φωτογραφία φόντου

Μαθηματικα
B Γυμνασιου

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ

Περιγραφη

Μαθηματικά Β' ΓυμνασίουΤο βιβλίο «Μαθηματικά Β' Γυμνασίου» αποτελείται από δύο μέρη τα οποία θα μελετηθούν παράλληλα και αρκετές φορές συμπληρωματικά.

Στο πρώτο μέρος, η Άλγεβρα ξεκινά με εξισώσεις και ανισώσεις α' βαθμού, ενώ στο δεύτερο μέρος η Γεωμετρία ξεκινά με τα εμβαδά επίπεδων σχημάτων τα οποία οδηγούν στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Στη Γεωμετρία το Πυθαγόρειο θεώρημα θα μελετηθεί μόνο για ρητούς αριθμούς και κατόπιν θα αποτελέσει τη βάση για την εισαγωγή των άρρητων αριθμών στο δεύτερο κεφάλαιο της Άλγεβρας. Γνωρίζοντας τους πραγματικούς αριθμούς μπορούμε να μελετήσουμε την Τριγωνομετρία, η οποία καταλαμβάνει τις περισσότερες παραγράφους του δεύτερου κεφαλαίου του δευτέρου μέρους, το οποίο ολοκληρώνεται με τα διανύσματα.

Στη συνέχεια η πορεία των δύο μερών του βιβλίου γίνεται σχεδόν ανεξάρτητη. Το πρώτο μέρος ολοκληρώνεται με την παρουσίαση βασικών συναρτήσεων και την περιγραφική Στατιστική, ενώ το δεύτερο με τη μέτρηση κύκλου και τη μελέτη και μέτρηση γεωμετρικών στερεών.

Αναλυτικο Προγραμμα

Για το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα του μαθήματος, μεταβείτε στην αντίστοιχη ενότητα ακολουθώντας τον σύνδεσμο 'Προγράμματα Σπουδών'.

Στοχοι

Με κατάλληλες δραστηριότητες οι μαθητές αναμένεται να καταστούν ικανοί να:­
  • Εκτελούν με ευχέρεια τις πράξεις μεταξύ των ρητών αριθμών και να εκτιμούν τα αποτελέσματά τους.
  • Χρησιμοποιούν το σχετικό αλγόριθμο για τη λύση μιας εξίσωσης ή ανίσωσης με έναν άγνωστο.
  • Εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
  • Υπολογίζουν μήκη, εμβαδά και όγκους γεωμετρικών σχημάτων.
  • Συλλέγουν, οργανώνουν   στατιστικά δεδομένα, παρουσιάζουν  γραφικά τις κατανομές τους  και υπολογίζουν βασικές παραμέτρους.
  • Αναγνωρίζουν τα διανυσματικά μεγέθη και εκτελούν τις βασικές πράξεις διανυσμάτων.
  • Χρησιμοποιούν κατάλληλες στρατηγικές για την επίλυση προβλημάτων.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 1ο: Εξισώσεις - Ανισώσεις

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 1ο: Εξισώσεις - Ανισώσεις­­Στο κεφάλαιο αυτό θα μάθουμε να χρησιμοποιουμε μεταβλητές, να λύνουμε εξισώσεις και ανισώσεις, θα αναζητήσουμε επίσης τρόπους να εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή, για να λύνουμε προβλήματα της καθημερινής ζωής.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

1.1 - Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις
1.2 - Εξισώσεις α' βαθμού
1.3 - Επίλυση τύπων
1.4 - Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων
1.5 - Ανισώσεις α' βαθμού

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

μεταβλητή, αλγεβρικές παράσταση, αναγωγή ομοίων όρων, εξισώση α' βαθμού, ανίσωση α' βαθμού

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 2ο: Πραγματικοί Αριθμοί

­­Μέχρι τώρα έχουμε συναντήσει φυσικούς, ακέραιους και ρητούς αριθμούς. Στους τελευταίους είχαμε εξετάσει τη δεκαδική τους παράσταση, η οποία ηταν γνωστή σε απλή ή περιοδική μορφή. Υπάρχει όμως και ένα άλλο σύνολο αριθμων, οι άρρητοι, τους οποίους εξετάζουμε στο κεφάλαιο αυτό. Οι άρρητοι μαζί με τους ρητούς σχηματίζουν τους πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι τοποθετούνται με πλήρη τρόπο πάνω σε μια ευθεία που την ονομάζουμε ευθεία των πραγματικών αριθμων. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την εφαρμογή προσεγγίσεων των άρρητων στην επίλυση προβλημάτων.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

2.1 - Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού
2.2 - Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί
2.3 - Προβλήματα

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

τετραγωνική ρίζα, θετικός αριθμός, άρρητος αριθμός, πραγματικός αριθμός

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 3ο: Συναρτήσεις

­­Η συνάρτηση αποτελεί θεμελιώδη έννοια των Μαθηματικών και χρησιμοποιείται σε όλες τις θετικές επιστήμες. Στο κεφάλαιο αυτό θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε την έννοια της συνάρτησης και θα μελετήσουμε τη γραφική παράσταση συναρτήσεων σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Θα εξετάσουμε έτσι τις συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις γραφικές παραστάσεις της ευθείας και της υπερβολής.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

3.1 - Η έννοια της συνάρτησης
3.2 - Καρτεσιανές συντεταγμένες - Γραφική παράσταση συνάρτησης
3.3 - Η συνάρτηση y=ox
3.4 - Η συνάρτηση y=ox + β
3.5 - Η συνάρτηση y=α/x - Η υπερβολή

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :συνάρτηση, καρτεσιανές συντεταγμένες, σύστημα συντεταγμένων, γραφική παράσταση συνάρτησης, μεταβλητή, υπερβολή

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 4ο: Περιγραφική Στατιστική

­­Η Στατιστική αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της ζωής μας. Τα αποτελέσματα των εκλογών, οι προτιμήσεις των καταναλωτών, οι μονάδες τηλεθέασης αποτελούν μερικά μόνο παραδείγματα χρήσης της Στατιστικής. Αφού μελετήσουμε τις βασικές έννοιες, θα εξετάσουμε πώς τα στατιστικά αποτελέσματα παριστάνονται γραφικά μέσω διαγραμμάτων. Θα γνωρίσουμε, τέλος, τον τρόπο με τον οποίο ομαδοποιούμε παρατηρήσεις και θα μελετήσουμε δύο χαρακτηριστικές τιμές μιας στατιστικής έρευνας: τη μέση τιμή και τη διάμεσο.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

4.1 - Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα
4.2 - Γραφικές Παραστάσεις
4.3 - Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων
4.4 - Ομαδοποίηση παρατηρήσεων
4.5 - Μέση τιμή - Διάμεσος

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

πληθυσμός, μεταβλητή, δείγμα, δειγματοληψία, δημοσκόπηση, μέγεθος του δείγματος, αντιπροσωπευτικό, απογραφή, εικονογράμματα, κλίμακα, τίτλος κάθε στήλης, ραβδογράμματα, κυκλικά διαγράμματα, χρονογράμματα, συχνότητες, διαλογή, κατανομή συχνοτήτων, σχετική συχνότητα, πίνακας κατανομής συχνοτήτων, κλάσεις, ιστόγραμμα, κέντρο της κλάσης, άκρα της κλάσης, μέσος όρος, μέση τιμή, ομαδοποιημένης κατανομή, εκτίμηση της μέσης τιμής, πίνακες, διάμεσος

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο: Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο Θεώρημα

­­Οι πλημμύρες του Νείλου, του Τίγρη και τον Ευφράτη, πριν από περίπου τρεις χιλιετίες, ανάγκασαν τους λαούς που κατοικούσαν στην περιοχή να αναπτύξουν την «τέχνη» της μέτρησης της γης (Γεω-μετρία). Τότε αναπτύχθηκε η έννοια του εμβαδού, την οποία θα μελετήσουμε στο κεφάλαιο αυτό. Θα μάθουμε τις βασικές μονάδες μέτρησης εμβαδών, καθώς και τους τύπους υπολογισμού του εμβαδού: τετραγώνου, ορθογωνίου, παραλληλογράμμου, τριγώνου και τραπεζίου. Στο τέλος του κεφαλαίου θα μελετήσουμε  το Πυθαγόρειο θεώρημα και θα εξετάσουμε αρκετές εφαρμογές του.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

1.1 - Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας
1.2 - Μονάδες μέτρησης επιφανειών
1.3 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων
1.4 - Πυθαγόρειο θεώρημα

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

ορθογώνιο, ορθογώνιο τρίγωνο, εμβαδόν, μονάδα μέτρησης επιφάνειας, τετραγωνικό μέτρο, τετραγωνικό δεκατόμετρο, τετραγωνική παλάμη, τετραγωνικό εκατοστόμετρο, τετραγωνικός πόντος, τετραγωνικό χιλιοστόμετρο, στρέμμα, τετραγωνικό χιλιόμετρο, εμβαδόν τετραγώνου, εμβαδόν ορθογωνίου, εμβαδόν παραλληλογράμμου, εμβαδόν τυχαίου τριγώνου, εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου, εμβαδόν τραπεζίου, υποτείνουσα

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 2ο: Τριγωνομετρία - Διανύσματα

­­Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ και τα ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ.

Η Τριγωνομετρία, όπως προδίδει και το όνομά της, ασχολείται με τη μέτρηση των τριγώνων και για την ακρίβεια με τη μέτρηση των στοιχείων των τριγώνων. Είναι ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα των Μαθηματικών που αναπτύχθηκε από πολύ παλιά, από τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι τη χρησιμοποίησαν με θαυμαστά αποτελέσματα. Ιδιαίτερα εύστοχη ήταν η εκτίμηση του Γάλλου μαθηματικού D'Alembert το 1789: «Η τριγωνομετρία είναι η τέχνη να βρίσκεις τα άγνωστα στοιχεία ενός τριγώνου με τα λιγότερα μέσα που διαθέτεις». Εμείς θα περιοριστούμε στη μελέτη των τριγωνομετρικών αριθμών (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) οξείας γωνίας. Θα εξετάσουμε τις μεταβολές τους και θα τους χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε αρκετά προβλήματα.

Στη συνέχεια, στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου θα μελετήσουμε τα διανύσματα, μια έννοια γνωστή κυρίως από τη Φυσική. Χρησιμοποιώντας διανύσματα μπορούμε να παραστήσουμε διάφορα φυσικά μεγέθη, όπως τη δύναμη, την ταχύτητα κ.ά., στα οποία εκτός από το μέτρο τους είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε και την κατεύθυνσή τους. Είναι, λοιπόν, πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε τα στοιχεία ενός διανύσματος, να μπορούμε να κάνουμε πράξεις μ' αυτά, καθώς και να τα αναλύουμε σε συνιστώσες. Αρκετές δραστηριότητες από την καθημερινή μας ζωή και αρκετά παραδείγματα από τη Φυσική θα μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε πλήρως τη χρήση των διανυσμάτων.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

2.1 - Εφαπτομένη οξείας γωνίας
2.2 - Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας
2.3 - Μεταβολές ημιτόνου, συνημίτονου και εφαπτομένης
2.4 - Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30°, 45° και 60°
2.5 - Η έννοια του διανύσματος
2.6 - Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων
2.7 - Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, οξεία γωνία, απέναντι κάθετη, προσκείμενη κάθετη, ημίτονο, συνημίτονο, υποτείνουσα, αστρολάβος, τριγωνομετρικοί αριθμοί, διανυσματικά μεγέθη, αρχή και πέρας διανύσματος, διεύθυνση διανύσματος, φορά διανύσματος, μέτρο διανύσματος, βαθμωτό (αριθμητικό) μέγεθος, άθροισμα διανυσμάτων, μέθοδος του πολυγώνου, μέθοδος του παραλληλογράμμου, διαφορά δύο διανυσμάτων, μηδενικό διάνυσμα, συνιστώσες, μέτρα συνιστωσών

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 3ο: Μέτρηση Κύκλου

­­Το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, το οποίο ηταν ενα απο τα τρία περίφημα άλυτα προβλήματα της Αρχαιότητας, οδήγησε στην προσπάθεια εκτίμησης της τιμής του αριθμού π, του πιο διάσημου από όλους τους αριθμούς. Ο αριθμός π προκύπτει φνσιολογικά απο τη μετρηση τον κύκλον, η οποία είναι το κύριο αντικείμενο αυτού του κεφαλαίου. Θα εξετάσονμε, επιπλέον, τα κανονικά πολύγωνα: πολύγωνα με ισες πλευρές και ίσες γωνίες. Είναι πολύ γνωστά σχήματα σ' εμάς, αλλά τώρα θα μελετήσουμε διεξοδικά τα στοιχεία τους και την κατασκευή τους.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

3.1 - Εγγεγραμμένες γωνίες
3.2 - Κανονικά πολύγωνα
3.3 - Μήκος κύκλου
3.4 - Μήκος τόξου
3.5 - Εμβαδόν κυκλικού δίσκου
3.6 - Εμβαδόν κυκλικού τομέα

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

σχήματα του χώρου, τρεις διαστάσεις, γεωμετρία του χώρου, παράλληλα επίπεδα, τεμνόμενα επίπεδα, ευθεία του επιπέδου, παράπλευρες έδρες, παράπλευρη επιφάνεια, όγκος, μονάδες μέτρησης όγκου, βάση πυραμίδας, κανονική πυραμίδα, όγκος πυραμίδας, κέντρο σφαίρας, κύκλος σφαίρας, γήινη σφαίρα, υδρόγειος σφαίρα, άξονας περιστροφής της Γης, ισημερινός, ημισφαίρια, παράλληλος του τόπου, πρώτος μεσημβρινός, μεσημβρινός του τόπου, γεωγραφικό μήκος, γεωγραφικό πλάτος

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 4ο: Γεωμετρικά Στερεά - Μέτρηση Στερεών

­­Ο φυσικός κόσμος στον οποίο ζούμε και όλα τα άψυχα αντικείμενα, καθώς και τα έμψυχα όντα που μας περιβάλλουν, αποτελούν τον «χώρο». Τα σχήματα του χώρου διακρίνονται σε επίπεδα και στερεά και αποτελούνται από επιφάνειες, γραμμές και σημεία. Οι επιφάνειες έχουν δύο διαστάσεις και διακρίνουν τα αντικείμενα μεταξύ τους, οι γραμμές έχουν μία διάσταση και τα σημεία καμία.

Η Γεωμετρία του χώρου είναι η επιστήμη που μελετά τα στερεά σώματα και τις ιδιότητές τους στον χώρο. Η Στερεομετρία ασχολείται με τη μέτρηση των όγκων των διαφόρων στερεών σχημάτων: των πρισμάτων, των κυλίνδρων, της σφαίρας κ.ο.κ. Ο χώρος έχει τρεις διαφορετικές διαστάσεις: μήκος, πλάτος και ύψος και εκτείνεται απεριόριστα. Η Στερεομετρία αποτελεί σημαντικό μέρος της καθημερινής μας ζωής: από μία απλή παραγγελία ταπετσαρίας για το δωμάτιο μας έως το σχεδιασμό κτιρίων στην Αρχιτεκτονική. Δεν είναι όμως και λίγες οι επιδράσεις της στην Τέχνη: ζωγραφική, γλυπτική κ.ά. Η Γεωμετρία του χώρου βρίσκει σημαντικές εφαρμογές και σε άλλες επιστήμες. Στη Βιολογία και στην Ιατρική η μελέτη του εγκεφάλου ή και άλλων οργάνων του σώματος γίνεται με έντονη την παρουσία εννοιών της Στερεομετρίας. Οι εφαρμογές της Γεωμετρίας του Χώρου είναι πολλές αναδεικνύοντας τη γνώση της Στερεομετρίας σε ένα αναπόσπαστο κομμάτι της καθημερινής μας ζωής, της Τέχνης και της Επιστήμης.

Ειδικότερα το κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνει τις παρακάτω υποενότητες:

4.1 - Ευθείες και επίπεδα στο χώρο
4.2 - Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου
4.3 - Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου
4.4 - Η πυραμίδα και τα στοιχεία της
4.5 - Ο κώνος και τα στοιχεία του
4.6 - Η σφαίρα και τα στοιχεία της
4.7 - Γεωγραφικές συντεταγμένες

Βασικοί Όροι - Λέξεις κλειδιά :

σχήματα του χώρου, τρεις διαστάσεις, γεωμετρία του χώρου, παράλληλα επίπεδα, τεμνόμενα επίπεδα, ευθεία του επιπέδου, παράπλευρες έδρες, παράπλευρη επιφάνεια, όγκος, μονάδες μέτρησης όγκου, βάση πυραμίδας, κανονική πυραμίδα, όγκος πυραμίδας, κέντρο σφαίρας, κύκλος σφαίρας, γήινη σφαίρα, υδρόγειος σφαίρα, άξονας περιστροφής της Γης, ισημερινός, ημισφαίρια, παράλληλος του τόπου, πρώτος μεσημβρινός, μεσημβρινός του τόπου, γεωγραφικό μήκος, γεωγραφικό πλάτος