Μαθηματικά (Γ Γυμνασίου): Ηλεκτρονικό Βιβλίο

Θυμάμαι πώς λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθμού.
Αναγνωρίζω αν μια εξίσωση έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα.

Ιδιότητες των ριζών

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το χωριό Α και αφού επισκεφθεί διαδοχικά τα χωριά Β και Γ, επιστρέφει στο χωριό Α. Η διαδρομή ΒΓ είναι 1 km μεγαλύτερη από την ΑΒ και η ΓΑ είναι 1 km μεγαλύτερη από τη ΒΓ. Μπορείτε να υπολογίσετε πόσο απέχουν τα χωριά μεταξύ τους, αν γνωρίζετε ότι η συνολική απόσταση που διήνυσε ο ταχυδρόμος ήταν:

α) 15 km;

β) το τριπλάσιο της πρώτης διαδρομής;

γ) το τριπλάσιο της δεύτερης διαδρομής;

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις, όπως 3x = 12, -4y + 11 = 0, κ.τ.λ. Στις εξισώσεις αυτές υπάρχει ένας άγνωστος και ο μεγαλύτερος εκθέτης του αγνώστου είναι ο αριθμός 1. Σε καθεμιά από τις προη-γούμενες περιπτώσεις λέμε ότι έχουμε εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο (πρωτοβάθμια εξίσωση).

Η εξίσωση 3x = 12, της οποίας ο συντελεστής του αγνώστου είναι διάφορος του μηδενός επαληθεύεται για μία μόνο τιμή του αγνώστου, την x = 4. O αριθμός 4, που επαληθεύει την εξίσωση 3x = 12, ονομάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

Υπάρχουν όμως και εξισώσεις, όπως οι 0x = -3 ή 0x = 0, στις οποίες ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν.

Η εξίσωση 0x = -3 δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x, αφού το γινόμενο 0x είναι πάντοτε ίσο με το μηδέν και δεν είναι δυνατόν να είναι ίσο με -3. Μια τέτοια εξίσωση, που δεν έχει λύση, ονομάζεται αδύνατη.

Η εξίσωση όμως, 0x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.

Από τα προηγούμενα παραδείγματα συμπεραίνουμε ότι:

Αν α ≠ 0, τότε; η εξίσωση αx + β = 0 έχει μοναδική λύση την
Αν α = 0, τότε η εξίσωση αx + β = 0 γράφεται 0x = -β και
- αν β ≠ 0, δεν έχει λύση (αδύνατη), ενώ
- αν β = 0, κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1 Να λυθεί η εξίσωση:

Λύση

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.
Απαλείφουμε τους παρονομαστές.
Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε τις παρενθέσεις.
Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου.

εικόνα

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = - 2

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3(x + 2) - 3 = 3x + 5 β) 2(x - 1) - x = x - 2

Λύση

α) 3(x + 2) - 3 = 3x + 5
3x + 6 - 3 = 3x + 5
3x - 3x = 5 - 6 + 3
0x = 2 0x = 0

H εξίσωση αυτή δε
επαληθεύεται για καμία τιμή
του x, οπότε είναι αδύνατη.

β) 2(x - 1) - x = x - 2
2x - 2 - x = x - 2
2x - x - x = 2 - 2
0x = 0

Η εξίσωση αυτή επαληθεύεται
για κάθε τιμή του x, οπότε είναι ταυτότητα.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε εξίσωση της στή- λης Α το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη Β

Στήλη Α		Στήλη Β
α.	3x = 7	1.	Έχει μοναδική λύση
β.	0x = 0	2.	Είναι αδύνατη
γ.	0x = 5	3.	Είναι ταυτότητα
δ.	5x = 0

α	β	γ

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Η εξίσωση έχει λύση την x = 6.
β) Η εξίσωση 4x = 0 είναι αδύνατη.
γ) Η εξίσωση 0x = 0 έχει λύση οποιονδήποτε αριθμό.
δ)Η εξίσωση 0x = 6 έχει λύση την x = 6.
ε) Η εξίσωση 5(x + 1) = 5x + 5 είναι ταυτότητα.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) -3(x + 2) - 2(x - 1) = 8 + x

β) 4y - 2(y - 3) = 2y + 1

γ) 5(-ω + 2) - 4 = 6 - 5ω

δ) (2x + 1)2 + 5 = 4(x² - 10)

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

To τριπλάσιο ενός αριθμού ελαττούμενο κατά 5 είναι ίσο με το μισό του αριθμού αυξημένο κατά 10. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;

Ρώτησαν κάποιον πόσα ευρώ έχει στο πορτοφόλι του κι εκείνος απάντησε: «Αν είχα όσα έχω και τα μισά ακόμα και δέκα παραπάνω, θα είχα εκατό». Μπορεί, άραγε, με τα χρήματα αυτά να αγοράσει ένα παντελόνι που κοστίζει 65 €;

Ο καθηγητής των Μαθηματικών είπε στους μαθητές του:

- Σκεφτείτε έναν αριθμό και διπλασιάστε τον.

- Στο αποτέλεσμα να προσθέσετε τον αριθμό 10.

- Το άθροισμα που βρήκατε να το διαιρέσετε με το 2 και από το πηλίκο να αφαιρέσετε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά.

- Κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει αποτέλεσμα τον αριθμό 5, ανεξάρτητα από ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά.

Μπορείτε να εξηγήσετε τον ισχυρισμό του καθηγητή;

Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και κινείται προς την πόλη Β με μέση ταχύτητα 16 km/h. Μια ώρα αργότερα, μια φίλη του ξεκινά από την πόλη Β και με μέση ταχύτητα 12 km/h κινείται προς την πόλη Α για να τον συνα- ντήσει. Αν ηαπόσταση των δύο πόλεων είναι 44 km, σε πόσες ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη θα συναντηθούν;