \mathbb{Z}$

11. i) $x = 2κπ \pm \dfrac{π}{3}$

     ή   $x = 2κπ \pm \dfrac{2π}{3} , κ \in \mathbb{Z}$

     ii) Αδύνατη.

12. i) Μέγιστο για x = π το 3 και ελάχιστο για x = 0 το -3.

ii) Μέγιστο για $x = \dfrac{π}{2}$ , το $g\left(\dfrac{π}{2}\right)$ = 7 και

     ελάχιστο για $ x = \dfrac{3π}{2}$ , το $g\left(\dfrac{3π}{2}\right)$ = -7.

13. i) Ιανουάριος - Μάιος
ii) Μάρτιος.

B' Ομάδας

1. i) $x = κπ - \dfrac{π}{8} , κ \in \mathbb{Z}$

     ii) $x = \dfrac{κπ}{5} + \dfrac{π}{30}, κ \in \mathbb{Z}$.

2. i) $x = κπ +\dfrac{π}{4} , κ \in \mathbb{Z}$

     ii) $x = κπ - \dfrac{π}{4}$

         ή   $x = κπ + \dfrac{2π}{5} ,κ \in \mathbb{Z}$

3. $\dfrac{13π}{4}$ .

4. $\dfrac{π}{2}, \quadπ.$

5. $\dfrac{π}{12}, \quad\dfrac{7π}{2},\quad \dfrac{13π}{12},\quad \dfrac{19π}{12}$.

§ 3.6

Α' Ομάδας

1. i) $\dfrac{1}{2} \quad\quad ii) -\dfrac{1}{2} $

     iii) 1      iv) 0

2. i) συνx      ii) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. i) 1      ii) 1      iii) $\sqrt{3}$      iv) 0.

5. i) ημ3x   ii) $\dfrac{1}{2}$   iii) -εφx
    iv) -σφx .

7. $ημ105^\circ = \dfrac{\sqrt{2} (1 + \sqrt{3})}{4}$ ,

     $συν105^\circ = \dfrac{\sqrt{2} (1 - \sqrt{3})}{4}$ ,

     $εφ105^\circ = -2 - \sqrt{3}$ ,
     $σφ105^\circ = -2 + \sqrt{3}$ ,

     $ημ195^\circ = \dfrac{\sqrt{2} (1 - \sqrt{3})}{4}$ ,

     $συν195^\circ = \dfrac{-\sqrt{2} (1 + \sqrt{3})}{4}$ ,

     $εφ195^\circ = 2 - \sqrt{3}$ ,
     $σφ195^\circ = 2 + \sqrt{3}$.

10. i) $ημ ( α + β) = \dfrac{33}{65}$ ,

     $συν ( α + β) = \dfrac{-56}{65}$ ,

     $εφ ( α + β) = \dfrac{-33}{56}$ ,

    $σφ ( α + β) = \dfrac{-56}{33}$ .

11. i) $x = κπ + \dfrac{π}{6} , κ \in \mathbb{Z}$

     ii) $x = κπ \pm \dfrac{π}{3} , κ \in \mathbb{Z}$

     iii) $x = κπ + \dfrac{π}{4} , κ \in \mathbb{Z}$ .

B' Ομάδας

1. Είναι $\dfrac{ημ(α - β)}{συνασυνβ} = εφα - εφβ \quad κτλ.$

2. ημ (α + 2β) = ημ((α + β ) + β) = ...

3. $x = \dfrac{π}{4} \quad ή \quad x = \dfrac{5π}{4}$ .

4. Είναι $β = \dfrac{π}{4} - α$ , οπότε

    $εφβ = εφ\left(\dfrac{π}{4} - α\right) = ...$

8. $x = \dfrac{π}{6} \quad ή \quad x = \dfrac{2π}{3}$ .

§ 3.7

Α' Ομάδας

1. i) -1     ii) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$     iii) 0

    iv) -$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

2. i) ημ4α    ii) ημ2α

    iii) εφ6α.

4. i) $ημ2α = \dfrac{24}{25}$ ,    $ συν2α = \dfrac{7}{25}$ ,

      $εφ2α = \dfrac{24}{7}$ ,    $σφ2α = \dfrac{7}{24}$ .

5. $ εφ(α + 2β) = \dfrac{16}{13}$

7. i) x = 2κπ   ή   x = 2κπ + π , κ $\in \mathbb{Z}$

    ii) $x = 2κπ \pm \dfrac{2π}{3}$ ή $x = 2κπ + \dfrac{π}{2}, κ \in \mathbb{Z}$ .

8. $ημ\dfrac{π}{16} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}$ ,

     $συν\dfrac{π}{16} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2}$,

$εφ\dfrac{π}{16} = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}$,

$σφ\dfrac{π}{16} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}$ .

9. i) $ημ\dfrac{α}{2} = \sqrt{\dfrac{4}{13}} , \quad συν\dfrac{α}{2} = \sqrt{\dfrac{9}{13}}$ ,

       $εφ\dfrac{α}{2} = \dfrac{2}{3}, \quad σφ\dfrac{α}{2} = \dfrac{3}{2}$ .

     ii) $ημ\dfrac{α}{2} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} , \quad συν\dfrac{α}{2} = -\sqrt{\dfrac{4}{5}}$ ,

         $εφ\dfrac{α}{2} = -\dfrac{1}{2}, \quad σφ\dfrac{α}{2} = -2$ .

10. i) $x = 2κπ \pm \dfrac{π}{2} \quad ή \quad x = 2κπ \pm \dfrac{2π}{3},$
          $ κ \in\mathbb{Z}$
      ii) $x = 2κπ \pm \dfrac{π}{3} , κ \in\mathbb{Z}$
     iii) $x = 2κπ \pm \dfrac{π}{2} , κ \in\mathbb{Z}$
      iv) $x = 2κπ + π , κ \in\mathbb{Z}$ .

B' Ομάδας

3. Είναι $\dfrac{π}{8} + \dfrac{3π}{8} = \dfrac{π}{2}$ , οπότε

     $συν\dfrac{3π}{8} = ημ\dfrac{π}{8} ...$

6. i) $x = 2κπ \pm \dfrac{π}{2}$   ή   $x = 2κπ + \dfrac{π}{6}$

        $x = 2κπ + \dfrac{5π}{6} , κ \in\mathbb{Z}$

     ii) $x = κπ + \dfrac{π}{3}$   ή   $x = κπ - \dfrac{π}{3} , κ \in\mathbb{Z}$.

§ 3.8

Α' Ομάδας

1. i) $\dfrac{1}{4}$,      ii) $\dfrac{\sqrt{3} + 2}{4}$

iii) $-\dfrac{1}{4}$       iv)$\dfrac{1}{4}$ .

2. i) ημ3x - ημχ
    ii) συν2x - συν6x
    iii)συν2x + συν8x
    iv) $\dfrac{1}{2}(ημ8x - ημ4x)$

    v) $\dfrac{1}{2} συν2x$.

3. i) $x = \dfrac{κπ}{3}$   ή   $x = \dfrac{2κπ + π}{10} , κ \in\mathbb{Z}$

    ii) $x = \dfrac{2κπ + π}{8} \quad ή \quad \dfrac{2κπ - π}{2} , κ \in\mathbb{Z}$

4. i) $\dfrac{\sqrt{6}}{2} \quad ii) -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad iii) 0 .$

5. i) 2ημ3xσυνx    ii) -2ημ4xημx
    iii) 2συν2x $\cdot$ 2συνx
    iv) $2ημ^2\left(\dfrac{π}{4} + \dfrac{x}{2}\right)$

    v) $2συν^2\dfrac{x}{2}$.

8. i) $x = κπ \pm \dfrac{π}{4}$   ή   $x = 2κπ + \dfrac{π}{6}$

    ή   $x = 2κπ + \dfrac{5π}{6}, κ \in\mathbb{Z}$

    ii) $x = κπ - \dfrac{π}{12}$   ή   $x = κπ + \dfrac{7π}{12}$

    ή   $x = \dfrac{κπ}{3}, κ \in\mathbb{Z}$

    iii) $x = \dfrac{κπ}{6}$   ή   $x = \dfrac{6κπ + 2π}{9}$

    ή   $x = \dfrac{6κπ - 2π}{9}, κ \in\mathbb{Z}$.

B' Ομάδας

1. Μετασχηματίζουμε τα γινόμενα σε αθροίσματα.

4. Μετασχηματίζουμε τα αθροίσματα σε γινόμενα.

5. Είναι Α + Β + Γ = π οπότε...

§ 3.9

Α' Ομάδας

1. i) 2π , 2 , -2    ii) 2π , 1 , -1 .

2. i) f(x) = $2ημ\left(x + \dfrac{11π}{6}\right)$

   ii) f(x) = $\sqrt{2}ημ\left(x + \dfrac{3π}{4}\right)$

   iii) f(x) = $2ημ\left(x + \dfrac{4π}{3}\right)$

   iv) f(x) = $\sqrt{2}ημ\left(x - \dfrac{π}{4}\right)$.

4. i) $x = 2κπ - \dfrac{4π}{3} , κ \in\mathbb{Z}$

   ii) $x = 2κπ - \dfrac{π}{2}$

        ή   x = 2κπ , $κ \in\mathbb{Z}$

   iii) $x = 2κπ - \dfrac{7π}{12}$

        ή   x = 2κπ + $\dfrac{11π}{12} , κ \in\mathbb{Z}$.

B' Ομάδας

4. ω = $\dfrac{π}{12}$   ή   ω = $\dfrac{5π}{12}$ .

2. i) (ΟΑ) + (ΟΒ) = 2$\sqrt{2}ημ\left(θ + \dfrac{π}{4}\right)$

   ii) $θ = \dfrac{π}{4}$ , μέγιστη τιμή του

       (OA) + (OB) = 2$\sqrt{2}$.

3. i) 16, -10
    ii) $2\sqrt{2} + 2$,   $ -2\sqrt{2} + 2.$

4. $x = κπ + \dfrac{π}{24}$   ή   $x = κπ + \dfrac{7π}{24} , κ \in\mathbb{Z}$.

5. ii) $θ = \dfrac{π}{4}$ , ελάχιστη τιμή του
    $h = 40(\sqrt{2} - 1)$

6. ii) $θ = \dfrac{π}{8}$ , μέγιστη τιμή του
    $Ρ = 1 + \sqrt{2}$ .

§ 3.10

Α' Ομάδας

1. $ΑΒ \simeq 284 m$

2. $ΒΔ \simeq 1,58 m$

5. $θ \simeq 115^\circ$

6. $ΑΒ \cong 51,2 m$

7. $θ \simeq 60,25^\circ$

B' Ομάδας

1.-5. Εφαρμόζουμε το νόμο των ημιτόνων.

6.-7. Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων.

8.-10. Εφαρμόζουμε τον τύπο $E = \dfrac{1}{2}βγημΑ.$

11. $Α\hat{O}B = 30^\circ$ .

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3. Αρκεί να δείξετε οτι (ΜΚ) = 2.

4. i) $x = 2κπ \pm \dfrac{π}{3} , κ \in\mathbb{Z}$

ii) $x = 2κπ + \dfrac{π}{6}$
     ή   $x = 2κπ + \dfrac{5π}{6} , κ \in\mathbb{Z}$.

6. $\dfrac{13π}{3}$.

7. i) $(10 + 2\sqrt{2})m, \quad 14m$,
        $(10 -2\sqrt{2})m$

    ii) $10 + 4ημ\left(\dfrac{π(t + 1)}{4}\right)$ .

9. $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},$    $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$    $-\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

12. $x = 2κπ + \dfrac{π}{4}$

       $x = \dfrac{2κπ}{3} + \dfrac{π}{4} , κ \in\mathbb{Z}$

13. ii) S = $200\sqrt{2}ημ\left(2θ + \dfrac{π}{4}\right)+ 200$

     iii) θ = $\dfrac{π}{8}$ , $S_{max} = 200(\sqrt{2} + 1)$.

15. Β = $60^\circ$, $Γ = 45^\circ$.

4^o ΚΕΦΑΛΑΙΟ

§ 4.1

A' Ομάδας

1. i) Ναι   ii) Ναι   iii) Όχι
   iv) Όχι.

2. Πράξεις.

3. $μ = \dfrac{1}{2}$.

4. α = 1.

5. i) -1 ρίζα   ii) -1, 1 ρίζες.

6. k = 6.

7. α = 1   ή   α = 2.

B' Ομάδας

1. α = 3 ,  β = -10 ,  γ = 5.

2. α = -2 ,  β = -19 .

3. λ = -3,  μ = -5.

4. Εξετάζουμε τις περιπτώσεις

   i) $λ \neq 0, \dfrac{2}{3} , -\dfrac{2}{3}$   ii) λ=0,

   iii) λ = $\dfrac{2}{3}$ ,    iv) λ = $-\dfrac{2}{3}$.

5. P(x) = $x^2 - 5x + 1$.

§ 4.2

A' Ομάδας

1. i) π(x) = $3x^2 - 3x - 8 , \quad υ(x) = 44$
   ii) π(x) = $x^3 + 3x^2 + 9x + 27 ,\quad υ(x) = 0$

   iii) π(x) = $4x^3 - \dfrac{16}{6}, \quad υ(x) = -\dfrac{5}{3}$

   iv) π(x) = $2x^2 + 1, \quad υ(x) = x + 1$
   v) π(x) = $x + 3, \quad υ(x) = 6x^2 - 8x + 3$
   vi) π(x) = $x^2, \quad υ(x) = x^2 + 7$.

2. υ = 14.

3. k = 1 ή k = -4.

4. i) π(x) $= -x^2 + 10x - 25, \quad υ = 0$
   ii) π(x) $= x^2 - 8x + 64, \quad υ = 0$
   iii) π(x) $= x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, \quad υ = 2$
   iv) $π(x) = -3x^3 - 6x^2 - 12x - 24$,
        $υ=-48$
   v) π(x) $= 4x^2 + 14x - 30$, $υ = 0$.

5. P(-11) = 4840 .

6. Εργαζόμαστε με σχήμα Horner.

7. Αν P(x) = $x^ν - y^ν$ αποδείξτε οτι P(-y) = 0.

8. Παρατηρούμε οτι P(ρ) > 0 ενώ Q(ρ) < 0.

9. Για P(x) = $x^ν + 1$ είναι P(-1) = 0.

10. θεωρούμε το διαιρετέο και το διαιρέτη ως
      πολυώνυμα του x.

B' Ομάδας

1. Γράφουμε $x^μ - α^μ = x^{ρν} - α^{ρν} κτλ.$

2. i) Γράφουμε P(x) = (αχ + β)π(x) + υ
   ii) β = 0 ή α = β ή α = -β.

3. Σχήμα Horner διαδοχικά με x - 1 και x - 2.

4. Είναι P(0) = 0 , P(-1) = 0,

    $P\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 0.$

5. α = v, β = -1 - ν.

§ 4.3

A' Ομάδας

1. i) 0, $\sqrt{\dfrac{6}{5}}$, $-\sqrt{\dfrac{6}{5}}$       ii) -2, 3, -3

     iii) 0, 1, -1 , -$\dfrac{5}{3}$      iv) 2, -2    v) 1

    vi) 1, 2, -3      vii) -2

    viii) $-\dfrac{2}{3} , 1 , -\dfrac{13}{22}$

    ix) -2, 9 + 4$\sqrt{5}, 9 - 4\sqrt{5}$

    x) $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 1, 2.$

2. i) 2   ii) 1, -4   iii) -2    iv) -1.

3. i) Οι $\pm1, \pm2$ δεν είναι ρίζες.
   ii) Οι $\pm1, \pm5$ δεν είναι ρίζες.

6. i) x > -2    ii) x = 1   iii) x < -2
    iv) x ≤ -1    ή    x ≥ 2.

7. i) (2, 0)    ii) (1, 0), $\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$.

8. 2 - $\sqrt{5}$ < x < 0    ή    1 < x < 2 + $\sqrt{5}$

9. i) 2, -2    ii) 2, 3    iii) $-\dfrac{3}{5}$ , 2.

B' Ομάδας

1. i) 1, -2 , -4     ii) 3, 2, -15.

2. -1 , 2 , -2 , -3.

3. -3 , 1 , -7 , -11.

4. Οι διαιρέτες τους 2 για λ ∈ $\mathbb{Z}$ δεν επαληθεύουν την εξίσωση.

5. 1, -1, -$\sqrt{2 + 3\sqrt{2}} , \sqrt{2 + 3\sqrt{2}}$.

6. 3, 7, 1.

7. t $\simeq$ 4,6 ,   c $\simeq$ 0,45 .

8. x = 3m.

9. v = 20 ημέρες.

10. t = 3 sec.

11. y + 4x ≤ 108 και $x^2y$ = 11664,
      x = 18 cm, y = 36cm.$

12. i) y = 5x - 3
    iii) $x_1$ = 1 διπλή, $x_2$ = -3 και Γ(-3, -18).

§ 4.4

A' Ομάδας

1. i) x = -3     ii) -$\sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$.

2. x = 2κπ +$\dfrac{π}{6}$
    ή x = (2κ + 1)π - $\dfrac{π}{6}$ , κ ∈ $\mathbb{Z}$.

3. i) 0 , 16      ii) 6      iii)αδύνατη
    iv) 69, -59      v) -1, 2      vi) 36
    vii) 4, 16      viii) 0, 4.

6. x ≤ -1   ή   x > 0.

B' Ομάδας

1. i) $-\dfrac{3}{2}$ ≤ x < -$\dfrac{2}{5}$
    ii) περιπτώσεις x - 5 < 0 ,
    x - 5 ≥ 0.

2. i) 4          ii) 8.

3. i) -3, 2           ii) 5.

4. i) Περιπτώσεις α < 0 , α ≥ 0

    ii) περιπτώσεις x < $\dfrac{λ}{2}$ ,   x ≥ $\dfrac{λ}{2}$ .

5. x = 2κπ + $\dfrac{π}{2}$ ή x = 2κπ + $\dfrac{π}{6}$ ή

    x = (2κ + 1)π - $\dfrac{π}{6}$, κ ∈ $\mathbb{Z}$

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να θεωρήσετε τη διαφορά
    $P(x) - (x^2 + x + 1) = $
    $x^{3ν} - 1 + x^{3μ+1} - x + x^{3ρ+2} - x$

2. i) Γραψτε
    $f(x) = vx^v(x - 1) - (x^v - 1)=$

...=(x - 1)P(x)
και P(x) = (x - 1)π(x)
   ii) Γράψτε g(x) = (x - 1)P(x)
       και P(x) = (x - 1)Q(x) και
       Q(x) = (x - 1) π(x).

3. Να διαιρέσετε με $x^2$ και μετά να
    θέσετε $x + \dfrac{1}{x}$ = y.

4. Να διαιρέσετε με $x^2$ και να
    θέσετε στην
    i) $χ - \dfrac{2}{x}$ = y ,   ii) $x - \dfrac{1}{x}$ = y.

5. Να θέσετε $x^2 + 2x -1 = y$ , οπότε
    $x^2 + 2x + 3 = y + 4$ .

7. Στην ταυτότητα της διαίρεσης να
   θέσετε $x = \sqrt{2}$.

8. i) Με σχήμα Horner βρίσκουμε
    οτι P(11) = 10.
    ii) Γράψτε το
    $P(x) = x^{17} - 1 - 12x \cdot \dfrac{x^{16} - 1}{x + 1}$ κ.τλ.

9. i) x = 1 εκατομ. χρόνια    ii) αρχίζει σε 3
   εκατομ. χρόνια και διαρκεί 3 εκατομ.
   χρόνια.

5^o ΚΕΦΑΛΑΙΟ

§ 5.1

A' Ομάδας

2. i) x = 6     ii) x = 3     iii) x = -2
    iv) x = 4    v) x = -3    vi) $x = \dfrac{1}{5}$

3. i) x = 1    ii) x = -1   ή   x = 1
   iii) x = 2.

4. i) 2 < x < 3     ii) x > 5     iii) x < 5.

5. i) x = 0 και y = 0   ii) x = 2 και y = 1.

B' Ομάδας

1. i) $\dfrac{1}{2} \lt α \lt 1$     ii) $ 1 \lt α \lt 2 $

   iii) $\dfrac{1}{2} \lt α \lt 2 $ με α $\neq$ 1.

2. i) x = 0 ή x = 2,    ii) x = 1,
   iii) x = -1,   iv) $x = \dfrac{3}{2}$,   v) $x = \dfrac{3}{2}$.

3. i) (x = 1 και y = 1) ή
       (x = 3 και y = 2)   ii) x = 1 και y = 3.

6. i) Q(t) = 5 $\cdot(0,8)^t$
   iii) 0,0000132.

7. ii) 3,86gr      iii)0,001.

8. i) T(t) = 40 $\cdot (0,85)^t$,   $0 \le t \le 6$
    ii) 15085 ευρώ.

9. i) 1,    0,606,    0,368,    0,223,
    0,135 ,    0,082
    ii) α) x = 0    β) x = 5.

10. i)1,    0,135,    0,018,    0,002
     ii) α) t = 1    β) t = 0.

11. ii) α) t = k$\cdot$RC, όπου k = 1, 2, 3, ...
      β) t = k$\cdot$RC, όπου k = 3, 4, 5,...

§ 5.2

A' Ομάδας

1. i) -3    ii) $-\dfrac{1}{2}$    iii) -5    iv) $\dfrac{1}{4}$    v) 8
      vi) -3.

2. i) 1000    ii)$\dfrac{1}{2}$    iii) $\sqrt[3]{2}$

3. i) 2    ii) 4    iii) $\sqrt[3]{10}$

5. $6^h \cdot 46^{min}.$

6. i) -0,000126    ii) 89308 Pascals.

7. i) m = 5    ii) 100 φορές.

8. i) -0,16    ii) 55070 μονάδες.

B' Ομάδας

1. i) $\dfrac{4}{3}$    ii) 2.

7. Είναι $log_αβ = \dfrac{logβ}{logα}$ κτλ.

8. Να χρησιμοποιήσετε τον τύπο αλλαγής
    βάσης με νέα βάση το 10.

§ 5.3

A' Ομάδας

3. i) f(x) = $2^x$ και g(x) = $log_{\sqrt[4]{2}}x$
    ii) f(x) = $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ , ενώ η g δεν ορίζεται.
    iii) g(x) = $log_\frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}x$, ενώ η f δεν ορίζεται.
    iv) Δεν ορίζονται οι f, g.

4.

5. i) x = $\sqrt{3}$       ii) x = 2

   iii) x = 1    ή    x = 100     iv) x = 1.

6. i) x = log2        ii) x $\cong$ 4,4190

8. Όξινο αν pH < 7 και βασικό αν pH > 7.

B' Ομάδας

3. x = 4.

5. i) x = 1 ή x = 10000
    ii) x = $e^{\pm1}$ ή x = $e^{\pm2}$.

6. x = 10.

7. i) (x = 2 και y = 8)    ή    (x = 8 και y = 2)
    ii) x = 2 και y = 4   iii) x = $\dfrac{1}{2}$ και y = 1.

8. i) 1 < x < 100   ii) 2 < x < 4
    iii) 0 < x < 0,1    ή    x > 10.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. i) x = 0    ή    x = 3    ή    x = $\dfrac{5}{3}$
       ή    x = 1    ii) x = 0    ή    x = 1
       ή    x =-3    ή    x = -1.

5. x = 0,1    ή    x = 5.

6. x = $\dfrac{π}{4}$.

7. x = $\dfrac{π}{4}$.

8. x > 0.