φωτογραφία φόντου

Γεωμετρια
Β Γενικου Λυκειου - ΓενικηΣ ΠαιδειαΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ

Περιγραφη

ekswfyllo.pngΤα περιεχόμενα του μαθήματος περιλαμβάνουν τις παρακάτω ενότητες: ­

  • Μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο και στον κύκλο: Το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται με την ομοιότητα τριγώνων. Δύναμη σημείου ως προς κύκλο και διαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.
  • ­­Εμβαδά: Εμβαδά βασικών γεωμετρικών σχημάτων και εφαρμογές.
  • Mέτρηση Κύκλου: Το μήκος και το εμβαδόν κύκλου ως όρια της περιμέτρου και του εμβαδού κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο, όταν το πλήθος των πλευρών του αυξάνει απεριόριστα. Η σημασία του π ως σταθεράς και το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.
  • Ευθείες και επίπεδα στο χώρο: Θα περιγραφούν οι σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στο χώρο και θα αποδειχθούν οι εντελώς απαραίτητες προτάσεις για τη μελέτη και τη μέτρηση των στερεών.
  • Στερεά σχήματα: Θα μελετηθούν τα στερεά πρίσμα, πυραμίδα, κύλινδρος κώνος και σφαίρα. Το ανάπτυγμα των στερεών θα χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση της επιφάνειάς τους. Για τον υπολογισμό του όγκου της σφαίρας θα χρησιμοποιηθεί το θεώρημα του Πάππου (χωρίς να αποδειχθεί).

Αναλυτικο Προγραμμα

Για το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα του μαθήματος, μεταβείτε στην αντίστοιχη ενότητα ακολουθώντας τον σύνδεσμο 'Προγράμματα Σπουδών'.

Στοχοι

­Με κατάλληλες δραστηριότητες οι μαθητές αναμένεται να καταστούν ικανοί να:
  • Αναγνωρίζουν ότι το εμβαδόν εισάγεται σαν μια άλλη δυνατότητα σύγκρισης
    κυρτών σχημάτων που δεν είναι ούτε ίσα, ούτε όμοια.
  • Αναγνωρίζουν ότι τα κανονικά πολύγωνα εγγράφονται και περιγράφονται σε κύκλο.
  • Υπολογίζουν το μήκος και το εμβαδόν κύκλου.
  • Κατανοούν τις σχέσεις παραλληλίας και καθετότητας στο χώρο.
  • Μελετούν τα βασικά γεωμετρικά στερεά και υπολογίζουν τον όγκο και την επιφάνειά τους.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

9. Μετρικές Σχέσεις

Το κεφάλαιο αυτό ασχολείται ουσιαστικά με τον προσδιορισμό των στοιχείων του τριγώνου αν είναι γνωστές οι πλευρές, καθώς και με με­τρικές σχέσεις στον κύκλο. Στις μετρικές σχέσεις στο τρίγωνο παρουσιάζεται το Πυθαγόρειο θεώρημα και η γενίκευση του με άμεση εφαρμογή στον προσδιορισμό του είδους του τριγώνου ως προς τις γωνίες του - ακόμα και στον προσδιορισμό των γωνιών του, αν χρησιμοποιήσουμε τον ισοδύναμο νόμο των συνημιτόνων - καθώς και των υψών του τριγώνου. Κατόπιν υπολογίζονται οι διάμεσοι με τα δύο θεωρήματα των διαμέσων.
Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με το θεώρημα τεμνουσών από το οποίο προκύπτουν οι μετρικές σχέσεις σε κύκλο.
Βασικοί Όροι: μετρικές σχέσεις, ορθές προβολές, πυθαγόρειο θεώρημα, γεωμετρικές κατασκευές, διάμεσος, γεωμετρικοί τόποι, τέμνουσες κύκλου

10. Εμβαδά

Είναι αποδεκτό ότι η έννοια του εμβαδού ενός ευθ­ύγραμμου σχήματος προέκυψε από την ανάγκη αντιμετώπισης προβλημάτων της καθημερινής ζωής, αρκετά χρόνια πριν. Πράγματι είναι ιστορικά επιβεβαιωμένο ότι η Γεωμετρία εμφανίστηκε, τουλάχιστον τρεις χιλιετίες π.Χ., ως τέχνη υπολογισμού μηκών, εμβαδών και όγκων στους λαούς που κατοικούσαν κοντά στους ποταμούς Νείλο, Τίγρη και Ευφράτη. Στην Αίγυπτο μάλιστα ήταν τέχνη για μέτρηση γης. Αργότερα η έννοια του εμβαδού θεμελιώθηκε αυστηρά και γενικεύθηκε σε σύνολα πιο πολύπλοκα από τα ευθύγραμμα σχήματα. Στο κεφάλαιο αυτό ασχολούμαστε με την έννοια του εμβαδού ενός ευθύγραμμου σχήματος. Αρχικά εισάγουμε την έννοια του εμβαδού ενός πολυγωνικού χωρίου ή μιας πολυγωνικής επιφάνειας. Κατόπιν, δίνουμε τύπους υπολογισμού του εμβαδού του τετραγώνου, του ορθογωνίου, του παραλληλογράμμου, του τριγώνου και του τραπεζίου. Στη συνέχεια, δίνουμε τη σχέση των εμβαδών δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων και τέλος αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα του τετραγωνισμού ενός πολυγώνου.
Βασικοί Όροι: εμβαδά, πολυγωνικά χωρία, ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα, εμβαδόν τριγώνου, μετασχηματισμός πολυγώνου

11. Μέτρηση Κύκλου

Η μέτρηση του μήκους του κύκλου και του εμβαδού του κυκλικού δίσκου αποτέλεσε ένα σημαντικό θέμ­α με το οποίο ασχολήθηκαν σπουδαίοι μαθηματικοί της αρχαιότητας (Ιπποκράτης ο Χίος, Αρχιμήδης). Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήθηκαν τα κανονικά πολύγωνα, τα οποία με τη σειρά τους απα-σχόλησαν τους μαθηματικούς για περίοδο πάνω από 2.000 χρόνια (Αρχαιότητα - K.F. Gauss).
Στο παρόν κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια των κανονικών πολυγώνων και μελετάμε βασικές ιδιότητές τους. Εξετάζουμε την εγγραφή ορισμένων βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και υπολογίζουμε τα στοιχεία τους. Στη συνέχεια «προσεγγίζοντας» τον κύκλο με κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα ή περιγεγραμμένα σε αυτόν και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αριθμού π, βρίσκουμε τύπους για το μήκος κύκλου και τόξου και για το εμβαδόν κυκλικού δίσκου και τομέα.
Βασικοί Όροι: μέτρηση κύκλου, κανονικό πολύγωνο, μήκος τόξου, εμβαδόν κυκλικού τομέα, εμβαδόν κυκλικού τμήματος, τετραγωνισμός κύκλου

12. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο

Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται βασικοί ορισμοί και αξιώματα που διέπουν τη γεωμετρία του χώρου και μελετώνται βασικές σχέσεις μεταξύ των θεμελιω­δών στοιχείων του χώρου.
Βασικοί Όροι: ευθεία, επίπεδα, σχετικές θέσεις, θεώρημα του Θαλή, ορθογώνιες ευθείες, δίεδρη γωνία, κάθετα επίπεδα

13. Στερεά σχήματα

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε δύο οικογένειες στερεών σχημάτων, τα πολύεδρα και τα στερεά εκ περιστροφής. Τα πολύεδρα αποτελούνται από τμήματα επιπέδων, κατάλληλα τοποθετημένα, ώστε να σχηματίζουν ένα κλειστό στερεό σύνολο. Υπάρχουν πολλά είδη πολυέδρων, εδώ όμως θα μελετήσουμε τα απλούστερα από αυτά, όπως είναι τα πρίσματα και οι πυραμ­ίδες. Τα στερεά εκ περιστροφής με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Τα στερεά αυτά λέγονται έτσι γιατί σχηματίζονται κατά την περιστροφή επίπεδων σχημάτων, όπως είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο τρίγωνο και ο κύκλος. Τα πολύεδρα αποτελούν μία κατηγορία σχημάτων του χώρου, τα οποία παρουσιάζουν θεωρητικό ενδιαφέρον, είναι όμως χρήσιμα και από πλευράς εφαρμογής σε διάφορους τομείς της τεχνολογίας και της τέχνης. Στις διάφορες εφαρμογές χρησιμοποιούνται για να προσομοιάζουν σχήματα του φυσικού χώρου που συναντάμε γύρω μας και είναι σημαντικές όχι μόνο οι μετρικές αλλά και οι καθαρά γεωμετρικές ιδιότητές τους.

Βασικοί Όροι: στερεά σχήματα, πελύεδρα, πρίσμα, παραλληλεπίπεδο, κύβος, πυραμίδα, κανονική πυραμίδα, τετράεδρο, κόλουρη πυραμίδα, στερεά εκ περιστροφής, κύλινδρος, κώνος, κόλουρος κώνος, σφαίρα, κανονικά πολύεδρα