Στατιστικη
Γ Γενικου Λυκειου - ΕπιλογηΣ

Καθημερινά ακούμε ή διαβάζουμε τα αποτελέσματα διαφόρων δημοσκοπήσεων ή μελετών. Οι μελέτες αυτές γίνονται από εταιρείες που ενδιαφέρονται για τη διάθεση των προϊόντων τους, από πολιτικά κόμματα που ανυπομονούν να μάθουν για την εκλογική τους δύναμη, από έντυπα ποικίλης ύλης ή πιθανώς και από κάποια ομάδα μαθητών που ενδιαφέρεται να καταγράψει και αναλύσει χαρακτηριστικά των συμμαθητών της όπως: ύψος βάρος, ομάδα αίματος, φύλο. Το κοινό στις μελέτες αυτές είναι ότι όλες έχουν στόχο τη μελέτη των χαρακτηριστικών μιας συγκεκριμένης ομάδας. Η ομάδα αυτή που μπορεί να αποτελείται από έμβια όντα, αντικείμενα, φαινόμενα ή μετρήσεις σαφώς καθορισμένων χαρακτηριστικών των μονάδων ή ατόμων της αποτελεί ένα στατιστικό πληθυσμό. Η μελέτη των χαρακτηριστικών ενός στατιστικού πληθυσμού θα ήταν επιθυ- μητή, αλλά είναι πολύ δύσκολη και για αυτό αντί αυτής επιλέγεται μια μικρή ομάδα ή ένα υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο καλείται δείγμα, απ' όπου αντλούνται πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά του συγκεκριμένου πληθυσμού.Ο σωστός τρόπος επιλογής του δείγματος σκοπό έχει να μας οδηγήσει σε αξιόπιστα συμπεράσματα για ολόκληρο τον πληθυσμό από τον οποίο πήραμε το δείγμα.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι να εισαγάγει τους μαθητές σε βασικές έννοιες της περιγραφικής στατιστικής που χρησιμοποιούνται στη μελέτη και ανάλυση χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού. Μετά το τέλος του κεφαλαίου, οι παρακάτω επιμέρους στόχοι πρέπει να έχουν επιτευχθεί, ώστε οι μαθητές:

• Να κατανοήσουν την έννοια της μεταβλητής και να γνωρίζουν τους τύπους στους οποίου διακρίνονται οι μεταβλητές που αφορούν χαρακτηριστικά του προς μελέτη πληθυσμού.
• Να γνωρίζει τους βασικούς τρόπους παρουσίασης των δεδομένων (πίνακας διαλογής, πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων).
• Να γνωρίζουν την χρησιμότητα και τον τρόπο υπολογισμού της αθροιστικής συχνότητας και της σχετικής αθροιστικής συχνότητας μιας μεταβλητής.
• Να γνωρίζουν τρόπους ομαδοποίησης δεδομένων.
• Να εξοικειωθούν με τα διαγράμματα συχνοτήτων ώστε να μπορούν να τα κατανοούν και να τα κατασκευάζουν.
• Να γνωρίζουν το σκοπό των περιγραφικών στατιστικών.
• Να κατανοούν και να μπορούν να υπολογίζουν στατιστικά μέτρα θέσης και διασποράς.


Λέξεις κλειδιά: Περιγραφική Στατιστική, Μεταβλητές, Παρατηρήσεις, Διαλογή, Κατανομή Συχνοτήτων, Σχετική Συχνότητα, Αθροιστική Συχνότητα, Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων, Διάγραμμα Συχνοτήτων, Μέτρα Θέσης, Μέτρα Διασποράς, Συμμετρικά Δεδομένα, Ασύμμετρα Δεδομένα

Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται σε τεχνικές απαρίθμησης των στοιχείων ενός συνόλου. Το ρήμα "απαριθμώ" αναφέρεται στην ένα προς ένα καταγραφή των στοιχείων ενός συνόλου. Η πράξη της καταγραφής λέγεται απαρίθμηση.

Μετά το τέλος του κεφαλαίου, οι παρακάτω επιμέρους στόχοι πρέπει να έχουν επιτευχθεί, ώστε οι μαθητές:

• Να γνωρίζουν την βασική αρχή της απαρίθμησης και να μπορούν να υπολογίζουν διατάξεις μεταθέσεις και συνδυασμούς πάνω σε σύνολα στοιχείων προς μελέτη.
• Να γνωρίζουν την έννοια του πειράματος τύχης, του δειγματικού χώρου και του ενδεχομένου και να μπορούν να κάνουν πράξεις με ενδεχόμενα.
• Να γνωρίζουν την έννοια της πιθανότητας, τον τρόπο ορισμού της και τους κανόνες λογισμού πιθανοτήτων.
• Να γνωρίζουν την έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας.
• Να γνωρίζουν την έννοια και τις ιδιότητες των ανεξάρτητων ενδεχομένων.

Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών και των βαρών των ατόμων, η παρακολούθηση των τιμών της αγοράς και της ζήτησης ενός προϊόντος, η μέτρηση του αριθμού των χιλιομέτρων που διανύει ένα αυτοκίνητο με 10 λίτρα βενζίνης, η διαφορά πόντων σε ένα παιχνίδι μπάσκετ κ.λ.π. Οι δειγματικοί χώροι αυτών των πειραμάτων είναι υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν επίσης πειράματα των οποίων τα αποτελέσματα δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, με συνέπεια ο δειγματικός τους χώρος να μην είναι υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν το στρίψιμο νομίσματος με δυνατά αποτελέσματα κεφάλι ή γράμματα, η διαπίστωση της ποιότητας ενός προϊόντος που επιλέγουμε τυχαία από κάποια γραμμή παραγωγής, η διαδικασία εντόπισης των ελαττωματικών εξαρτημάτων μιας μηχανής, η βλάβη των οποίων προκαλεί βλάβη της μηχανής κ.λ.π. Τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων δεν είναι πραγματικοί αριθμοί και συνεπώς οι δειγματικοί τους χώροι δεν είναι υποσύνολα του R. Αποδεικνύεται όπως θα δούμε στην πράξη ότι η μετατροπή αυτών των δειγματικών χώρων σε δειγματικούς χώρους με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς είναι εξαιρετικά χρήσιμη και επιτυγχάνεται με την αντιστοίχιση ενός πραγματικού αριθμού σε κάθε αποτέλεσμα του αρχικού δειγματικού χώρου. Μια τέτοια διαδικασία μπορεί να χαρακτηριστεί ως «κωδικοποίηση» των αποτελεσμάτων ενός πειράματος με τη χρήση πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν περιπτώσεις που το ενδιαφέρον μας δεν είναι άμεσο για τα ίδια τα αποτελέσματα του πειράματος, αλλά για κάποιο μετασχηματισμό ή και συνδυασμό αυτών των αποτελεσμάτων. Παράδειγμα έμμεσου ενδιαφέροντος για τα αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελεί ένα ποδοσφαιρικό παιχνίδι, στο τέλος του οποίου σημασία έχει η νίκη και όχι ο αριθμός των τερμάτων που πέτυχε ή νικήτρια ομάδα. Άλλο παράδειγμα αποτελεί το ενδιαφέρον εταιρείας επωνύμων προϊόντων να υπολογίσει το κέρδος από την πώληση του προϊόντος της μετά από μια καλοσχεδιασμένη διαφημιστική καμπάνια. Στην περίπτωση αυτή η εταιρεία ενδιαφέρεται για τη συνολική είσπραξη (γινόμενο τιμής του προϊόντος επί την ποσότητα που πουλήθηκε) και όχι για την τιμή και την ποσότητα χωριστά. Όλα όσα αναφέραμε περιέχουν την έννοια της τυχαίας μεταβλητής η οποία αποτελεί το αντικείμενο μελέτης αυτού του κεφαλαίου και η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να χαρακτηρίσει τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος ως στοιχεία ενός συνόλου πραγματικών αριθμών.

• Να γνωρίζουν την έννοια και τα είδη μιας τυχαίας μεταβλητής.
• Να μπορούν να υπολογίσουν την συνάρτηση πιθανότητας και την συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και να αναπαραστίσουν γραφικά διακριτές κατανομές.
• Να μπορούν να υπολογίσουν την αναμενόμενη τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και του τετραγώνου της όπως και τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της.
• Να μπορούν να υπολογίσουν την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και την συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Το κεφάλαιο αυτό αποσκοπεί στην εξεικοίωση των μαθητών με τις ιδιότητες και τα βασικά χαρακτηρηστικά των εξής βασικών κατανομών:

• Κατανομή Bernoulli.
• Διωνυμική Κατανομή.
• Γεωμετρική Κατανομή.
• Κατανομή Poisson.
• Υπεργεωμετρική Κατανομή.

Το κεφάλαιο αυτό ασχολείται με ειδικές, συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων.

Μετά το τέλος του κεφαλαίου, οι παρακάτω επιμέρους στόχοι πρέπει να έχουν επιτευχθεί, ώστε οι μαθητές:

• Να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της κανονικής κατανομής.
• Να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής.
• Να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της δειγματικής κατανομής.
• Να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της κατανομής Student-t.
• Να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της κατανομής t(d).
• Να γνωρίζουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της κατανομής X2(v).

Ο στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων τους σε πληθυσμούς, στηριζόμενες σε δείγματα προερχόμενα από τους πληθυσμούς αυτούς. Όμως, κάτω από ποιες συνθήκες ένα δείγμα μπορεί να οδηγήσει σε έγκυρη γενίκευση για τον πληθυσμό; Ας μελετήσουμε την περίπτωση της εκτίμησης του μέσου ύψους των μαθητών της τρίτης λυκείου. Το ζητούμενο είναι να δούμε κατά πόσο ένα δείγμα υψών από μαθητές τρίτης λυκείου θα μπορούσε να επιτρέψει γενίκευση σχετική με ολόκληρο τον πληθυσμό. Θα οδηγιόμασταν σε λανθασμένη εκτίμηση αν χρησιμοποιούσαμε ως δείγμα, για παράδειγμα, τα ύψη όλων των μαθητών που έχουν συμμετοχή στη ομάδα Basket-ball του σχολείου τους. Το ερώτημα ποιοι και πόσοι μαθητές θα έπρεπε να συμπεριληφθούν στο δείγμα της παραπάνω εκτίμησης δεν φαίνεται να έχει πολύ απλή απάντηση. Οι θεωρίες της Επαγωγικής Στατιστικής, που αναπτύσσονται στο κεφάλαιο αυτό, στηρίζονται στην χρήση των τυχαίων δειγμάτων. Αυτή η επιμονή στα τυχαία δείγματα οφείλεται στο γεγονός ότι αυτά μας επιτρέπουν να κάνουμε έγκυρες και λογικές γενικεύσεις και γι αυτό χρησιμοποιούνται στην πράξη. Βεβαίως η λήψη τυχαίων δειγμάτων δεν είναι πάντα εφικτή γι' αυτό καταφεύγουμε σε άλλες τεχνικές δειγματοληψίας.

Μετά το τέλος του κεφαλαίου, οι παρακάτω επιμέρους στόχοι πρέπει να έχουν επιτευχθεί, ώστε οι μαθητές:

• Να γνωρίζουν την ένοια και τις βασικές μεθόδους τυχαίας δειγματοληψίας.
• Να γνωρίζουν τις μεθόδους εκτίμησης του μέσου ενός πληθυσμού και τις έννοιες του διαστήματος εμπιστοσύνης και του σφάλματος εκτίμησης.
• Να γνωρίζουν την διαδικασία ελέγχου στατιστικών υποθέσεων που περιλαμβάνει τον ορισμό μηδενικής και εναλλακτικής υπόθεσης, την κατασκευή κριτηρίου ελέγχου, τον καθορισμό του επιπέδου σημαντικότητας και τον καθορισμό του κανόνα απόφασης.
• Να γνωρίζουν την διαφορά μεταξύ μονόπλευρου και αμφίπλευρου ελέγχου υπόθεσης.